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1、二次函数二次函数 的概念的概念二次函数的图象特点二次函数的图象特点二次函数的性质二次函数的性质题型分析题型分析形如yax2bxc （a、b、c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数 。如： yx2， y2x24x3 ， y1005x2，y = 2x25x3 。1.什么叫二次函数什么叫二次函数 ?下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数?做一做做一做:) 12)(12() 12()5()1 ()4(12)3(1)2() 1 (2222xxxyxxyxxyxyxy是不是是是不是2. 特殊的二次函数y=ax2 (a0) )的图象特点和函数性质 图 26.2.1 (1)是一条抛物线；是一条抛物
2、线；(2)对称轴是对称轴是y轴；轴；(3)顶点在原点；顶点在原点；(4)开口方向开口方向:a0时时,开口向上；开口向上；a0时，时，y轴左侧，轴左侧，函数值函数值y随随x的增大而小的增大而小 ； y轴右侧，函数值轴右侧，函数值y随随x的增的增大而增大大而增大 。 a0时，时，ymin=0 a0时时,开口向上；开口向上； a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而增大增大 。 a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x- )，函数值，函数值y随随x的增大而的增大而减小减小 。 （2） a0时，时，ymin= a0该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:抛物线与x轴
3、相交时 x2-2x-8=0解方程得:x1=4, x2=-2AB=4-(-2)=6而P点坐标是(1,-9)SABC=27xyABPxyOAxyOBxyOCxyOD 例例3:在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图象大致为的图象大致为(二二)根据函数性质判定函数图象根据函数性质判定函数图象之间的位置关系之间的位置关系答案答案: B(三三)由函数图象上的点的坐由函数图象上的点的坐标求函数解析式标求函数解析式例例4:已知一个二次函数的图象经过点（已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（），（1，3），（），（2，8）。）。（1）求这个
4、二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。）写出它的对称轴和顶点坐标。答案:(1)y=-x2-2x (2)对称轴:x=-1 顶点坐标顶点坐标(-1,1)例5:已知二次函数y=x2mx4设该函数的图象与x轴的交点坐标为(x1，O)、(x2，O)，且11121xx,求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、 (x2，O)，所以x1、x2是方程x2mx4=0的两个实数根，所以x1+x2=m，x1x2=4所以二次函数的解析式为y=x24x4=(x2)28，因此坐标顶点为(2，8)(四四)二次函数与一元二次方程综合题
5、二次函数与一元二次方程综合题例6:某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，第2年为6万元。（1）求y的解析式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,解得:a=1,b=1, y=x2+x.（2）设g33x-100-x2-x,则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156.由于当1x16时，g随
6、x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资。(五五)实践与探索题实践与探索题练习题练习题:1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图象过点（3，2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。2.已知抛物线与x轴交于B，A两点，其中B在x轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴交于点C.（1）写出抛物线的开口方向与点C的坐标（用含m的式子表示）；（2）若tgCBA=3，试求抛物线的解析式；（3）设点P（x，y）（其中0 x3是（2）中抛物线上的一个动点，试求四边形AOCP的面积的最大值及此时点P的坐标.