17讲三角函数的概念及运算.ppt

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1、知识体系考纲解读一、三角函数一、三角函数.1.任意角的概念、弧度制任意角的概念、弧度制.了解任意角的概念了解任意角的概念.了解弧度制概念，能进行弧度与了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化角度的互化.2.三角函数三角函数.理解任意角三角函数（正弦、余理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义弦、正切）的定义.能利用单位圆中的三角函数线推导能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（出诱导公式（ ，）的正弦、余弦、）的正弦、余弦、正切，能画出正切，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，的图象，了解三角函数的周期性了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间理解正弦函数、余弦

2、函数在区间0，2的性质（如单调性、最大和最小值与的性质（如单调性、最大和最小值与x轴的交点等）轴的交点等）.理解正切函数在区间（理解正切函数在区间（- ，），）的单调性的单调性.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sinx2+cosx2=1， =tanx.222sincosxx了解函数了解函数y=Asin(x+)的物理意义；的物理意义；能画出能画出y=Asin(x+)的图象，了解参数的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单重要函数模型，会用三角函数

3、解决一些简单的实际问题的实际问题.3.三角恒等变换三角恒等变换.(1)和与差的三角函数公式和与差的三角函数公式.会用向量的数量积推导出两角差的余会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式角差的正弦、正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、正切公式，导出二倍角的角和的正弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系在联系.（2）简单的三角恒等变换）简单的三角恒等变换.能运用能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导上述公式进行简

4、单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）对这三组公式不要求记忆）.4.解三角形解三角形.(1)正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理.掌握正弦定理、余掌握正弦定理、余弦定理弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题并能解决一些简单的三角形度量问题.(2)应用应用.能够运用正弦定理、余弦定理等知能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题际问题.二、平面向量二、平面向量.1.了解向量的实际背景，理解平面向量的了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相

5、等的含义，理解向量的几何概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示；表示；2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算性质及其几何意义了解向量线性运算性质及其几何意义.5.了解平面向量的基本定理及其意义了解平面向量的基本定理及其意义.6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.7.会用坐标表示平面向量的线性运算会用坐标表示平面向量的线性运算(加、加、减、数乘减、数乘).8.理解用坐标表示的

6、平面向量共线的条件理解用坐标表示的平面向量共线的条件.9.通过物理中通过物理中“功功”等实例，理解平面等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义向量数量积的含义及其物理意义.10.了解平面向量的数量积与向量投影的了解平面向量的数量积与向量投影的关系关系.11.掌握数量积的坐标表达式，会进行平掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算面向量数量积的运算.12.能运用数量积表示两个向量的夹角，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.13.会用向量方法解决某些简单的平面几会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解

7、决简单的力学问题何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题与其他一些实际问题.1.了解任意角与弧度制的概念，能进了解任意角与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正弦、余弦、正切正切)的定义的定义.3.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1， =tanx.sincosxx4.能利用单位圆中的三角函数线能利用单位圆中的三角函数线推导正弦、余弦、正切的诱导公式推导正弦、余弦、正切的诱导公式.5.能灵活应用同角公式、诱导公能灵活应用同角公式、诱导公式进行简单三角函数的

8、化简、求值、式进行简单三角函数的化简、求值、证明证明.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )BA.若若的终边在第一象限，则的终边在第一象限，则可以是正角、可以是正角、负角或零角负角或零角B.6360+（为角度）与为角度）与-6+(为弧为弧度度)的终边相同的终边相同,但大小不相等但大小不相等C.一条弦的长度等于半径，则这条弦所对一条弦的长度等于半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为的圆心角的弧度数为D.若若为第二象限角为第二象限角,则则2n+ 2n+ ，nZ3422 选项选项A中零角一定为坐标轴上角，中零角一定为坐标轴上角，故错；由终边相同概念和角度与弧度互故错；由终边相同概念和角度与弧度互化

9、知，化知，B正确；选项正确；选项C中弧度数还可能中弧度数还可能为为 ；D中由第二象限角范围得中由第二象限角范围得n+ n+ ，nZ，故错，故错.534222.若角若角的终边经过点的终边经过点P（3a,-4a)(a0)，则，则sin的值为的值为( )DA.- B. C.- D.43474545 P(3a,-4a)（a0)，则，则x=3a，y=-4a，则则|OP|=5|a|=-5a，故，故sin= = .45yr3.（2009季延中学高三月考）季延中学高三月考）已知已知x为第二为第二象限角，且象限角，且tan2x+3tanx-4=0， 则则 = .sincos2sincosxxxx13 tan2x

10、+3tanx-4=0，则则tanx=-4或或tanx=1（舍去）（舍去）.由同角公式得由同角公式得 = = .sincos2sincosxxxxtan12tan1xx13=- + 原式原式=tan(360-60)+ =-tan60+= .4.(2010东北模拟东北模拟)tan300+ 的值的值为为 .cos( 450 )sin750cos( 36045 )sin(72030 )cos(45 )sin(30 )2332212235.化简：若化简：若为第二象限角，为第二象限角，则则 - = .1 sin1 sin1 sin1 sin-2tan 原式原式=-2tan.2222(1 sin)(1 si

11、n)coscos1 sin1 sin|cos|cos|2sincos1.角的概念的推广角的概念的推广(1)任意角、正角、负零和零角任意角、正角、负零和零角.(2)象限角、轴线角象限角、轴线角.( 3 ) 终 边 相 同 的 角终 边 相 同 的 角 : 可 以 用可 以 用 .表示表示.k360+(kZ)或或k2+(kZ)2.任意角的三角函数任意角的三角函数P（x,y）为角）为角终边上一点，终边上一点，|OP|=r，则，则sin= ，cos= ，tan= （x0）.3.同角三角函数关系式平方关系：同角三角函数关系式平方关系：sin2+cos2= .商数关系：商数关系：tan= .yrxryx1

12、sincos4.诱导公式诱导公式(1)2k+,-,的三角函数值等于的三角函数值等于的的 函数值函数值,前面加上把角前面加上把角看成看成 时时 的符号的符号.即即“名称不变名称不变,符号看象符号看象限限”.(2) 的三角函数值等于的三角函数值等于的的 .函函数 值 ， 前 面 加 上 把数 值 ， 前 面 加 上 把 看 成看 成 . 时时 .的符号的符号.即即“名称要变，符号名称要变，符号看象限看象限”.(3)k （kZ）的三角函数值，可概）的三角函数值，可概括为：括为：“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”.2同名同名锐角锐角原函数值原函数值1010余名余名1111锐角锐角1212

13、原函数值原函数值2例例1 (1)集合集合M=x|x= 180+45,kZ,N=x|x= 180+45,kZ,则集合则集合M与与N的关系为的关系为 ；4k2kM N(2)把把-1305化为化为2k+(02,kZ)的形式是的形式是( )A.-7- B.-6-C.-8+ D.-9+C4543474 (1)先变形，再对整数先变形，再对整数k的奇、偶展的奇、偶展开讨论，找到角终边的具体位置，用数形开讨论，找到角终边的具体位置，用数形结合法求解；结合法求解；(2)先把角度化成弧度，再写先把角度化成弧度，再写成成2k+的形式，满足的形式，满足、k的限制条件的限制条件. (1)因为因为M=x|x=(2k+1)

14、45，kZ表示终边落在四个象限的平分线上的角的表示终边落在四个象限的平分线上的角的集合集合.同理同理N=x|x=(k+1)45，kZ表示表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，所以角的集合，所以M N.(2)因为因为1305=1305 = =7+ ,所以所以-1305=-7- =-8+(- )=-8+ .此时此时k=-4,= ，故选，故选C.1802944443434 探寻以集合形式表示的终边相同的探寻以集合形式表示的终边相同的角的关系时，对整数角的关系时，对整数k的讨论最关键；若的讨论最关键；若题中给出了题中给出了 (m为已知整数，为已知整数，k

15、Z)，常，常分分k=mk，mk+1，mk+2，mk+(m-1)(kZ)完全讨论，角度与弧度的互化，完全讨论，角度与弧度的互化，除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁除满足限制条件外，还需注意结果的纯洁性：角度、弧度要性：角度、弧度要“分家分家”.km例例2 已知已知cos=- ，且，且 ，求求 的值的值.81723sin(2)cos()2tan()cos()sin()2a 从从cos=- 中可推知中可推知sin，tan的值，再用诱导公式即可求值的值，再用诱导公式即可求值.817因为因为cos=- ，且，且 ，所以所以sin= ，tan=- ,所以原式所以原式= =-tan= .817215171

16、58158sin( sin)( tan) cos( cos) (1)应用诱导公式进行三角函数的应用诱导公式进行三角函数的化简，重点是化简，重点是“函数名称函数名称”与与“正负号正负号”的正确判断，一般常用的正确判断，一般常用“奇变偶不变，奇变偶不变，符号看象限符号看象限”的口诀，解题思路是的口诀，解题思路是“化化负角为正角，化复杂角为简单角，化非负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角锐角为锐角”，即，即“去负去负脱周脱周化锐化锐”三步三步.(2)掌握常用的勾股数组掌握常用的勾股数组“3，4，5”，“5，12，13”，“7，24，25”，“8，15，17”，“9，40，41”，快速给值求值

17、，快速给值求值.化简：化简：3tan()cos(2)sin()2cos()sin()原式原式= =-1.( tan)cos( cos)cossin 已知已知sin(-)，cos是方程是方程3x2- x+m=0的两个根，且的两个根，且 .(1)求求m与与sin-cos的值；的值；(2)若若f(tan)=3sin2-2sincos-3，求，求f(cos-sin)的值的值.例例322 （ 1 ） 由 根 与 系 数 的 关 系 得由 根 与 系 数 的 关 系 得sin+cos，sincos的值，再根据的值，再根据“sin+cos，sincos,sin-cos”中中“知一求二，知二求参知一求二，知二

18、求参”，配上公式正，配上公式正确求值确求值.（2）先求出先求出f(x)的表达式，再代值求值的表达式，再代值求值. （1）依题意依题意 sin(-)+cos= sin(-)cos= ， 即即 sin+cos= sincos= , 由由2-2=1,得得( )2-2 =1,解得解得m=- .又因为又因为 0,cos0,所以所以sin-cos= = = .233m233m233m22(sincos )4sincos227()4 ()318 4376(2)因为因为f(tan)=3sin2-2sincos-3= -3= -3.所以所以f(cos-sin)=f(- )= -3 =- .2223sin2sin

19、cossincos223tan2tantan14316432 ()931619 325 (1)在在“sin+cos,sincos,sin-cos”中中“知一求二知一求二”,宜用整体思想宜用整体思想,利用平方转换利用平方转换,常常用结论为：用结论为： (sincos)2=12sincos， (sin+cos)2+(sin-cos)2=2； (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. (2)型如型如 通过分子分母同除以通过分子分母同除以cos,弦化切、异名化同名；弦化切、异名化同名； asin2+bsincos+ccos2通过添分母通过添分母(sin2+cos2),再分子、分母同

20、除以再分子、分母同除以cos2，化弦，化弦为切、统一函数名为切、统一函数名.sincossincosabcd已知已知- x0，sinx+cosx= .（1）求求sinx-cosx的值；的值；（2）求求 的值的值.215223sin2sincoscos2222sincoscossinxxxx (方法一方法一)(1)由由sinx+cosx= ,两边平方得两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= ， 得得2sinxcosx=- ,所以所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= ,又因为又因为- x0,所以所以sinx0,sinx-cosx0,故故sinx-cosx=- .2

21、15125425492575(2)原式原式= =sinxcosx(2-cosx-sinx) =(- )(2- ) =- .223sin2sincoscos2222sincoscossinxxxx122515108125(方法二方法二)(1)联立方程组联立方程组 sinx+cosx= sin2x+cos2x=1 由得由得sinx= -cosx，将其代入，将其代入，整理得整理得25cos2x-5cosx-12=0，所以所以cosx=- 或或cosx= .因为因为- x0，所以，所以 sinx=- cosx= ，故故sinx-cosx=- .151535452354575(2)原式原式= =sinx

22、cosx(2-cosx-sinx) =(- ) (2- + ) =- .223sin2sincoscos2222sincoscossinxxxx108125354545351.在求值与化简时，常用的方法有：在求值与化简时，常用的方法有： 弦 切 互 化 ， 主 要 公 式 为 弦 切 互 化 ， 主 要 公 式 为tanx= ,sinx=tanxcosx；和积互化和积互化,利用利用(sinxcosx)2=12sinxcosx的关系进行变形、的关系进行变形、转化；转化；sincosxx巧用巧用“1”的变换：的变换：1=sin2x+cos2x.2.在求值、化简时，要细心观察三角在求值、化简时，要细

23、心观察三角函数式的特征，灵活、恰当地选用公式函数式的特征，灵活、恰当地选用公式.思路一思路一:切化弦，思路二切化弦，思路二:化为同名函数化为同名函数.3.运用诱导公式的关键在于函数名称运用诱导公式的关键在于函数名称与符号的正确判断和使用与符号的正确判断和使用.学例1 (2009重庆卷重庆卷)下列关系式中正确下列关系式中正确的是（的是（ ）CA.sin11cos10sin168B.sin168sin11cos10C.sin11sin168cos10D.sin168cos10sin11 因为因为sin168=sin(180-12)=sin12,cos10=cos(90-80)=sin80.由正弦线

24、可知，由正弦线可知，y=sinx在区间在区间0,90上单调上单调递增，递增，因此因此sin11sin12sin80，即即sin11sin168cos10,故选故选C. (2010广东卷广东卷)已知向量已知向量a=(sin,-2)与与b=(1,cos)互相垂直，其中互相垂直，其中(0, ). (1)求求sin和和cos的值；的值； (2)若若sin(-)= ,0 ，求，求cos的值的值.学例2210102 (1)ab=(sin,-2)(1,cos)=sin-2cos=0,即即sin=2cos.又又sin2+cos2=1,(0, ),从而从而sin= ,cos= .(2)sin(-)=sincos-cossin= .将将sin= ,cos= 代入上式整理得代入上式整理得2cos-sin= .结合结合sin2+cos2=1,0 ,可得可得cos= .22 555510102 555522222本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来