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1、11.3 用函数观点看用函数观点看方程方程(组组)与不等式与不等式 教学设计教学设计西北师大二附中西北师大二附中 李红李红数学八年级上册数学八年级上册(人教人教)一、教材分析一、教材分析 用函数观点看方程（组）与不等式用函数观点看方程（组）与不等式是人教版教是人教版教科书八年级（上）第科书八年级（上）第11章第三节内容章第三节内容 本节内容共安排本节内容共安排3个课时完成个课时完成. 第第1课时课时 11.3.1 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 第第2课时课时 11.3.2 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式 第第1课时课时 11.3.1 一次函数与二元一次方程一次
2、函数与二元一次方程(组组)教材分析教材分析 函数、方程与不等式一样都是反映客观事物变函数、方程与不等式一样都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，是数学学习的重要内容之化规律及其关系的模型，是数学学习的重要内容之一函数能够刻画事物之间对应变化的过程，方程一函数能够刻画事物之间对应变化的过程，方程刻画的是某个变化过程的一瞬间，而不等式则刻画刻画的是某个变化过程的一瞬间，而不等式则刻画变化过程中变化过程中,同类量之间的一个普遍现象同类量之间的一个普遍现象. 一定条件一定条件下，它们可以互相转化。为此教材专设一节关于一下，它们可以互相转化。为此教材专设一节关于一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、
3、二元一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）联系的内容，引导学生初步体会不等次方程（组）联系的内容，引导学生初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别，初步体会式、方程、函数之间的内在联系与区别，初步体会从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、从整体中把握部分的思维方法，渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学不等式思想和数形结合等重要的数学思想，拓宽学生视野生视野.教材分析教材分析本节内容安排的本节内容安排的3个课时的内容都是从个课时的内容都是从“数数”与与“形形”上体会上体会 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 一次函数与一元一次不等
4、式一次函数与一元一次不等式 一次函数与二元一次方程一次函数与二元一次方程(组组) 之间的内在联系。之间的内在联系。二、学情分析二、学情分析 学生已有了解不等式、解方程（组）的学生已有了解不等式、解方程（组）的基本能力和一次函数及其图像的基本知识，基本能力和一次函数及其图像的基本知识，学习本节知识困难不大，关键是让学生理一学习本节知识困难不大，关键是让学生理一元一次方程和一次函数、二元一次方程和一元一次方程和一次函数、二元一次方程和一次函数、一元一次不等式之间的内在联系，次函数、一元一次不等式之间的内在联系，体会体会“数数”和和“形形”间的相互转化，从中使间的相互转化，从中使学生进一步感受到学生
5、进一步感受到“数数”的问题可以通过的问题可以通过“形形”来解决，来解决，“形形”的问题也可以通过的问题也可以通过“数数”来解决来解决 三、目标分析三、目标分析 1教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标（1）初步理解元一次方程和一次函数的关系；）初步理解元一次方程和一次函数的关系；（2）理解一元一次不等式与一次函数和关系；）理解一元一次不等式与一次函数和关系；并直观地用函数图象表示不等式的解。并直观地用函数图象表示不等式的解。（3）理解二元一次方程和一次函数的图象之间）理解二元一次方程和一次函数的图象之间的对应的关系；二元一次方程组和对应的两的对应的关系；二元一次方程组和对应的两条直线之
6、间的关系；条直线之间的关系；（4）掌握二元一次方程组的图像解法）掌握二元一次方程组的图像解法（5）对函数、不等式、方程的有一定的整体认）对函数、不等式、方程的有一定的整体认识，感受三者之间的内在联系。识，感受三者之间的内在联系。三三、教教学学目标目标 过程与方法目标过程与方法目标（1）教材每课时都以）教材每课时都以“问题问题”的形式，揭示的形式，揭示方程与函数、不等式与函数间的相互转化，方程与函数、不等式与函数间的相互转化，使学生在探索中学会不同数学知识间可以互使学生在探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；相转化的数学思想和方法；（2）通过）通过“问题问题”引入例题，进一步发展
7、学引入例题，进一步发展学生数形结合的意识和能力生数形结合的意识和能力教教学学目标目标 情感与态度目标情感与态度目标（1）在探究方程和一次函数的对应关系中，）在探究方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神考、精益求精的精神（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力式能力 教教学学目标目标 2教学重点教学重点（1）从）从“数数”的角度看方程和一次函数、不的角度看方程和一次函数、不等式与一次函数的关系；等
8、式与一次函数的关系；（2）从）从“形形”的角度看方程和一次函数、不的角度看方程和一次函数、不等式与一次函数的关系；等式与一次函数的关系； 3教学难点教学难点 数形结合和数学转化的思想意识数形结合和数学转化的思想意识 四、教法学法四、教法学法1教法学法教法学法 启发引导与自主探索相结合启发引导与自主探索相结合2课前准备课前准备 教具：多媒体课件、三角板教具：多媒体课件、三角板 学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸 五、教学过程五、教学过程 本节课总体设计了六个教学环节：本节课总体设计了六个教学环节：第一环节第一环节 设置问题情境，启发引导；设置问题情境，启发引导；第二
9、环节第二环节 典型例题，探究典型例题，探究X与函数的相互转化；与函数的相互转化；第三环节自主探索，建立第三环节自主探索，建立“X与函数图像与函数图像”的学习模式；的学习模式；第四环节第四环节 反馈练习；反馈练习；第五环节第五环节 课堂小结；课堂小结；第六环节第六环节 作业布置作业布置 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 当某个一次函数当某个一次函数 的值为的值为0时，求相应时，求相应自变量的值，问题就转化为求一元一次方程自变量的值，问题就转化为求一元一次方程的的 解。反之，由于任何一元一次方解。反之，由于任何一元一次方程都可以转化为程都可以转化为 的形式，所以解一的形式，所以解一元一
10、次方程可以转化为：当某个一次函数元一次方程可以转化为：当某个一次函数 的值为的值为0时，求相应自变量的值。从图象上时，求相应自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线看，这相当于已知直线 ，确定它，确定它与轴的交点的横坐标的值。与轴的交点的横坐标的值。 baxy0bax0baxbaxy求求ax+b=0(a，b是是常数，常数，a0)的解的解 “解方程ax+b=0(a，b为常数， a0)”与求自变量 x 为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？x为何值时为何值时函数函数y= ax+b的值的值 为为0 从从“数数”上看上看一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 求求ax+b=0(a,
11、 , b是是常数，常数，a0)0)的解的解 求直线求直线y= ax+b与与 x 轴交点的横坐标 从“形”上看一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式 当某个一次函数当某个一次函数 的值的值0时，求相应时，求相应自变量的值，问题就转化为求一元一次不等自变量的值，问题就转化为求一元一次不等式的式的 解。反之，由于任何一元一次解。反之，由于任何一元一次方程都可以转化为方程都可以转化为 的形式，所以的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数数 的值的值0时，求相应自变量的值。时，求相应自变量的值。 baxy0bax)0(0 baxbaxy 用一次
12、函数图象来解一元一次不等式用一次函数图象来解一元一次不等式, , 第一、应先将一元一次不等式化第一、应先将一元一次不等式化成成 ) )的形式。的形式。 第二、应分清当第二、应分清当 ，有怎样，有怎样的情况？当的情况？当 时，有怎样时，有怎样的情况？的情况？0()(kbkxy或时中0.kbkx0kbkx中求求ax+b0(a，b是是常数，常数，a0)的解的解 “解一元一次不等式ax+b0(或0(a0, , b是是常数，常数，a0)0)的解的解 求直线求直线y= ax+b(a0)与与 x 轴交点的横坐标右侧的点 从“形”上看二元一次方程二元一次方程(组组)和一次函数和一次函数 1二元一次方程和一次函
13、数的图像的关系；二元一次方程和一次函数的图像的关系；以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；像上；一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程方程 2方程组和对应的两条直线的关系：方程组和对应的两条直线的关系：方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；两条直线的交点坐标是对应的方程组的解； 3解二元一次方程组的方法有解二元一次方程组的方法有3种：种：（1）代入消元法；）代入消元法；（2）加减消元法；）加减消元法；（3）图像
14、法）图像法 要强调的是由于作图的不准确性，要强调的是由于作图的不准确性，由图像法求得的解是近似解由图像法求得的解是近似解一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 每个二元一次方程都对应一个一次函数，故也对应一条直线 二元一次方程的二元一次方程的一个解一个解一次函数的自变量与因变量的一组对应值 从从“数数”上看上看从“形”上看对应一条直线对应一条直线的一点坐标 二元一次方程的二元一次方程的一个解一个解解二元一次方程组解二元一次方程组考虑自变量为何值时两个函数的值相等 从从“数数”上看上看一次函数与二元一次方程组一次函数与二元一次方程组 解二元一次方程组解二元一次方程组 从“形”上看求两条直线
15、求两条直线的交点坐标 典型例题典型例题 如果如果y=-2x-5,那么当那么当x取何值时，取何值时， y0? y0? y2? y-1时时,y的值如何？的值如何？当当x0,x3,x-2呢？呢？从从“数数”“”“形形”进行研究进行研究典型例题对于一次函数对于一次函数y= 1方程方程x+y=5的解有多少个？是这个方程的解有多少个？是这个方程的解吗？的解吗？ 2点（点（0，5），（），（5，0），（），（2，3）在）在一次函数一次函数y的图像上吗？的图像上吗？ 3在一次函数在一次函数y=的图像上任取的图像上任取一点，它的坐标适合方程一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？吗？ 4以方程以方程x+y=5的解为
16、坐标的所有点组成的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数的图像与一次函数y=的图像相同吗？的图像相同吗？5 x5 x5 x5 x已知一次函数的图象如图所示：已知一次函数的图象如图所示：（1）求出此一次函数的解析式；）求出此一次函数的解析式；（2）观察图象，当）观察图象，当x 时，时，y 0； 当当x 时，时，y=0；当；当x 时，时，y0；（3）观察图象，当）观察图象，当x=2时，时，y= ，当当y=1时时x= ；（4）不解方程，求）不解方程，求 x+2=0的解；的解；（5）不解不等式，求）不解不等式，求 x+20的解。的解。xyo123-1-2-3123-4-1-2-32121-4=-4-43
17、-2y= x+221x=-4x-4典型例题典型例题 典型例题4 1解方程组解方程组 2上述方程移项变形转化为两个一次函数上述方程移项变形转化为两个一次函数y= 和和y=2x-1, 在同一直角坐标系内在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像分别作出这两个函数的图像 3方程组的解和这两个函数的图像的交点方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？坐标有什么关系？ 5,21.xyxy5 x典型例题典型例题5 1. 用作图像的方法解方程组用作图像的方法解方程组 2 . 如图，直线与的交点坐标如图，直线与的交点坐标是是 22,22.xyxy o y x124yxyx1典型例题典型例题6 应用典型
18、例题7兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥，哥哥每秒跑每秒跑4m。列出函数关系式，作出函数图。列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问题：象，观察图象回答下列问题：（1）何时哥哥追上弟弟？）何时哥哥追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？）何时弟弟跑在哥哥前面？（3）何时哥哥跑在弟弟前面？）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过）谁先跑过20m？谁先跑过？谁先跑过100m？你是怎样求解的？与同伴交流你是怎样求解的？与同伴交流。 用图象法 解 行程问题2.8小明小明用方程 解 行程问题1002015,ttt则时相遇设同时出发后720求出s与t之间的函数关系式，联立解方程组7 72 20 0t t tt201005s s1 1s s用一元一次方程的用一元一次方程的方法可以解决问题方法可以解决问题用图象法可以用图象法可以解决问题解决问题用方程组的方法可用方程组的方法可以解决问题以解决问题小明小明 用作图象的方法可以用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我了获得准确的结果，我们一般用代数方法们一般用代数方法.在以上的解题过程中你受到什么启发？