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1、15.3 15.3 分式方程分式方程第十五章第十五章 分分 式式第第2 2课时课时 分式方程的应用分式方程的应用 【学习目标学习目标】1 1学会用分式方程解决比较简单的实际问题并会验根学会用分式方程解决比较简单的实际问题并会验根2 2以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高学生运用方程思想解决问题的能力式方程表示，提高学生运用方程思想解决问题的能力3.3.通过对实际问题的分析，进一步感受分式方程是刻画现实通过对实际问题的分析，进一步感受分式方程是刻画现实世界的有效模型世界的有效模型【学习重点学习重点】1.1.实际生活中相关
2、工程问题类的分式方程应用题的分析应用实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用2.2.建立数学模型，列分式方程解决行程问题和销售问题建立数学模型，列分式方程解决行程问题和销售问题【学习难点学习难点】1.1.将实际问题中的等量关系用分式方程来表示并且求得结果将实际问题中的等量关系用分式方程来表示并且求得结果2.2.列分式方程解实际问题列分式方程解实际问题旧知回顾旧知回顾1 中含未知数的方程叫做分式方程中含未知数的方程叫做分式方程解：方程两边同乘以最简公分母解：方程两边同乘以最简公分母x(x2)，得得5x3(x2)解得解得x3.检验：把检验：把x3代入原方程，代入原方程，左边左边1右边右边
3、因此，因此，x3是原方程的解是原方程的解分母分母1.解分式方程的基本思路是？2.解分式方程有哪几个步骤？3.验根有哪几种方法？分式方程整式方程 转化去分母一化二解三检验有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.导入新课导入新课4.我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？基本上有5种：（1）行程问题： 路程=速度时间以及它的两个变式；（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；（3）工程问题： 工作量=工时工效以及它的两个变式；（4）顺逆问题： 顺速=静速+水速；逆速=静速-水速；（5）利润问题：批发成本=批发数量批发价；批发数
4、量=批发成本批发价；打折销售价=定价折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润进价。例例 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？表格法分析如下：工作时间（月） 工作效率工作总量（1）甲队乙队1213121x12x32等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”设乙单独 完成这项工程需要x天.知识模块一知识模块一 列分式方程解决工程问题列分式方程解决工程问题解：解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作
5、总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得131111(1)1,322x即111.22x方程两边都乘以6x,得336 .xx解得 x=1. 检验：当x=1时，6x0.所以，原分式方程的解为x=1.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.想一想：想一想：本题的等量关系还可以怎么找？甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”此时表格怎么列，方程又怎么列呢？工作时间（月） 工作效率工作总量（1）甲单独两队合作12设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .1x1311()3
6、x此时方程是：111()3x1311111()1323x 表格为“3行4列”工程问题工程问题1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；2.通常间接设元，如 单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如行程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.合作探究合作探究归纳：归纳：列分式方程解决实际问题的一般步骤：列分
7、式方程解决实际问题的一般步骤：注意，先检验是否是原分式方程的根，再检验是否符合题意(1)审审：审清题意，弄清已知量和未知量；：审清题意，弄清已知量和未知量；(2)设设：设未知数；：设未知数；(3)列列：列出分式方程；：列出分式方程；(4)解解：解这个分式方程；：解这个分式方程；(5)验验：检验，既要检验所求得的根是否为所列分式方：检验，既要检验所求得的根是否为所列分式方程的根，又要检验所求得的根是否符合实际意义；程的根，又要检验所求得的根是否符合实际意义；(6)答答：写出答案：写出答案练练 习习1进入防汛期后，某地对河堤进行了加固该地驻军进入防汛期后，某地对河堤进行了加固该地驻军在河堤加固的工
8、程中出色地完成了任务在河堤加固的工程中出色地完成了任务 下面是记者下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：你们是用与驻军工程指挥官的一段对话：你们是用9天完成天完成4800 m长的大坝加固任务的吗？是的，我们加固长的大坝加固任务的吗？是的，我们加固600 m后，后， 采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍倍通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数数去分母，得去分母，得1200420018x.(或或18x5400)，解得解得x300.检验：当检验：当x300时，时，2x0(或分母不等于或分母不等
9、于0)所以所以x300是原分式方程的解是原分式方程的解答：该地驻军原来每天加固答：该地驻军原来每天加固300m. 2. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水的污水排放管道，铺设排放管道，铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用，结果共用30天完成这一任务求原计划每天铺设管天完成这一任务求原计划每天铺设管道的长度道的长度练练 习习解：设原计划每天铺设解：设原计划每天铺设xm管道，由题意得管道，由题意得解得解得x9.经验验，经
10、验验，x9是原方程的解是原方程的解答：原计划每天铺设管道答：原计划每天铺设管道9m.例例 某次列车平均提速v千米时，用相同的时间，列车提速前行使s千米，提速后比提速前多行使50千米，提速前列车的平均速度为多少？表格法分析如下：时间（时）速度（千米/时）路程（千米）提速前提速后设提速前列车的平均速度为x千米/时.sv+xS+50 xsx5 0svx等量关系：提速前行驶时间=提速后行驶时间知识模块二知识模块二 列分式方程解决行程问题列分式方程解决行程问题解：设提速前列车的平均速度为x千米/时，根据题意得5 0.ssxxv解得.5 0s vx经 检验： x= 是原方程的解5 0s vx答：提速前列车
11、的速度为 千米/时.5 0s vx表达问题时，用字幕不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）.行程问题行程问题1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程。列分式方程解应用题的一般步骤1.审:清题意，并设未知数; 2.找:相等关系，3.列:出方程；4.解:这个分式方程;5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；6.写:答案.合作探究合作探究列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？ 列分式方程解应用题的基本思路和列
12、整式方程解应用题的基本思路是相同的，关键步骤是根据题意寻找“等量关系” 同时，解出分式方程后注意检验求出的值是不是方程的解，是否符合实际意义典例：小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经典例：小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大千米，返回时经过跨海大桥，全程约桥，全程约45千米，小丽所乘汽车去时平均速度是返千米，小丽所乘汽车去时平均速度是返回时的回时的1.2倍，所用时间比返回时多倍，所用时间比返回时多20分钟求小丽所分钟求小丽所乘汽车返回时的平均速度乘汽车返回时的平均速度解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是解：设小丽所乘
13、汽车返回时的平均速度是x千米千米/时，时，根据题意，得根据题意，得解这个方程，得解这个方程，得x75，经检验，经检验，x75是原方程的解是原方程的解答：小丽所乘汽车返回时的平均速度是答：小丽所乘汽车返回时的平均速度是75千米千米/时时合作探究合作探究知识模块三知识模块三 列分式方程解决销售问题列分式方程解决销售问题甲服装店购进若干件某种夏季衬衫，花了甲服装店购进若干件某种夏季衬衫，花了8000元，以每件元，以每件58元的价格出售，很快售完，又以元的价格出售，很快售完，又以17600元购进了同种衬元购进了同种衬衫，数量是第一次的衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次多了倍，每件进价比第一次多了
14、4元，服元，服装店仍按每件装店仍按每件58元出售，全部售完，问：甲服装店在这次元出售，全部售完，问：甲服装店在这次生意中是赔了还是赚了，还是不赔不赚？生意中是赔了还是赚了，还是不赔不赚？分析：赔与赚还是不赔不赚，就看花出去多少钱，收回了多分析：赔与赚还是不赔不赚，就看花出去多少钱，收回了多少钱，如果收回来的钱数比花出去的钱多就是赚，相等就是少钱，如果收回来的钱数比花出去的钱多就是赚，相等就是不赔不赚，少就是赔了，然而此题只知道花出去的钱，而不不赔不赚，少就是赔了，然而此题只知道花出去的钱，而不知收回来多少钱，但题中给出了每件服装的售价，如果知道知收回来多少钱，但题中给出了每件服装的售价，如果知
15、道件数就可计算出收回来多少钱，这样解决此题的关键是求两件数就可计算出收回来多少钱，这样解决此题的关键是求两次购进服装多少件，而根据题意求出服装的进价即可次购进服装多少件，而根据题意求出服装的进价即可两边同时乘两边同时乘x(x4)约去分母，得约去分母，得16000(x4)17600 x.解得解得x40.检验：当检验：当x40时，时，x(x4)0.x40是原方程的解是原方程的解答：甲服装店在这次服装生意中赚了，赚了答：甲服装店在这次服装生意中赚了，赚了9200元元合作探究合作探究(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？求第一次每支铅笔的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕
16、后若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于获利不低于420元，问每支铅笔售价至少是多少元？元，问每支铅笔售价至少是多少元？解：解：(1)设第一次每支铅笔的进价是设第一次每支铅笔的进价是x元，元，解得解得x4.经检验，经检验，x4是原分式方程的解是原分式方程的解答：第一次每支铅笔的进价是答：第一次每支铅笔的进价是4元元根据题意，得根据题意，得解：解：(2)设每支铅笔售价至少是设每支铅笔售价至少是y元，元，则第一次购进则第一次购进6004150(支支)，第二次购进第二次购进15030120(支支)所以所以(150120)y2600420.解得解得y6.答：每支售价至少是答：每支售价
17、至少是6元元1一艘轮船在静水中的最大航速为一艘轮船在静水中的最大航速为30千米千米/时，它沿江以时，它沿江以最大航速顺流航行最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航千米所用的时间与以最大航速逆流航行行60千米所用的时间相等千米所用的时间相等问：江水的流速为多少？问：江水的流速为多少？设江水的流速为设江水的流速为x千米千米/小时，小时，则可列方程则可列方程 随堂练习随堂练习2某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用了购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用了17.6万元万元购进第二
18、批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的购进第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但倍，但单价贵了单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最元，最后剩下的后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？商厦共盈利多少元？随堂练习随堂练习解：设第一批购买衬衫的数量为解：设第一批购买衬衫的数量为x件，件，根据题意，得根据题意，得解得解得x2000.经检验经检验x2000是原分式方程的解是原分式方程的解答：商厦共盈利答：商厦共盈利90260元元360005390036090260(元)分式方程的 应 用类型行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等方法步骤一审二设三找四列五解六验七写321法课堂小结课堂小结