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1、第三章第三章 直线与方程直线与方程章末复习课1。直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度,但倾斜角是角度(0180）,是倾斜度的直接体现；斜率k是实数（k(，),是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当90时，直线的斜率不存在；当90时,斜率ktan，且经过两点A（x1,y1），B（x2，y2）(x1x2)的直线的斜率kAB错误错误! !。（3)当由 090180(不含 180)变化时，k由 0(含 0）逐渐增大到（不存在)，然后由（不存在）逐渐增大到 0(不含 0)。2。直线的五种方程及比较名称点
2、斜式斜截式方程常数的几何意义(x0，y0)是直线上的适用条件直线不垂直于xyy0k(xx0）ykxb一个定点，k是斜率轴k是斜率，b直线不垂直于x是直线在y轴上的截距错误错误! !错误错误! !轴直线不垂直于x两点式（x1，y1),（x2，y2)是直线上的两个定点轴和y轴a，b分别是直线在x截距式错误错误! !错误错误! !1直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点轴，y轴上的非零截距一般式AxByC0(A，B不同时为 0）A,B，C为系数垂直于x轴且过点(a,0）垂直于y轴且过点（0，b)任何情况xa(y轴：x0)特殊直线斜率不存在yb (x轴:y0)斜率k0解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适
3、用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意AB0，必要时要对特殊情况进行讨论。3.两直线的平行与垂直直线方程22l1：yk1xb1，l2：yk2xb2l1l2 k1k2且b1b2l1l2 k1k21l1：A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20平行的等价条件l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10）垂直的等价条件l1l2 A1A2B2B10由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时 ,要注意条件的限制;同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方
4、程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程。4.距离问题类型两点间的距离已知条件公式A（x1,y1），B(x2，y2)P(x0，y0)d错误错误! !d错误错误! !点到直线的距离两条平行直线间的距离l：AxByC0l1：AxByC10，l2：AxByC20 (A，B不同时为 0)d错误错误! !学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义 ,解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5。直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程 .直线系方程的常
5、见类型有：(1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)（k是参数，直线系中未包括直线xx0），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2)平行于已知直线AxByC0 的直线系方程是:AxBy0（是参数，C)；（3）垂直于已知直线AxByC0 的直线系方程是：BxAy0(是参数）；(4）过两条已知直线l1：A1xB1yC10 和l2:A2xB2yC20 的交点的直线系方程是:A1xB1yC1（A2xB2yC2)0(是参数，当0 时，方程变为A1xB1yC10，恰好表示直线l1;当0 时,方程表示过直线l1和l2的交点,但不含直线l2）.6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大
6、类：一类是中心对称，一类是轴对称.（1)中心对称两点关于点对称，设P1(x1，y1),P（a，b)，则P1（x1，y1）关于P（a，b）对称的点为P2（2ax1，2by1)，即P为线段P1P2的中点。特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P（x,y).两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1l2，P到l1，l2的距离相等.(2)轴对称两点关于直线对称,设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称.当
7、三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；当l1l2l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离。方法一分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决 .在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决。在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题。【例 1】 设直线l的方程为（a1）xy2a0(aR R）在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程。解当 2a0,即a2 时，
8、直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3xy0。当a1 时，直线在x轴上无截距，不符合题意,故当a1 且a2 时，由题意得：错误错误! !a2，解得：a0。此时直线的方程为：xy20。综上，所求直线方程为 3xy0 或xy20。【训练 1】 直线l经过点P（2,3)，且在x,y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程。解当截距都为 0 时，直线过原点，此时k错误错误! !，所以直线方程为y错误错误! !x.当截距都不为 0 时,根据题意，设所求直线的方程为错误错误! !错误错误! !1.直线过点P（2，3)，错误错误! !错误错误! !1，得a1.直线方程xy10.综上，所求直线方程为xy1
9、0 或y错误错误! !x。方法二数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现 .数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数解“形”。数形结合思想是解析几何的灵魂,两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点 ,常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决 .用数形结合思想解题，主要通过三种途径:坐标系;转化；构造图形，构造函数.【例 2】 已知f(x）错误错误! !错误错误! !，求f(x)的最大值及相应的x值。解由题意，得f(
10、x)|错误错误! !错误错误! ! （x1 （0 2） )错误错误! !错误错误! !|.22如图所示,在直角坐标平面内，设点P（x，0),A(1，错误错误! !)，B（2，错误错误! !)。f(x）|PAPB|AB，当P，A，B三点共线时，等号成立,此时错误错误! !错误错误! !，x错误错误! !错误错误! !.故当x错误错误! !时，f（x)max错误错误! !。【训练 2】 过点M(0，3)的直线l与以点A(3，0）、B(4，1）为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。解如图，直线l过点A(3,0)时,就是直线MA,倾斜角1为最小，此时有 tan1错误错误! !1,1错误
11、错误! !.直线l过点B（4，1)时,就是直线MB，倾斜角2为最大，此时有 tan2错误错误! !1，2错误错误! !。故直线l过点M,并绕M转动时，倾斜角的取值范围是错误错误! !。当错误错误! !时，直线l无斜率；当错误错误! !时，直线l的斜率ktan1,）;当错误错误! !时，直线l的斜率ktan（，1.直线l的斜率k的取值范围是（，11，).方法三转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化,可使较繁问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决。【例 3】 在直线 2x3y6 上求一点P（x，y)，使Sxy的值最大。解点P(x，y）在 2x3y60 上，y错误错误! !。Sx
12、yx（62x）3错误错误! !（2x6x）错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。2当x错误错误! !时，S取最大值，此时y1,即点P为错误错误! !。【训练 3】 已知在ABC中，A（1，1)，B(m,错误错误! !)，C（4，2)，其中 1m4,求m为何值时,ABC的面积S最大？解A(1,1)，C（4,2)，|AC|错误错误! !错误错误! !。又直线AC的方程为x3y20,点B（m，错误错误! !)到直线AC的距离d错误错误! !。S错误错误! !AC|d错误错误! !|m3错误错误! !2错误错误! !错误错误! !.1m4,1错误错误! !2，错误错误! !错误错误
13、! !错误错误! !错误错误! !，0错误错误! !错误错误! !错误错误! !.0S1，当错误错误! !错误错误! !0，即m错误错误! !时S取得最大值.8方法四待定系数法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程,当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况。(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单。【例 4】 过点P(1,0），Q(0,2）分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为 1,求这两条直线的方程.解(1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x1,x0，它们在x轴上截距之差
14、的绝对值为 1，满足题意；(2）当直线的斜率存在时，设其斜率为k,则两条直线的方程分别为yk(x1),ykx2.令y0，分别得x1，x错误错误! !。由题意得错误错误! !1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知,所求的直线方程为x1，x0，或xy10,xy20。【训练 4】 求经过两直线l1:3x4y20 和l2：2xy20 的交点且过坐标原点的直线l的方程.解l2不过原点，可设l的方程为 3x4y2（2xy2）0（R R)，即（32）x（4）y220.将原点坐标(0，0)代入上式，得1，直线l的方程为 5x5y0，即xy0.1。(2013安徽高考）函数yf(
15、x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到n(n2）个不同的数x1，x2，xn,使得错误错误! !错误错误! !错误错误! !，则n的取值范围为（)A。3，4C。3，4，5B。2，3,4D.2，3解析由题意，函数yf(x)上的任一点坐标为(x,f（x)，故错误错误! !表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率。若错误错误! !错误错误! !错误错误! !,则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等,即过原点的直线与曲线yf(x）有n个交点。如图，数形结合可得n的取值可为 2,3，4。答案B2。（2013四川高考）在平面直角坐标系内，到点A（1，2),B(1，5），C（3,6），D（7，1)的距离之和最小
16、的点的坐标是_。解析由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则PA|PC|AC，等号成立的条件是点P在线段AC上；|PB|PDBD，等号成立的条件是点P在线段BD上。所以到A，B,C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.直线AC方程为 2xy0,直线BD方程为xy60.错误错误! !解得错误错误! !即所求点的坐标为（2，4).答案(2，4）尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家
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