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1、3.1.1变化率与导数概念变化率与导数概念本节课的学习内容本节课的学习内容学习目标：3.1.1变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?我们来分析一下:气球的体积公式 ，将半径r表示为体积 V的函数,那么34( )3V rr 33( )4Vr V1.当V从0增加到1时, 半径增加了平均膨胀率为(1)(0)0.62()rrdm(1)(0)(/ )1 00.62rrdm L2.当V从1增加到2时,半径增加了的平均膨胀率为(2)(1)0.16()rrdm(2)(1)(/ )2 10.
2、16rrdm L思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?;平均膨胀率1212rrVVrV问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.求运动员从2秒到(2+t)秒这段时间内的平均速度？tthththv9.41.13)2()2(平均变化率定义: 设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1)121)()f xxx2f(x用x2代替x1+x同样y代替f(x2)-f(x1)上述问题中函数f(x)从x1到x2的平均变化率表示为. )()( )()( 111212 xxfxxfx
3、xxfxfxy平均变化率平均变化率=平均变化率的几何意义OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)割线割线AB的斜的斜率率思考：1、在高台跳水例子中，平均变化率的物 理意义是什么？ 2、观察f(x)图象，平均变化率 的几何意义是什么？1212 )()(xxxfxf(x1， y1)(x2， y2)平均速度不能反映他在这段时间里运动态，需要用瞬时速度描述运动状态。 小组讨论：1、计算跳水运动员在 时间段内的平均速度，并描述他的运动状态？2、能不能用平均速度描述运动员在某些时间段内的的运动状态?49650t3.1.2瞬时速度的概念 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在平均速
4、度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。述运动状态。我们把物体在某一时刻的速我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?瞬时速度与瞬时变化率瞬时速度与瞬时变化率在高台跳水的例子中，求运动员从2s到(2+t)s这段时间内平均速度？tthththv9.41.13)2()2(1.13趋近于定值时，0趋近于 ，2t当表示1.13 )2()2(lim我们用0vtththt定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率称为函数处的瞬时变化率称为函数 y = f (x) 在在 x =
5、 x0 处的处的导数导数, 记作记作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx或)(0 xf0|xxyxfxffx)1()1(求,2)1(例：已知lim0注意:x为x1到x2的增量，可正也可负，形式是多样的，但x本质是x2-x1，不论哪种形式x必须选择与y相对应的形式。ABoxyy=f(x)割割线线切线切线T(x1， y1)(x2， y2) 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+1
6、5 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是)2(f ).6(f 和和xfxf)2()2(根据导数的定义根据导数的定义,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得.5)6(f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下
7、降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CC 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h, 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.C 练习练习: : 计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率, 并说并说明它们的意义明它们的意义.知识小结：导数（ 瞬时变化率）瞬时速度切线斜率xxfxxfxxxfxfxy )()( )()( 平均变化率.3111212 平均变化率割线斜率平均速度1.1）. 求平均变化率求平均变化率2）. 求值求值xfxfx00lim)(;)()(00 xxfxxfxy4.4.求函数求函数 y y = f f (x x) )在在 的导数的一般方法的导数的一般方法: :处0 x2.能力提升练习:处的导数值。1在)(求函数xxxf