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1、江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题江苏省苏锡常镇四市江苏省苏锡常镇四市 20192019 届高三数学第三次模拟考试试题届高三数学第三次模拟考试试题(满分 160 分，考试时间 120 分钟）20195一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分，共 70 分1。 已知集合 Ax|x1 ，Bx|0 x3 ，则 AB_2. 已知复数 z错误错误! !，其中 i 是虚数单位,则|z|_23。 已知双曲线 C 的方程为错误错误! !y 1，则其离心率为_4。 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为_T1i2While T0)的图象关于直线x错误错误! !对称， 则 的最
2、小值为_9. 已知正实数 a，b 满足 ab1,则错误错误! !错误错误! !的最小值为_210。 已知偶函数 f（x)的定义域为 R R，且在0，)上为增函数，则不等式f(3x)f(x 2)的解集为_2211。 过直线 l：yx2 上任意一点 P 作圆 C：x y 1 的两条切线，切点分别为A,B，当切线长最小时，PAB 的面积为_1212。 已知点 P 在曲线 C：y x 上，曲线C 在点 P 处的切线为 l，过点P 且与直线 l 垂直的直线与曲线2C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点若 OPOQ，则点 P 的纵坐标为_13. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中,CAB90，AB2，以 A
3、B 为直径在ABC 外作半圆 O，P 为半圆弧 AB 上的动点，点 Q 在斜边 BC 上若错误错误! !错误错误! !错误错误! !，则错误错误! !错误错误! !的最小值为_x214。 已知 e 为自然对数的底数，函数f（x)e ax 的图象恒在直线 y错误错误! !ax 上方，则实数a 的取值范围是_- 1 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15。 （本小题满分 14 分)如图，在三棱锥PABC 中,过点 P 作 PDAB，垂足为D，点 E，F 分别是 PD，PC 的中
4、点，且平面PAB平PCD.求证：(1） EF平面 ABC;（2） CEAB.16. (本小题满分 14 分)在ABC 中，角 A,B，C 的对边分别为 a,b,c，且错误错误! !错误错误! !.（1） 求角 A 的大小；(2) 若 cos(B6)错误错误! !,求 cos C 的值- 2 -面江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题17. (本小题满分 14 分)某工厂拟制造一个如图所示的容积为36立方米的有盖圆锥形容器(1） 若该容器的底面半径为6 米，求该容器的表面积；(2） 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省?- 3 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三
5、数学第三次模拟考试试题18. （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：错误错误! !错误错误! !1(ab0)的左、右顶点分别为 A1(2，0)，A2（2，0),右准线方程为 x4。过点 A1的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D.直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G,直线 OG 与直线 A1D 交于点 H.(1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 若 HGA1D，试求直线 A1D 的方程；(3） 如果错误错误! !错误错误! !，试求 的取值范围- 4 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题19. （
6、本小题满分 16 分)2已知函数 f(x)x （2a）xaln x，其中 aR。（1） 如果曲线 yf(x）在 x1 处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；a（2) 若函数 f（x）的极小值不超过 ,求实数 a 的最小值;2（3) 对任意 x11，2 ，总存在 x24，8 ，使得 f(x1)f(x2）成立,求实数 a 的取值范围- 5 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题20。 （本小题满分 16 分)已知数列an是各项都不为 0 的无穷数列,对任意的 n3，nN N,a1a2a2a3an1an(n1）a1an恒成立1 1（1） 如果 , ，错误错误! !成等差数列，求
7、实数 的值；a1a2（2) 已知 1.求证：数列错误错误! !是等差数列；已知数列an中，a1a2.数列bn是公比为 q 的等比数列，满足 b1错误错误! !，b2错误错误! !,b3错误错误! !（iN N ） 求证：q 是整数，且数列bn中的任意一项都是数列错误错误! !中的项- 6 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题20192019 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷数学附加题数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟）21。 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题10 分,共 20 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字
8、说明、证明过程或演算步骤A。 （选修 42：矩阵与变换)12已知矩阵A A错误错误! !，其逆矩阵A A错误错误! !，求A A。B。 (选修 44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为错误错误! !（ 为参数)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点 M,N 的极坐标分別为(2,0） ，(2错误错误! !,错误错误! !)，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长C. (选修 45：不等式选讲）已知正数 a，b，c 满足 abc2，求证：错误错误! !错误错误! !错误错误! !1.- 7 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三
9、次模拟考试试题【必做题】 第 22， 23 题,每小题 10 分,共 20 分 解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤222. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y 4x 的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点（1） 求线段 AF 的中点 M 的轨迹方程；(2) 已知AOB 的面积是BOF 面积的 3 倍，求直线 l 的方程23。 已知数列an中，a12，且 an1a错误错误! !an1 对任意 nN N 恒成立求证：（1) an1anan1an2a2a11（nN N ） ；(2） ann1n 1（nN N ） - 8 -江苏省苏锡常镇四市 20
10、19 届高三数学第三次模拟考试试题20192019 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (苏锡常镇）苏锡常镇）数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准1. (0，1）2。 13. 错误错误! !4. 85。 556。 错误错误! !7. 错误错误! !8。 错误错误! !9。 1110. （12，1)（1，2）11.212。 113。 错误错误! !14. (2e ,015。 证明：在三棱锥 PABC 中：（1） 因为点 E，F 分别是 PD,PC 的中点，所以 EF 为PCD 的中位线， （2 分）则有 EFCD.(3 分）又 EF平面 ABC，CD平面 ABC，所以 EF平面 AB
11、C。 （7 分）平面 PAB，1（2） 因为平面 PAB平面 PCD，平面 PAB平面 PCDPD，ABPD，AB所以 AB平面 PCD.（11 分)又 CE平面 PCD，所以 ABCE.(14 分）16。 解:(1) 由正弦定理错误错误! !错误错误! !错误错误! !，且错误错误! !错误错误! !，(1 分）得错误错误! !错误错误! !， （2 分）则有错误错误! !sin A2cos A,即错误错误! !sin Acos A2，2sin（A错误错误! !)2,故 sin(A错误错误! !）1。 （4 分）因为 A（0，）,则 A错误错误! !(错误错误! !,错误错误! !） ，所以
12、 A错误错误! !错误错误! !，即 A错误错误! !。 （6 分）(2） 在ABC 中， 因为 A错误错误! !， 则 B （0,错误错误! !)， B错误错误! ! （错误错误! !,错误错误! !),所以 sin(B错误错误! !)0。因为 cos（B错误错误! !)错误错误! !，所以 sin（B错误错误! !)错误错误! !错误错误! !。(8 分）在ABC 中，ABC,（9 分）所以 cos Ccos(AB)cos(AB)cos(B错误错误! !)(10 分)cos （B错误错误! !）错误错误! !cos(B错误错误! !)cos 错误错误! !sin(B错误错误! !）sin
13、错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !.（14 分)17。 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为 h 米，母线为 l 米，侧面积为 S 平方米，容积为 V 立方米,则 V36。12(1） 由 r6,得 V r h36，得 h3，(1 分）3所以 Srlr错误错误! !6错误错误! !18错误错误! !。(2 分)2又底面积为r 36(平方米)， （3 分)故该容器的表面积为（18错误错误! !36）18（2错误错误! !）（平方米） (4 分)答:该容器的表面积为 18(2错误错误! !）平方米 （5 分)22（2) 因为 V错误错误! !r
14、h36,得 r 错误错误! !错误错误! !，其中 h0，所以 Srlr r h 错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。(8 分）记 f（h)错误错误! !h，令 f（h)错误错误! !1错误错误! !0，得 h6。 （10 分）当 h（0,6)时，f(h） 0，f（h）在（0，6）上单调递减；当 h（6，）时,f(h） 0，f（h)在（6,）上单调递增 （12 分）所以，当 h6 时,f（h)最小,此时 S 最小(13 分）答：当容器的高为 6 米时，制造容器的侧面用料最省 （14 分)- 9 -22江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题
15、18. 解：(1) 由椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1（2，0） ，A2(2，0）,右准线方程为 x4,得222a2，错误错误! !4，故 c1,b a c 3。(2 分)所以椭圆 C 的方程为错误错误! !错误错误! !1。(3 分)（2) 设直线 A1D：yk(x2） （k0)，则与右准线 x4 的交点 D(4,6k)又 A2（2，0)，所以设直线 A2D：y3k(x2） ，联立，得错误错误! !解得 G(错误错误! !，错误错误! !） ，(5 分）则直线 OG 的斜率为 kOG错误错误! !。6k因为 OGA1D，故2k1。又 k0，解得 k错误错误! !,（7 分）12k 1则直线
16、 A1D 的方程为 y错误错误! !（x2) （8 分)(3) 由(2)中可设直线 OG:y错误错误! !x，联立，得错误错误! !解得 H（错误错误! !，错误错误! !)(10 分)联立，得错误错误! !解得 P(错误错误! !,错误错误! !)(12 分)因为错误错误! !错误错误! !，所以(xH2，yH）（xP2，yP),则 yHyP，错误错误! !f（k)错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。 （14 分）因为 f(k)在(0,)上为减函数,(15 分)所以 （错误错误! !,错误错误! !) （16 分）219. 解:因为 f（x)x (2a)xaln x,所
17、以 f(x）错误错误! !.（1 分）（1） 因为曲线 yf（x）在 x1 处的切线斜率为 1，3所以 f（1)2(2a)1，解得 a .（2 分）2(2） 当 a0 时，f（x)0 在(0，）上恒成立，即f(x）在(0,）上单调递增,故函数 f（x)不存在极值 （3 分）当 a0 时,令 f(x)0，得 x错误错误! !。xf（x）f(x)(0,错误错误! !）错误错误! !0极小值（错误错误! !，）（5 分)则 f（x）minf(错误错误! !）a错误错误! !aln 错误错误! !错误错误! !。因为a0，则错误错误! !错误错误! !ln 错误错误! !0。令 g(a）错误错误! !
18、错误错误! !ln 错误错误! !错误错误! !ln 2错误错误! !ln a,则 g（a）错误错误! !错误错误! !0,则 g（a)在（0，)上单调递减 （7 分）又 g(2)0,所以 g(a）g（2)0，则 a2，则实数 a 的最小值为 2.(8 分)(3） 记 f（x）在1,2上的值域为 A，在4,8上的值域为 B,“任意 x11,2 ，总存在 x24，8,使得 f（x1)f（x2)成立”等价于“AB” 当错误错误! !1 或错误错误! !8，即 a2 或 a16 时，由（2)知 f（x)在1，8上为单调函数，不合题意；(9 分）当 1错误错误! !2，即 2a4 时，由（2）知 f(
19、x)在（0，错误错误! !）上单调递减，在(错误错误! !,）上单调递增，故 f(错误错误! !)A，但 f(错误错误! !)B，不合题意； （10 分）当 2错误错误! !4，即 4a8 时,Af（2)，f（1） ，Bf（4),f(8） ，由 AB,得错误错误! !则错误错误! !解得错误错误! !(11 分)因为 0ln 21,则 22ln 23，即 4错误错误! !错误错误! !2 ，则 e错误错误! !e 2 ,即错误错误! !ln 2 4ln 2，即 78ln 2，- 10 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题778错误错误! !0，即错误错误! !8.73l
20、n 2也即 2124ln 2，则所以错误错误! !a8.（13 分)当 4错误错误! !8，即 8a16,由 AB，得 f(8）f(1） ，得a错误错误! !错误错误! !110,b0，c0,abc2，由柯西不等式,得(bc)（ca)（ab) （错误错误! !错误错误! !错误错误! !)(错误错误! !）2(错误错误! !）2(错误错误! !)2(错误错误! !)2(错误错误! !）2（错误错误! !)2（错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !）2（5 分)（abc)222,(8 分）2则abc错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误!
21、 !1。所以错误错误! !错误错误! !错误错误! !1。 （10 分)22. 解：因为抛物线方程为y24x，所以 F(1，0) （1 分）(1） 设 M(x，y）,A(x0,y0)因为点 M 为线段 AF 的中点，则 x错误错误! !，y错误错误! !， （2 分）则 xy202x1，02y，代入抛物线方程,得 y 2x1,即点 M 的轨迹方程为 y22x1。 （4 分）(2) 设 A（x1，y1),B（x2，y2） ，不妨设 y10，y20 时，得直线 l：y2 2（x1)综上，直线 l 的方程为 y2 2（x1） (10 分)23. 证明：(1) 当 n1 时,a2a1(a11）13a1
22、1 成立假设 nk 时，结论成立，即 ak1akak1a2a11。当 nk1 时，ak2ak1(ak11）1ak1(akak1a2a111）1ak1akak1a2a11.则当 nk1 时，命题成立综上，an1anan1an2a2a11.（4 分）(2) 要证 ann1n 1，由(1）an1anan1an2a2a11，只需证 annan1an2a2a1n 。下用数学归纳法证明：当 n1,2，3 时，a2312，a23,a37，则 21，232 ，2373 .假设 nk(k3）时，结论成立，即aakkak1k2a2a1k ,(6 分）则 nk1 时，ak1aka2a1（akak1a2a11)aka
23、k1a2a1- 13 -江苏省苏锡常镇四市 2019 届高三数学第三次模拟考试试题 （akak1ak2a2a1） k 。(7 分)设 f（x)2xln x（x1）ln(x1)(x3)，则 f（x）ln 错误错误! !1ln 错误错误! !1ln（x1）1ln 210，27所以 f(x)为增函数，则 f（x)f(3）2(3ln 32ln 4)2ln0，16则 2kln k （k1）ln(k1） ，ln k ln（k1)，即 k (k1）k1即 ak1aka2a1(k1)，则 nk1 时，命题成立 （9 分)nn综上，anan1an2a2a1n ，所以 an1n 1。(10 分)2k(k1)2k（k1） 22k- 14 -