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1、 当一次试验要涉及当一次试验要涉及两个因素两个因素, ,并且可能出现并且可能出现的结果数目较多时的结果数目较多时, ,为了不重不漏的列出所有可为了不重不漏的列出所有可能的结果能的结果, ,通常采用通常采用列表法列表法. .一个因素所包含的可能情况一个因素所包含的可能情况 另一另一个因素个因素所包含所包含的可能的可能情况情况两个因素所组合的两个因素所组合的所有可能情况所有可能情况, ,即即n n 在所有可能情况在所有可能情况n n中中, ,再找到满足条件的事件的个再找到满足条件的事件的个数数m,m,最后代入公式计算最后代入公式计算. .列表法中表格构造特点列表法中表格构造特点: : 当一次试当一
2、次试验中涉及验中涉及3 3个个因素因素或或更多更多的因素的因素时时, ,怎怎么办么办? ? 当一次试验中涉及当一次试验中涉及3 3个因素或更多的因素时个因素或更多的因素时, ,用列用列表法就不方便了表法就不方便了. .为了不重不漏地列出所有可能的结果为了不重不漏地列出所有可能的结果, ,通常采用通常采用“树形图树形图”. .树形图的画法树形图的画法: :一个试验一个试验第一个因数第一个因数第二个第二个第三个第三个 如一个试验如一个试验中涉及中涉及3 3个因数个因数, ,第第一个因数中有一个因数中有2 2种种可能情况可能情况; ;第二个第二个因数中有因数中有3 3种可能种可能的情况的情况; ;第
3、三个因第三个因数中有数中有2 2种可能的种可能的情况情况, ,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图则其树形图如图. .n=2n=23 32=122=12例例1 1 同时抛掷三枚硬币同时抛掷三枚硬币, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1) (1) 三枚硬币全部正面朝上三枚硬币全部正面朝上; ;(2) (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; ;(3) (3) 至少有两枚硬币正面朝上至少有两枚硬币正面朝上. .正正 反反 正正 反反 正正 反反 正正 反反正正反反正正反反正正反反抛掷硬币试验抛掷硬币试验解解:
4、: 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,抛掷抛掷3 3枚枚硬币的结果有硬币的结果有8 8种种, ,它们出现的它们出现的可能性相等可能性相等. . P(A)P(A)(1)(1)满足三枚硬币全部正面朝满足三枚硬币全部正面朝上上( (记为事件记为事件A)A)的结果只有的结果只有1 1种种18= P(B)P(B)38=(2)(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬满足两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上币反面朝上( (记为事件记为事件B)B)的结果有的结果有3 3种种(3)(3)满足至少有两枚硬币正面朝满足至少有两枚硬币正面朝上上( (记为事件记为事件C)C)的结果有的结果有4 4种种 P(C)P(C)48
5、=12=第第枚枚 例例2.2.甲、乙、丙三人打乒乓球甲、乙、丙三人打乒乓球. .由哪两人先打呢由哪两人先打呢? ?他们决定用他们决定用 “ “石头、剪刀、布石头、剪刀、布”的游戏来决定的游戏来决定, ,游戏时游戏时三人每次做三人每次做“石头石头” “” “剪刀剪刀”“”“布布”三种手势中的一三种手势中的一种种, ,规定规定“石头石头” ” 胜胜“剪刀剪刀”, “, “剪刀剪刀”胜胜“布布”, “, “布布”胜胜“石头石头”. . 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少问一次比赛能淘汰一人的概率是多少? ?石石剪剪布布石石游戏开始游戏开始甲甲乙乙丙丙石石石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布
6、石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布石石剪剪布布石石剪剪布布剪剪布布解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,游戏的结果游戏的结果有有2727种种, ,它们出现的可能性相等它们出现的可能性相等. . 由规则可知由规则可知, ,一次能淘汰一人的结果应是一次能淘汰一人的结果应是:“:“石石剪石石剪” ” “剪剪布剪剪布” “” “布布石布布石”三类三类. . 而满足条件而满足条件( (记为事件记为事件A)A)的结果有的结果有9 9种种 P(A)=P(A)=13=9273.3.某电脑公司现有某电脑公司现有A A，B B，C C三种型号的甲品牌电三种型号的甲品牌电脑和脑和D
7、 D，E E两种型号的乙品牌电脑希望中学要从两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑(1) (1) 写出所有选购方案写出所有选购方案( (利用树状图或列表方法利用树状图或列表方法表示）；表示）；(2) (2) 如果如果(1)(1)中各种选购方案被选中的可能性相中各种选购方案被选中的可能性相同，那么同，那么A A型号电脑被选中的概率是多少？型号电脑被选中的概率是多少？(3) (3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共3636台台( (价格如图所示价格如图所示) )，恰好用了，恰好用了10
8、10万元人民币，其万元人民币，其中甲品牌电脑为中甲品牌电脑为A A型号电脑，求购买的型号电脑，求购买的A A型号电脑型号电脑有几台有几台解：解：(1) (1) 树状图如下树状图如下 有有6 6种可能种可能, ,分别为分别为( (A A，D D) )，（，（A A，E E），（），（B B，D D），（），（B B，E E），（），（C C，D D），（），（C C，E E）还可以用表格求还可以用表格求也清楚的看到，有也清楚的看到，有6 6种可能种可能, ,分别为分别为( (A A，D D) )，（A A，E E），（），（B B，D D），（），（B B，E E），（），（C C，D D），）
9、，（C C，E E）(2) (2) 因为选中因为选中A A型号电脑有型号电脑有2 2种方案，即种方案，即( (A A，D D) )（A A，E E），所以），所以A A型号电脑被选中的概型号电脑被选中的概率是率是31 (3) (3) 由由(2)(2)可知，当选用方案（可知，当选用方案（A A，D D）时，设购买时，设购买A A型号、型号、D D型号电脑分别为型号电脑分别为x x，y y台，根据题意，得台，根据题意，得 .10000050006000,36yxyx解得解得 经检验不符合题意，舍去；经检验不符合题意，舍去； .116,80yx当选用方案（当选用方案（A A，）时，设购买）时，设购买
10、A A型号、型号、型号电脑分别为型号电脑分别为x x，y y台，根据题意，得台，根据题意，得.10000020006000,36yxyx解得解得 .29, 7yx所以希望中学购买了所以希望中学购买了7 7台台A A型号电型号电脑脑 数学病院用下图所示的转盘进行用下图所示的转盘进行“配紫色配紫色”游戏，游戏者获胜的概率是多少？游戏，游戏者获胜的概率是多少？ 开始开始灰灰蓝蓝 （灰，蓝）（灰，蓝）绿绿 （灰，绿）（灰，绿）黄黄 （灰，黄）（灰，黄）白白蓝蓝 （白，蓝）（白，蓝）绿绿 （白，绿）（白，绿）黄黄 （白，黄（白，黄）红红蓝蓝 （红，蓝）（红，蓝）绿绿 （红，绿）（红，绿）黄黄 （红，黄）
11、（红，黄）你认为她的你认为她的想法对吗，想法对吗，为什么？为什么？总共有总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够够 配成紫色的结果只有一种：配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏（红，蓝），故游戏者获胜的概率为者获胜的概率为19 。用树状图或列表用树状图或列表法求概率时，各法求概率时，各种结果出现的可种结果出现的可能性务必相同。能性务必相同。用树状图和列表的方法求概率的前提:各种结果出现的可能性务必相同.例如注意：(1) (1) 列表法和树形图法的优点是什么列表法和树形图法的优点是什么? ? (2)(2)什么时候使用什么时候使用“列表法列表法
12、”方便方便? ?什么时候使什么时候使用用“树形图法树形图法”方便方便? ? 利用利用树形图树形图或或表格表格可以清晰地表示出某可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果个事件发生的所有可能出现的结果; ;从而较方从而较方便地求出某些事件发生的概率便地求出某些事件发生的概率. . 当试验包含当试验包含两步两步时时, ,列表法列表法比较方便比较方便, ,当然当然, ,此时也可以用树形图法此时也可以用树形图法; ; 当试验在当试验在三步或三步以上三步或三步以上时时, ,用用树形图法树形图法方便方便. .1. 1. 在在6 6张卡片上分别写有张卡片上分别写有1616的整数的整数, ,随机的抽取一
13、张随机的抽取一张后放回后放回, ,再随机的抽取一张再随机的抽取一张, ,那么那么, ,第一次取出的数字能第一次取出的数字能够整除第够整除第2 2次取出的数字的概率是多少次取出的数字的概率是多少? ?2.2.经过某十字路口的汽车经过某十字路口的汽车, ,它可能继续直行它可能继续直行, ,也可能向左也可能向左转或向右转转或向右转, ,如果这三种可能性大小相同如果这三种可能性大小相同, ,当有三辆汽当有三辆汽车经过这个十字路口时车经过这个十字路口时, ,求下列事件的概率求下列事件的概率: :(1)(1)三辆车全部继续直行三辆车全部继续直行; ;(2)(2)两辆车向右转两辆车向右转, ,一辆车向左转一
14、辆车向左转; ;(3)(3)至少有两辆车向左转至少有两辆车向左转. .答案答案: :197181.2. (1)(2)(3)127727第一辆左右左右左直右左直右第二辆第三辆直直左右直左右直左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直直右右左直右左直右左直左直右右左直右左直右左左直右直右共有27种行驶方向解：画树形图如下：271()1 (全部继续直行）P3. 3. 用数字用数字1 1、2 2、3,3,组成三位数组成三位数, ,求其中恰有求其中恰有2 2个相同的个相同的数字的概率数字的概率. .1 2 31组数开始组数开始百位百位个位个位十位十位123123123231 2 3 1 2 3 1 2
15、3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. .其中恰有其中恰有2 2个数字相同的结果有个数字相同的结果有1818个个. . P( P(恰有两个数字相同恰有两个数字相同)=)=182723=4.4.把把3 3个不同的球任意投入个不同的球任意投入3 3个不同的盒子内个不同的盒子内( (每盒装球每盒装球不限不限), ),计算计算: (1): (1)无空盒的概率无空盒的概率; (2); (2)恰有一个空盒的概率恰有一个空盒的概率. .1 2
16、3盒盒1投球开始投球开始球球球球球球123123123盒盒2盒盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解解: : 由树形图可以看出由树形图可以看出, ,所有可能的结果有所有可能的结果有2727种种, ,它们出它们出现的可能性相等现的可能性相等. . P( P(无空盒无空盒)=)=(1)(1)无空盒的结果有无空盒的结果有6 6个个62729=(2)(2)恰有一个空盒的结果有恰有一个空盒的结果有1818个个 P( P(恰有一个空盒恰有一个空盒)=)=182723=试一试：试一试：一个家庭有三个孩子，若一个一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩
17、还是女孩的可能性相同孩子是男孩还是女孩的可能性相同(1)(1)求这个家庭的求这个家庭的3 3个孩子都是男孩的概率；个孩子都是男孩的概率；(2)(2)求这个家庭有求这个家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概个女孩的概率；率；(3)(3)求这个家庭至少有一个男孩的概求这个家庭至少有一个男孩的概率率解解: :(1)(1)这个家庭的这个家庭的3 3个孩子都是男孩的概率为个孩子都是男孩的概率为1/8;1/8;(2)(2)这个家庭有这个家庭有2 2个男孩和个男孩和1 1个女孩的概率个女孩的概率为为3/8;3/8;(3)(3)这个家庭至少有一个男孩的概率为这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.7/8.
18、1.1.一张圆桌旁有四个座位，一张圆桌旁有四个座位，A A先坐在如图所先坐在如图所示的座位上，示的座位上，B B、C C、D D三人随机坐到其他三三人随机坐到其他三个座位上。求个座位上。求A A 与与B B 不相邻 而 坐 的 概 率不相邻 而 坐 的 概 率为为 . .31A课堂巩固课堂巩固2.2.小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用定作游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、锤子、剪刀、布剪刀、布”的方式确定。请问在一个回合中的方式确定。请问在一个回合中三个人都出三个人都出“布布”的概率是的概率是 ； 3.3.下图的转盘被划分成六
19、个相同大小的扇形，并分别标下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上上1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6这六个数字，指针停在每个扇形的这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：甲：如果可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了指针前三次都停在了3 3号扇形，下次就一定不会停在号扇形，下次就一定不会停在3 3号号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6 6号号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；丁：运
20、气好的时候，只要在转动前默默形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在想好让指针停在6 6号扇形，指针号扇形，指针停在停在6 6号扇形的可能性就会加大。号扇形的可能性就会加大。其中，你认为正确的见解有（其中，你认为正确的见解有（ ）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个 1 12 23 34 45 56 64.4.如图所示，每个转盘被分成如图所示，每个转盘被分成3 3个面积相等的个面积相等的扇形，小红和小芳利用它们做游戏：同时自由扇形，小红和小芳利用它们做游戏：同时自由转动两个转盘，如果两个转盘的指针所停区域转动两个转盘，如果两个转盘的指针所
21、停区域的颜色相同，则小红获胜；如果两个转盘的指的颜色相同，则小红获胜；如果两个转盘的指针所停区域的颜色不相同，则小芳获胜，此游针所停区域的颜色不相同，则小芳获胜，此游戏对小红和小芳两人公平吗？谁获胜的概率大？戏对小红和小芳两人公平吗？谁获胜的概率大？红红红红黄黄黄黄蓝蓝蓝蓝5.5.奥地利遗传学家孟德尔曾经将纯种的黄豌豆奥地利遗传学家孟德尔曾经将纯种的黄豌豆和绿豆杂交，得到杂种第一代豌豆，再用杂种和绿豆杂交，得到杂种第一代豌豆，再用杂种第一代豌豆自交，产生杂交第二代豌豆，孟德第一代豌豆自交，产生杂交第二代豌豆，孟德尔发现第一代豌豆全是黄的，第二代豌豆有黄尔发现第一代豌豆全是黄的，第二代豌豆有黄的
22、，也有绿的，但黄色和绿色的比是一个常数。的，也有绿的，但黄色和绿色的比是一个常数。孟德尔经过分析以后，可以用遗传学理论解释孟德尔经过分析以后，可以用遗传学理论解释这个现象，比如设纯种黄豌豆的基因是这个现象，比如设纯种黄豌豆的基因是yyyy，纯，纯种绿豌豆的基因是种绿豌豆的基因是gggg，黄色基因是显性的，接，黄色基因是显性的，接下来，你可以替孟德尔来解释吗？第二代豌豆下来，你可以替孟德尔来解释吗？第二代豌豆是绿豌豆的概率是多少呢？想一想，生活中还是绿豌豆的概率是多少呢？想一想，生活中还有类似现象吗？你能设法解释这一现象吗？有类似现象吗？你能设法解释这一现象吗？6.小明和小丽都想去看小明和小丽都
23、想去看电影电影,但只有一张电影但只有一张电影票票.小明提议小明提议:利用这三利用这三张牌张牌,洗匀后任意抽一洗匀后任意抽一张张,放回放回,再洗匀抽一张再洗匀抽一张牌牌.连续抽的两张牌结连续抽的两张牌结果为果为一张一张5一张一张4小明小明去去,抽到抽到两张两张5的小丽去的小丽去,两张两张4重新抽重新抽.小明的办小明的办法对双方公平吗法对双方公平吗?7.中央电视台中央电视台“幸运幸运52”栏目中的栏目中的“百宝箱百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在在20个商标牌中，有个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌
24、的背面是一张哭脸，定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不能得奖，参与这个游戏的观若翻到哭脸，就不能得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是次翻牌获奖的概率是 ；8.8.有两组卡片，第一组三张卡片上都写着有两组卡片，第一组三张卡片上都写着A、B、B，第二组五张卡片上都写着，第二组五张卡片上都写着A、B、B、D、E。试用列表法求出从每组卡片中各抽取。试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是一张，两张都是B的概率。的概率。 9.将分别标有数字将分别标有数字1，2，3 的三张卡片洗匀后，的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上。背面朝上放在桌上。（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；（2） 随机抽取一张作为十位上的数字（不放随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是哪些两位数？恰好是32的概率是多少？的概率是多少？