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1、过已知点过已知点A、B作圆，可以作无数个圆作圆，可以作无数个圆圆心在线段圆心在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上各圆心的分布有什么特点各圆心的分布有什么特点?与线段与线段AB有什么关系？有什么关系？大胆猜想大胆猜想AB【知识与能力知识与能力】 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题的概念解决一些实际问题 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解理，并辅以逻辑证明加予理解【过程与方法过程与方法】【情感态度与价值观情感态度与价值观】 培养通过动手实践发现问题的能力培养通过动手实践发现问题
2、的能力 渗透渗透“观察观察分析分析归纳归纳概括概括”的数学思想方的数学思想方法法 垂径定理及其运用垂径定理及其运用什么是轴对称图形？什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线如果一个图形沿一条直线对折对折，直线两旁的部，直线两旁的部分能够互相分能够互相重合重合，那么这个图形叫轴对称图形，那么这个图形叫轴对称图形回回 顾顾线段线段角角等腰三角形等腰三角形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形正方形正方形圆圆圆也是轴对称图形吗？圆也是轴对称图形吗？探究探究动画动画沿着圆的任意一条直径对折沿着圆的任意一条直径对折圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径任何一
3、条直径所在的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴圆有哪些对称轴？圆有哪些对称轴？OOABCDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径， AB是弦，是弦， CDAB，垂足为，垂足为E 下图是轴对称图形吗？下图是轴对称图形吗？已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦， CDAB，垂足为，垂足为E求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在所在的直线的直线 既是等腰三角形既是等腰三角形OAB的对称轴又的对称轴又 是是 O的对称轴的对称轴 当
4、把圆沿着直径当把圆沿着直径CD折叠时，折叠时， CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合， A点和点和B点重合，点重合， AE和和BE重合，重合， AC、AD分别和分别和BC、BD重合重合 AEBE，ACBC，ADBD叠合法叠合法DOABEC 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 知识要点知识要点DOABECAEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径过圆心直径过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC将题设与结论调换将题设与结论
5、调换过来，还成立吗？过来，还成立吗？ 这五条进行这五条进行排列组合，会出排列组合，会出现多少个命题？现多少个命题？ 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直径）的（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里的弦为
6、什么强调这里的弦不是直径不是直径？ 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 垂直于弦垂直于弦 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分
7、弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （3）弦的）弦的垂直平分垂直平分线线 经经过圆心过圆心，并且，并且平平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心
8、 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 （4）垂直于弦垂直于弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直直径径过圆心过圆心，并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （5）平分弦平分弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直直径径过过圆心圆心，垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧 平分弦平分弦
9、 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 （6）平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧的的直直径径过圆心过圆心，并且并且垂直平分弦垂直平分弦AMBM， CMDM圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的所夹的弧相等弧相等MOABNCD证明：作直径证明：作直径MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧两
10、条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论2有这两种情况：有这两种情况：OOABCDCDABE已知：已知：AB求作：求作：AB的的中点中点点点E就是所求就是所求AB的中点的中点作法：作法：1 连结连结AB2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线 CD，交，交AB于点于点EABCDE已知：已知：AB求作：求作：AB的四等分点的四等分点作法：作法：1 连结连结AB3 连结连结AC2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线 ，交，交AB于点于点E4 作作AC的垂直的垂直平分线平分线 ，交，交AC于点于点F5 点点G同理同理点点D、C、E就是就是AB的四等分点的四等分点ABC作作AC的垂直平分线的垂直平分线作
11、作BC的垂直平分线的垂直平分线 等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线CABO你能确定你能确定AB的圆心吗？的圆心吗？作法：作法：1 连结连结AB2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线 ，交，交AB于点于点C3 作作AC、BC的垂直平分线的垂直平分线4 三条垂直平分三条垂直平分线交于一点线交于一点O点点O就是就是AB的圆心的圆心你你能能破破镜镜重重圆圆吗？吗？ABCmnO 作弦作弦AB、AC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线m、n，交于交于O点；以点；以O为圆心，为圆心，OA为半径作圆为半径作圆作法：作法：依据：依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦弦的垂
12、直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧EOABDCd + h = r222)2(adrdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？ 在在a，d，r，h中，已知其中任中，已知其中任意两个量，可以意两个量，可以求出其它两个量求出其它两个量 你知道赵州桥吗你知道赵州桥吗?它是它是1300多年前我国隋代建造多年前我国隋代建造的石拱桥，的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m 赵州桥主桥拱的半径是多
13、少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实际问题 用用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为R 经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高ABABAB解：解：1137.418.7,22ADABAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2BODACR解得解得 R27.9（m）在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州
14、桥的主桥拱半径约为27.9mOA2=AD2+OD21 圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径任何一条直径所在的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴O 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 2 垂径定理垂径定理DOABEC条件条件结论结论命题命题 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线
15、经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦3垂径定理的推论垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的经常是过圆心作弦的垂线垂线，或作，或作垂直于弦垂直于弦的直径的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定理等辅助线
16、，为应用垂径定理创造条件创造条件4 解决有关弦的问题解决有关弦的问题 1 判断：判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧的两弧 （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧对的另一弧 （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦）经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ ） 2 在在 O中，弦中，
17、弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm118422AEAB 3 在在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等为互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E， 求证：四边形求证：四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边
18、形ADOE为正方形为正方形 4 在直径是在直径是20cm的的 O中，中， 的度数的度数是是60，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是_AB D A B O5 3cm 5 弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为_ D C A B Ocm134 6 已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如果如果 O的半径是的半径是3cm，那么过，那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于_ E D C B A P O2 5cm 7 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点点O是弧是弧CD的圆
19、心），其中的圆心），其中CD=600m，E为弧为弧CD上上的一点，且的一点，且OECD垂足为垂足为F，EF=90m求这段弯求这段弯路的半径路的半径解解:连接连接OCOCDEF.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.90300222RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为 8 已知在已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距的距离为离为3cm，求，求 O的半径的半径解：连结解：连结OA过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则OE3cm，AEBE AB8cm AE4cm 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5cm O的半径为的半径为5cmAEBO 9 在以在以O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中，大圆的弦同心圆中，大圆的弦AB交小圆交小圆于于C，D两点两点 求证：求证：ACBD证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，所以，ACBDEACDBO10 已知：已知： O中弦中弦ABCD 求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB ABCD， MNCD 则则AMBM，CMDM AMCMBMDM ACBD MCDABON