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1、数学试卷第 1页（共 22页）数学试卷第 2页（共 22页） 绝密启用前 辽宁省本溪市 2019 年中考试卷 数学 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 ） 1.（3 分）下列各数是正数的是（） A.0B.5C. 1 2 D.2 2.（3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） ABCD 3.（3 分）下列计算正确的是（） A. 77 xxxB. 2 24 39xx C. 336 2xxxD. 2 36 xx 4.（3 分）2019 年 6 月 8 日，全国铁路发送旅客约9 560 000次，将数据
2、9 560 000科学 记数法表示为（） A. 6 9.56 10B. 5 95.6 10C. 7 0.956 10D. 4 956 10 5.（3 分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（）的统计结果： 县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县 气温（）26262525252322 则该日最高气温（）的众数和中位数分别是（） A.25，25B.25，26C.25，23D.24，25 6.（3 分）不等式组 3 0 28 0 x x 的解集是（） A.3xB.4xC.3xD.34x 7.（3 分）如图所示，该几何体的左视图是（） ABCD 8.（3 分）下列事件属于必然事件的是（
3、） A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立 C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数 9.（3 分）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来 进行垃圾分类。用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相 同，两种型号机器人的单价和为 140 万元。若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意， 所列方程正确的是（） A. 360480 140 xx B. 360480 140 xx C. 360480 140 xx D. 360480 140 xx
4、10.（3 分）如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点，CAAB，PDAC于点 D， 连接 AP，设APx，PAPDy，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是 （） 毕业学校_姓名_考生号_ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 数学试卷第 3页（共 22页）数学试卷第 4页（共 22页） ABCD 二、填空题（本題共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11.（3 分）若2x在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为。 12.（3 分）函数5yx的图象经过的象限是。 13.（3 分）如果关于 x 的一元二次方程 2 40 xxk有实数根，那么 k 的取值范围 是。 1
5、4.（3 分）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是4,2A，5,0B，以点 O 为 位似中心，相们比为 1 2 ，把ABO缩小，得到 11 A B O，则点 A 的对应点 1 A的坐 标为。 15. （3分） 如图， BD是矩形ABCD的对角线， 在BA和BD上分别截取BE， BF， 使BEBF； 分别以 E，F 为圆心，以大于 1 2 EF的长为半径作弧，两弧在ABD内交于点 G，作 射线 BG 交 AD 于点 P，若3AP ，则点 P 到 BD 的距离为. 16.（3 分）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形 ABCD 内自由滚动时，则小球停留在阴影区
6、域的概率为. 17.（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等边OAB和菱形 OCDE 的边 OA，OE 都在 x 轴上，点 C 在 OB 边上，3 ABD S ，反比例函数0 k yx x 的图象经过点 B， 则 k 的值为. 18.（3 分）如图，点 1 B在直线 l： 1 2 yx上，点 1 B的横坐标为 2，过 1 B作 11 B Al，交 x 轴于点 1 A， 以 11 AB为边， 向右作正方形 1121 A B B C， 延长 21 B C交 x 轴于点 2 A； 以 22 A B 为边，向右作正方形 2232 A B B C，延长 32 B C交 x 轴于点 3 A；以 33 A B
7、为边，向右作正 方形 3343 A B B C延长 43 B C交 x 轴于点 4 A；按照这个规律进行下去，点 n 的横坐 标为（结果用含正整数 n 的代数式表示） 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20、21、22、23、24、25 题各 12 分，第 26 题 14 分， 共 96 分） 19. （10 分） 先化简， 再求值 2 22 412 4422 a aaaaa ， 其中 a 满足 2 320aa。 20.（12 分）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A.机器人，B.围棋， C.羽毛球，D.电影配音；每人只能加入一个社团。为了解学生参加社团的情况，从 参加社团的
8、学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不 完整的统计图，其中图（1）中 A 所占扇形的圆心角为36。 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有人； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有 1 000 学生加入了社团，请你估计这 1 000 名学生中有多少人参加 数学试卷第 5页（共 22页）数学试卷第 6页（共 22页） 了羽毛球社团； （4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从 这四人中任选两名参加机器人大赛.用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位 同学的概率。 21.（12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB
9、CD，ADCD，45B，延长 CD 到点 E，使DEDA，连接 AE。 （1）求证：AEBC； （2）若3AB ，1CD ，求四边形 ABCE 的面积。 22.（12 分）小李要外出参加“建国 70 周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图， 分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑 杆DE， 箱长BC， 拉杆AB的长度都相等， B， F在AC上， C在DE上， 支杆30cmDF ， :1:3CE CD ，45DCF，30CDF，请根据以上信息，解决下列向题。 （1）求 AC 的长度（结果保留根号） ； （2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离（结果保留根号）
10、 。 23.（12 分）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本 16 元、工厂将该产品 进行网络批发，批发单价 y（元）与一次性批发量 x（件） （x 为正整数）之间满足 如图所示的函数关系。 （1）直接写出 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若一次性批发量不超过 60 件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利 润是多少？ 24.（12 分）如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，O是DEF 的外接圆，连接 DP。 （1）求证：DP 是O的切线； （2）若
11、1 tan 2 PDC，正方形 ABCD 的边长为 4，求O的半径和线段 OP 的长。 -在-此-卷-上-答-题-无-效 - 毕业学校_姓名_考生号_ _ 数学试卷第 7页（共 22页）数学试卷第 8页（共 22页） 25. （12 分） 在RtABC中，90BCA，AABC， D 是 AC 边上一点， 且DADB， O 是 AB 的中点，CE 是BCD的中线。 （1）如图 a，连接 OC，请直接写出OCE和OAC的数量关系：； （2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转得射线 ON，使 MONADB ，ON 与射线 CA 交于点 N。 如图 b，猜想并证明线
12、段 OM 和线段 ON 之间的数量关系； 若30BAC，BCm， 当15AON时， 请直接写出线段 ME 的长度 （用 含 m 的代数式表示） 。 26.（14 分）抛物线 2 2 9 yxbxc 与 x 轴交于1,0A ，5,0B两点，顶点为 C， 对称轴交 x 轴于点 D， 点 P 为抛物线对称轴 CD 上的一动点 （点 P 不与 C， D 重合） 。 过点 C 作直线 PB 的垂线交 PB 于点 E，交 x 轴于点 F。 （1）求抛物线的解析式； （2）当PCF的面积为 5 时，求点 P 的坐标； （3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标。 辽宁省本溪市 2019 年中考试
13、卷 数学答案解析 一、选择题 1.【答案】B 【解析】解：0 既不是正数，也不是负数；5 是正数； 1 2 和2都是负数 故选：B 2.【答案】B 【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 数学试卷第 9页（共 22页）数学试卷第 10页（共 22页） C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选：B 3.【答案】D 【解析】解：A、 76 xxx，故此选项错误； B、 2 24 39xx-，故此选项错误； C、 336 xxx，故此选项
14、错误； D、 2 36 xx，故此选项正确； 故选：D 4.【答案】A 【解析】解：将数据 9 560 000 科学记数法表示为 6 9.56 10 故选：A 5.【答案】A 【解析】解：在这 7 个数中，25出现了 3 次，出现的次数最多， 该日最高气温（）的众数是 25； 把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是 25， 则中位数为：25； 故选：A 6.【答案】D 【解析】解： 3 0 28 0 x x ， 由得：3x， 由得：4x， 则不等式组的解集为34x ， 故选：D 7.【答案】B 【解析】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线， 故选：B 8.【答案】C 【解析
15、】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国” ，是随机事件，不合题意； B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意； C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意； D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意； 故选：C 9.【答案】A 【解析】解：设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得： 360480 140 xx ， 故选：A 10.【答案】C 【解析】设：圆的半径为 R，连接 PB， 则 1 sin 22 AP ABPx RR ， CAAB，即 AC 是圆的切线，则PDAPBA ， 则 2 11 sin 22
16、PDAPxxx RR ， 则 2 1 2 yPAPDxx R ， 图象为开口向下的抛物线， 故选：C 二、填空题 11.【答案】2x 【解析】解：由题意得：2 0 x ， 解得：2x， 故答案为：2x 数学试卷第 11页（共 22页）数学试卷第 12页（共 22页） 12.【答案】一、三 【解析】解：函数5yx的图象经过一三象限， 故答案为：一、三 13.【答案】4k 【解析】解：根据题意得：1640k， 解得：4k 故答案为：4k 14.【答案】2,1或2, 1 【解析】解：以点 O 为位似中心，相似比为 1 2 ，把ABO缩小，点 A 的坐标是4,2A， 则点 A 的对应点 1 A的坐标为
17、 11 4,2 22 或 11 4, 2 22 ，即2,1或2, 1， 故答案为：2,1或2, 1 15.【答案】3 【解析】解：结合作图的过程知：BP 平分ABD， 90A，3AP ， 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3， 故答案为：3 16.【答案】 15 16 【解析】解：如图所示，AD 与直线的交点为 E，AB 与直线的交点为 F， 根据题意可知 1 2 AEAB， 1 4 AFAB， 2 11111 222416 ABF SAE AFABABAB ， 小球停留在阴影区域的概率为： 115 1 1616 故答案为： 15 16 17.【答案】3 【解析】解：连接 OD，
18、OAB是等边三角形， 60AOB， 四边形 OCDE 是菱形， DEOB， 60DEOAOB ， DEO是等边三角形， 60DOEBAO ， ODAB， BDOAOD SS ， ADOABDBDOAOBABDO SSSSS 四边形 ， 3 AOBABD SS ， 过 B 作BHOA于 H， OHAH， 3 2 OBH S ， 反比例函数0 k yx x 的图象经过点 B， k 的值为3， 故答案为：3 18.【答案】 1 73 22 n 数学试卷第 13页（共 22页）数学试卷第 14页（共 22页） 【解析】解：过点 1 B、 1 C、 2 C、 3 C、 4 C分别作 1 B Dx轴， 1
19、1 C Dx轴， 22 C Dx轴， 33 C Dx轴， 44 C Dx轴，垂足分别为 D、 1 D、 2 D、 3 D、 4 D 点 1 B在直线 l： 1 2 yx上，点 1 B的横坐标为 2， 点 1 B的纵坐标为 1， 即：2OD ， 1 1B D ， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1:2， 111112 11111 1 2 B DDAC DD A ODB DADC D 点 1 C的横坐标为： 0 13 2 22 ， 点 2 C的横坐标为： 00101 133135353 2 222422242 点 3 C的横坐标为： 00112012 13313313535353 2
20、 22242242224242 点 C4的横坐标为： 023 53535353 1 22424242 点n的横坐标为： 01234 1 535353535353 224242424242 n 01234 1 55333333 24222222 n 1 73 22 n 故答案为： 1 73 22 n 三、解答题 19.【答案】解： 2 22 412 4422 a aaaaa 2 (2)(2)1(2) (2)22 aaa a aa 21(2) 222 aa a aa 23 22 a aa a 3 2 a a 2 3 2 aa ， 2 320aa， 2 32aa， 原式 2 1 2 20.【答案】解
21、： （1）A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为36， 这次被调查的学生共有： 36 20200 360 （人） ； 故答案为：200； （2）C 项目对应人数为：20020804060（人） ； 补充如图 数学试卷第 15页（共 22页）数学试卷第 16页（共 22页） （3） 60 1000300 200 （人） 答：这 1 000 名学生中有 300 人参加了羽毛球社团； （4）画树状图得： 共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， 21 126 P选中甲、乙 21.【答案】证明： （1）ABCD，45B 180CB 135C DEDA，ADCD 45E 180E
22、C AEBC，且ABCD 四边形 ABCE 是平行四边形 AEBC （2）四边形 ABCE 是平行四边形 3ABCE 2ADDEABCD 四边形 ABCE 的面积326 22.【答案】解： （1）过 F 作FHDE于 H， 90FHCFHD ， 30FDC，30DF ， 1 15 2 FHDF， 3 15 3 2 DHDF， 45FCH， 15CHFH， 15 15 3CDCHDH， :1:3CE CD ， 4 2020 3 3 DECD， ABBCDE， 4040 3 cmAC ； （2）过 A 作AGED交 ED 的延长线于 G， 45ACG， 2 20 220 6 2 AGAC， 答：拉
23、杆端点 A 到水平滑杆 ED 的距离为 20 220 6 cm 23.【答案】解： （1）当020 x 且 x 为整数时，40y ； 当2060 x 且 x 为整数时， 1 50 2 yk ； 当60 x且 x 为整数时，20y ； 数学试卷第 17页（共 22页）数学试卷第 18页（共 22页） （2）设所获利润 w（元） ， 当020 x 且 x 为整数时，40y ， 40162048w 元， 当020 x 且 x 为整数时，40y ， 当2060 x 且 x 为整数时， 1 50 2 yx ， 1 (16)50 16 2 wyxxx ， 2 1 34 2 wxx ， 21 34578 2
24、 wx ， 1 0 2 ， 当34x 时，w 最大，最大值为 578 元 答：一次批发 34 件时所获利润最大，最大利润是 578 元 24.【答案】 （1）连接 OD， 正方形 ABCD 中，CDBC，CPCP，45DCPBCP ， CDPCBP SAS， CDPCBP ， 90BCD， 90CBPBEC， ODOE， ODEOED ， OEDBEC ， BECOEDODE ， 90CDPODE， 90ODP， DP 是O的切线； （2）CDPCBE ， 1 tantan 2 CE CBECDP BC ， 1 42 2 CE ， 2DE ， 90EDF， EF 是O的直径， 90FDEF，
25、FCDP ， 在RtDEFF 中， 1 2 DE DF ， 4DE ， 2222 422 5EFDEDF， 5OE ， FPDE ，DPEFPD ， DPEFPD， PEPDDE PDPFDF ， 设PEx，则2PDx， 2 2 52x xx， 解得 2 5 3 x ， 数学试卷第 19页（共 22页）数学试卷第 20页（共 22页） 2 55 5 5 33 OPOEEP 25.【答案】解： （1）结论：ECOOAC 理由：如图 1 中，连接 OE 90BCD，BEED，BOOA， 1 2 CEEDEBBD，COOAOB， OCAA ， BEED，BOOA， OEAD， 1 2 OEAD， C
26、EEO EOCOCAECO ， ECOOAC 故答案为：OCEOAC （2）如图 2 中， OCOA，DADB， AOCAABD ， COAADB ， MONADB ， AOCMON ， COMAON ， ECOOAC ， MCONAO ， OCOA， COMAON ASA， OMON 如图 31 中，当点 N 在 CA 的延长线上时， 30CABOANANO ，15AON， 15AONANO ， OAANm， OCMOAN， CMANm， 在RtBCD中，BCm，60CDB， 2 3 3 BDm， BEED， 13 23 CEBDm， 数学试卷第 21页（共 22页）数学试卷第 22页（共
27、22页） 3 3 EMCMCEmm 如图 32 中，当点 N 在线段 AC 上时，作OHAC于 H 15AON，30CAB， 153045ONH ， 1 2 OHHNm， 3 2 AHm， 31 22 CMANmm， 3 3 ECm， 33113 32226 EMECCMmmmmm ， 综上所述，满足条件的 EM 的值为 313 326 mmmm 26.【答案】解： （1）函数的表达式为： 2 22810 15 9999 yxxxx ； （2）抛物线的对称轴为1x ，则点2,2C， 设点2,Pm， 将点 P、B 的坐标代入一次函数表达式：ysxt并解得： 函数 PB 的表达式为： 15 33
28、m ymx ， CEPE，故直线 CE 表达式中的 k 值为 3 m ， 将点 C 的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线 CE 的表达式为： 36 2yx mm ， 联立并解得： 2 2 3 m x ， 故点 2 2,0 3 m F ， 112 2225 223 PCF m SPCDFm ， 解得：5m 或3（舍去 5） ， 故点(2, 3)P； （3）由（2）确定的点 F 的坐标得： 2 2 2=CPm， 2 2 2 4 3 m CF ， 2 22 2 3 m PFm ， 当CPCF时，即： 2 2 24 3 m m ，解得：0m 或 36 5 （均舍去） ， 当CPPF时， 2 2 2 2 2 3 m mm ，解得： 3 2 m 或 3（舍去 3） ， 当CFPF时，同理可得：2m （舍去 2） ， 故点 3 2, 2 P 或22，