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1、一元二次方程一元二次方程中考透析中考透析 一元二次方程在中考中都有独立的考题，形一元二次方程在中考中都有独立的考题，形式多样，选择题、填空题、解答题都有，属于式多样，选择题、填空题、解答题都有，属于重要内容，重要内容，2013年各地的中考考查了一元二次年各地的中考考查了一元二次方程的解法，根的判别式以及根与系数的关系，方程的解法，根的判别式以及根与系数的关系，均以选择题、填空题的形式出现，同时也考查均以选择题、填空题的形式出现，同时也考查了一元二次方程的应用。预计了一元二次方程的应用。预计2014年的中考将年的中考将仍然以一元二次方程的解法及根的判别式为重仍然以一元二次方程的解法及根的判别式为
2、重要考点，将加强对其应用的考查，特别是经济要考点，将加强对其应用的考查，特别是经济增长率问题和商品销售问题等社会热点问题。增长率问题和商品销售问题等社会热点问题。本节在中考中的分值是本节在中考中的分值是3-12分。分。第一关第一关知识要点说一说一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的最高次数是2次的整式方程是次的整式方程是一元二次方程。一元二次方程。练习：练习：判断下列方程是不是一元二次方程，若不是判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二次方程，请说明理由？一元二次方程，请说明理由？1、(x1) 、x22x=8、xy+5、xx
3、6、ax2 + bx + c3、x2+ x1一元二次方程的一般式一元二次方程的一般式0 0c cb bx xa ax x2 2（a0a0） 一元二次方程一元二次方程一般形式一般形式二次项系数二次项系数一次项系一次项系数数常数项常数项 3x3x=1=1 2y(y-3)= -43x-1=03x-1=03 32 2-6-6-1-14 40 02y2y2 2-6y+4=0-6y+4=0一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0( )的根的判别式的根的判别式_一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 _一元二次方程有两个不相等的实数根一元二次方程有两个不相等的实数根 _一元二次方程
4、没有实数根一元二次方程没有实数根 _ 解一元二次方程的基本思想是解一元二次方程的基本思想是_;解多元方程的解多元方程的基本思想是基本思想是_；解高次方程的基本思想是；解高次方程的基本思想是_在解一元二次方程时，如果能将方程变形为在解一元二次方程时，如果能将方程变形为x2=a（a0)或（或（x+a）2=b （b0）的形式，则可用）的形式，则可用_求求得方程的根为得方程的根为_.ao=b2-4ac=b2-4ac0=b2-4ac0=b=b2 2-4ac=0-4ac=0降次降次消元消元降次降次直接开平方法直接开平方法baxax或因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是
5、：1.将方程化将方程化为为_(即等号的右边为即等号的右边为_）2.将方程的左边进行将方程的左边进行_,3.分别得到两个分别得到两个_,即若即若ax2+bx+c=(ex+f)(mx+n)=0,则有则有_或或_，则，则它的解为它的解为x1=_,x2=_。配方法解配方法解ax2+bx+c=0（a0,b2-4ac0),1.将二次项系数将二次项系数化为化为_，即两边同时，即两边同时_，得到，得到_，2.将常数项移到方程的将常数项移到方程的_;即得到即得到_,3.在方程两边同时加上在方程两边同时加上_,即得到即得到_;4配成完全平方式，即配成完全平方式，即_，5.再用再用_求方程的解，配方法适用于解二次求
6、方程的解，配方法适用于解二次项系数为项系数为_,且一次项系数为且一次项系数为_一元二次方程一元二次方程.一般形式一般形式0因式分解因式分解一元一次方程一元一次方程ex+f=0mx+n=0efmnacxabx21除以除以a右边右边02acxabx一次项系数一半的平方一次项系数一半的平方直接开平方法直接开平方法偶数偶数222)2()2(abacabxabx22244)2(aacbabx1 求根公式又称求根公式又称_公式，它适用于解公式，它适用于解_,求根公式为求根公式为_（注意注意:必须先用判别式判断方程根的情况必须先用判别式判断方程根的情况）aacbbx242任何一个一元二次方程任何一个一元二次
7、方程万能万能 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）公式法（适当也可考虑配方法）用适当的方法解方程：用适当的方法解方程：（1）（）（x+5）2-9=0 （2）2x2-5x+1=0（3）x2+2x-2=0 (4)x2-4x-9996=0方程方程x2+px+q=0,当当_时，方程有两个根时，方程有两个根x1
8、、x2，且满足，且满足x1+x2=_,x1.x2=_ 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0中根与系数的关系存在的前中根与系数的关系存在的前提是提是_,在进行相关计算时常见的几种变形：在进行相关计算时常见的几种变形：构成以构成以a,b为根的一元二次方程为根的一元二次方程_要证明一个代数式恒大于零，通常用要证明一个代数式恒大于零，通常用_,将其配成将其配成_再加上一个再加上一个_,此时可判断代数式的最此时可判断代数式的最_值；若要证明一个代数式恒为负数时，也是用值；若要证明一个代数式恒为负数时，也是用_,将其将其配成一个配成一个_,在加上一个在加上一个_,此时可以判断此代此时可以判断此代数
9、式的最数式的最_值；要求一个代数式的最值也常用值；要求一个代数式的最值也常用_. _)4_()(3(_)2_(11) 1 (2112221222121xxxxxxxxxxx2-(a+b)x+ab=0配方法配方法完全平方式完全平方式正数正数小小配方法配方法完全平方式完全平方式负数负数大大配方法配方法=b2-4ac0=b2-4ac0练习练习1.已知关于已知关于x的方程的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0的的x1、x2且满足且满足 x1x2-3x1-3x2-2=0,求求 的值的值aaa2).441 (2第二关第二关基础题目轮一轮2 22 2、若方程、若方程是关于是关于x x的一元二次方程，
10、则的一元二次方程，则m m的值为的值为 。02) 1()2(22xmxmm3.3.若若x=2x=2是方程是方程x x2 2+ax-8=0+ax-8=0的解，则的解，则a=a= ; ;2 21 1、若、若 是关于是关于x x的一元二次的一元二次方程则方程则m m 。02222xmxm 24.已知方程已知方程x2+kx = - 3 的一个根是的一个根是-1，则，则k= 另一根为另一根为_2、已知一元二次方程、已知一元二次方程x2=2x 的解是（的解是（ ）（A）0 （B）2 （C）0或或-2 （D）0或或2 D 1、已知一元二次方程、已知一元二次方程(x+1)(2x1)=0的解是（的解是（ ）（A
11、）-1 （B）1/2 （C）-1或或-2 （D）-1或或1/2 D 第三关第三关典型例题显一显考点例解：考查一元二次方程的解法考点例解：考查一元二次方程的解法例例1 方程（方程（x+1）(x-2)=x+1的解是的解是 ( )A.2 B.3 C-1,2 D -1,3解析解析 ： 观察方程的形式观察方程的形式,发现可以先移项再用因式发现可以先移项再用因式分解法来解方程分解法来解方程,方程变形为方程变形为(x+1)(x-2)-(x+1)=0,即即(x+1)(x-3)=0 解得解得x1=-1 ,x2=3考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系例例2 若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x
12、+a=0有实数根，有实数根，则则a的取值范围是的取值范围是_解析：关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，有实数根， =4-4a0，解得，解得a1, a的取值范围是的取值范围是a1例例3 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解的实数解是是x1和和x2.(1)求求k的取值范围（的取值范围（2）如果）如果x1+x2-x1x2-1且且k为整数，求为整数，求k的值。的值。解析解析 ：（：（1）方程有实数解，方程有实数解，=4-4(k-1）0，解得，解得k0 , k的取值范围是的取值范围是k0.（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得）根据一元二次
13、方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1.x2=k+1x1+x2-x1x2=-2-k-1由已知，得由已知，得-3-k-1,解得看解得看k-2,又由（又由（1），得），得k0，-2k0，又，又k为整数，为整数，k的值为的值为-1或或01.关于关于x的方程的方程3x2-(m-1)x+m=0的两根的两根的平方和为的平方和为7/3,求求m的值的值变式训练变式训练 例例4.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该相同。已知该 厂今年厂今年4月份的电冰箱产量为月份的电冰箱产量为5万台，万台，6月月份比份比5月份多生产了月份多生产了12000
14、台，求该厂今年产量的月平均台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少增长率为多少?得根据题意均增长率为设该厂今年产量的月平解,:x. 2 . 115)1 ( 52xx:整理得).,(02 . 11075%;202 . 0107521舍去不合题意xx. 0625252xx:解得%.20:增长率为该厂今年产量的月平均答考查一元二次方程的应用考查一元二次方程的应用一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个
15、未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配方法配方法求求 根根 公式法公式法直接开平方法直接开平方法因因 式式 分解法分解法224204bbacbxcaa当时,0 00A BAB 化成或20 xm mxm 化成二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数20 0axbx ca 化成一般形式审、设、列、解、验、答审、设、列、解、验、答 某个公司投资新建了一商场，共有商铺某个公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金为间，据预测，当每间的年租金为10万元，可以全万元，可以全部租出。每间的年租金每增加部租出。每间的年租金每增加5000元，少租元，少租1间，间，该公司要为租出的商铺每年交各种费用该公司要为租出的商铺每年交各种费用1万元，未万元，未租出的商铺每间每年交各种费用租出的商铺每间每年交各种费用5000元元（1）当每间商铺的年租金定为）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出万元时，能租出多少间？多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为司的年收益为275万元？万元？（3）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益最大？司的年收益最大？