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1、空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系-异面直线异面直线 宜城三中数学 丁宁 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线的两条直线叫做异面直线。问题问题1 1:与与A A1 1C C具有怎样的位置关系？具有怎样的位置关系？在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,直线直线ABAB异面异面即即:不共面不共面(不平行又不相交不平行又不相交)?D DC CB BA AA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1为何不共面为何不共面(不平行也不相交不平行也不相交)?问题问题2:2:D DC CB BA AA A1 1D D1
2、1C C1 1B B1 1B BA A假设假设ABAB与与A A1 1C C共面共面, ,过点过点C C和和ABAB的平面只有一个的平面只有一个.所以所以 直线直线A A1 1C C和和ABAB都应在都应在ABCDABCD内内.于是于是 点点A A1 1在平面在平面ABCDABCD内内. .这与点这与点A A1 1在平面在平面ABCDABCD外矛盾，外矛盾，所以所以 直线直线A A1 1C C和和ABAB是异面直线是异面直线.一、定理一、定理：过平面内一点与平面外一点的直线，过平面内一点与平面外一点的直线，和这个和这个平面内不经过该点的直线是平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线l,A,A
3、,B,B ,B,B lABAB与与l异面异面B BA Al异面直线直观图的画法异面直线直观图的画法lm两条直线异面两条直线异面:lab异面直线直观图的画法异面直线直观图的画法两条直线异面两条直线异面:异面直线直观图的画法异面直线直观图的画法lm分别在两个相交平面内的两条异面直线分别在两个相交平面内的两条异面直线:练习：画两个相交平面，在这两个平面练习：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：内各画一条直线，使它们成为：平行平行直线；直线； 相交直线；相交直线； 异面直线。异面直线。abbaba 问题：问题： ABAB与与BCBC是相交直线，是相交直线，ACAC与与BCBC也是也
4、是相交直线，它们之间又有什么区别？相交直线，它们之间又有什么区别？所成角不同所成角不同D DC CB BA AA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1问题问题4 4：直线直线ABAB与与B B1 1C C1 1, ,直线直线A A1 1C C1 1与与BC,BC,所成角不同所成角不同D DC CB BA AA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1都是都是异面异面直线直线. .它们有什么区别？它们有什么区别？定义：定义：异面直线所成的角异面直线所成的角a,ba,b是两条异面直线是两条异面直线, ,经过空间任意一点经过空间任意一点o,o,分别引直线分别引直线a a1 1a,ba,b
5、1 1b,b,我们把直线我们把直线a a1 1和和b b1 1所成的锐角所成的锐角( (或直角或直角) )叫做异面直线叫做异面直线a a和和b b所成的角所成的角aba1b1aba1 点点o o常取在两条异面直线中的一条上常取在两条异面直线中的一条上 若两条异面直线若两条异面直线a,ba,b所成角是直角所成角是直角, ,则则 称这两条异面直线互相垂直，记称这两条异面直线互相垂直，记abab 两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线所成角的大小，是由这 两条异面直线的两条异面直线的相互位置相互位置决定的，与点决定的，与点 O O的位置选取的位置选取无关无关. . 可以得出如下的结论可以得出如
6、下的结论: : 两条异面直线所成的角的范围两条异面直线所成的角的范围0 0o o90900 0； 找两条异面直线所成的角，要作平行找两条异面直线所成的角，要作平行移动移动( (作平行线作平行线) )，把两条异面直线所成的，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；角转化为两条相交直线所成的角；已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a的正方体的正方体例例1.(1)(1)正方体的哪些棱所在的直线与正方体的哪些棱所在的直线与 直线直线BCBC1 1是异面直线是异面直线? ?(2)(2)求异面直线求异面直线AAAA1 1与与 BCBC所成的角
7、所成的角(3)(3)求异面直线求异面直线BCBC1 1和和 ACAC所成的角所成的角D DC CB BA AA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1D DC CB BA AA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1 四边形四边形AAAA1 1C C1 1C C是是 ACAC A A1 1C C1 1BCBC1 1A A1 1为为BCBC1 1与与A A1 1C C所成的角所成的角AA1 1B BBCBC1 1=A=A1 1C C1 1所以，异面直线所以，异面直线BCBC1 1和和ACAC所成角为所成角为60600 0(3)(3)因为因为AAAA1 1 BB BB1 1 CC CC
8、1 1 BCBC1 1A A1 1=60=600 0解解 .(1).(1)与与BCBC1 1是异面直线的是是异面直线的是 A A1 1A,AA,A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,DA,DC,DD,DA,DC,DD1 1(2)(2)BBBB1 1 AAAA1 1, ,B B1 1BCBC为为AAAA1 1与与BCBC所成角所成角B B1 1BC=90BC=900 0AAAA1 1与与BCBC所成角为所成角为90900 0一一:判断对错：判断对错：1 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。直线。2 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。
9、、空间两条不相交的直线一定是异面直线。3 3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。、垂直于同一条直线的两条直线必平行。 4 4、过一点能引且只能引一条直线和已知、过一点能引且只能引一条直线和已知 直线垂直。直线垂直。 5 5、若一条直线垂直于两条平行直线中的、若一条直线垂直于两条平行直线中的 一条，则它一定与另一条直线垂直。一条，则它一定与另一条直线垂直。练习练习: :( )( )( )( )( )2.2. 在正方体在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,FE,F分别是分别是AAAA1 1,AB,AB的中点的中点. .(4)(4)求直线求直线C C1
10、1D D1 1与与EFEF的夹角；的夹角；(1) (1) 与直线与直线BBBB1 1垂直的棱有垂直的棱有多少条？多少条？(3)(3)求直线求直线A A1 1 B B1 1与与ACAC所成所成的夹角；的夹角；B1CC1ABDA1D1EF(2) (2) 与直线与直线EFEF垂直的棱垂直的棱有多少条？有多少条？思考题思考题:空中有两条高度不同的高压电线空中有两条高度不同的高压电线, ,一一条南北方向条南北方向, ,一条东西方向一条东西方向. .在南北在南北方向那根电线上取两点方向那根电线上取两点A A、B B，在东，在东西方向那根电线上取两点西方向那根电线上取两点C C、D D，连，连结结ACAC、BDBD，则连线会相交吗？为什，则连线会相交吗？为什么？么？本节学习了重要概念本节学习了重要概念: :两异面直线所成的角两异面直线所成的角 两异面直线所成的角满足两异面直线所成的角满足00900 通常采通常采用平移的方法化异面直线为相交直线所成的角用平移的方法化异面直线为相交直线所成的角