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1、导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=yfkx121)()f xxx2f(x回顾回顾(3)函数函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是函数函数y=f(x)在在x= 处的处的导数导数00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx0 x
2、由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本步骤是导数的基本步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾平面几何中我们是怎平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆样判断直线是否是圆的
3、切线的呢的切线的呢？l2l1AB0 xy直线直线l1与曲线与曲线C有唯一公共点有唯一公共点B，但我们不能说但我们不能说l1与曲线与曲线C相切相切直线直线l2与曲线与曲线C有不止一个公共点有不止一个公共点A，我们能说，我们能说l2是曲线是曲线C在点在点A处处的切线的切线、如图直线如图直线 是曲线的切线吗？是曲线的切线吗？ 那么对于一般的曲线，那么对于一般的曲线，曲线切线该如何寻找曲线切线该如何寻找呢？呢？y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图如图,曲线曲线C是函数是函数y=f(x)的图象的图象,P(x0,y0)是曲线是曲线C上的上的任意一点任意一点,Q(x0+x,y0+y
4、)为为P邻近一点邻近一点,PQ为为C的割线的割线,PM/x轴轴,QM/y轴轴,为为PQ的的倾斜角倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T请看当点请看当点Q沿着曲线逐渐向点沿着曲线逐渐向点P接近时接近时,割线割线PQ绕着绕着点点P逐渐转动的情况逐渐转动的情况. 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.导数的几何意义:n函数在函数在x0处的导数的几何意义处的导数
5、的几何意义:曲线曲线y=f(x)在在(x0,f(x0) )点处的导数等于切线的斜率点处的导数等于切线的斜率即即:00000()( )( ) limlimxxf xxf xykf xxx 切 线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim) 1 (:2020 xxxxxfkxx解因此因此,切线方程为切线方程为
6、y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习求函数求函数 在在x=1处的切线方程处的切线方程。32)(xxfn例例2.在曲线在曲线y=x2上过哪一点的切线上过哪一点的切线n 1.平行于直线平行于直线y=4x-5n 2.垂直于直线垂直于直线2x-6y+5=0n练习练习2、曲线、曲线 上哪一点的切上哪一点的切线与直线线与直线 平行？平行？ n223xy 13 xy：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的处的 得到曲线得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 2.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：小结小结:)(0 xf 即即:00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线1.函数在函数在 处的导数的几何意义处的导数的几何意义:0 x