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1、反证法反证法直接证明：直接证明：(1)综合法综合法(2)分析法分析法由因导果由因导果执果索因执果索因已知条件已知条件结论结论已知条件已知条件结论结论pq条件结论 古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7岁那年岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：有王戎站着没动。他说：“李子是李子是苦的苦的,我不吃。我不吃。”小伙伴摘来一尝，小伙伴摘来一尝，李子果然苦得没法吃。李子果然苦得没法吃。小故事小小伙伴伙伴问王戎问王戎: :“这就怪了
2、这就怪了! !你又你又没有吃没有吃, ,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊? ?”王戎说王戎说: :“如果李子是甜的如果李子是甜的, ,树树长在路边长在路边, ,李子早就没了！李李子早就没了！李子现在还那么多子现在还那么多, ,所以啊所以啊, ,肯肯定李子是苦的，不好吃定李子是苦的，不好吃! !”例例: :小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨昨天晚上下雨了。天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？您能对小华的判断说出理由吗？如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，如果昨天晚上没有下雨，那么
3、地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。雨是正确的。在证明一个命题时，人们有时在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成先假设命题不成立立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾矛盾，从而得出从而得出假设命题不成立假设命题不成立是错误的是错误的，即所求证，即所求证的命题正确的命题正确.这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法反证法。反证法反证法发生在身边的例子发生在身边的例子:妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游听
4、说邻居小芳全家这几天都外出旅游.小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的他是如何推断该命题的正确性的?小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游.小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全家没外出旅游家没外出旅游证明：在一个三角形中至少证明：
5、在一个三角形中至少 有一个角不小于有一个角不小于60.引例引例ABC三角形内角和等于三角形内角和等于假设假设反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。 反设反设归谬归谬结论结论qppq归缪矛盾：归缪矛盾：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾； （
6、3 3）自相矛盾。）自相矛盾。反证法：反证法：反设反设归谬归谬存真存真 适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现）结论以否定形式出现 （2）结论以）结论以“至多至多-，” ，“至少至少-”形式出现形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。研究的命题。常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是 部分或全部是，即
7、至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一 至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全部都全部都反馈练习反馈练习1 1、写出用、写出用“反证法反证法”证明下列命题的第证明下列命题的第一步一步“假设假设”. .(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于9090. . (2)(2)ABCABC中中, ,最多有一个钝角最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于假设互补的两个角都大于90.假设假设ABC中中,至少有两个钝角至少有两个钝角2 2、“已知已知: : ABCABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:
8、B90:B180B+C+A180. .这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾. .(2)(2)所以所以B90Bb0ab0，那么，那么a a b b证：假设 a b不成立，则 a b证：假设 a b不成立，则 a b若 a =b，则a = b,若 a =b，则a = b,与已知a b矛盾,与已知a b矛盾,若 a b，则a b,若 a b，则a b矛盾,与已知a b矛盾,故假设不成立，结论 a b成立。故假设不成立，结论 a b成立。 例例2.2.求证：求证： 是无理数。是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n
9、使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m= =2 2k k（k kN N）22222222从而有4k = 2n ，即n = 2k从而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾是与
10、题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定义、与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理（归纳、类比）（归纳、类比） （三段论）（三段论）证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明（分析法、综合法）（分析法、综合法） （反证法）（反证法）数学数学公理化思想公理化思想备选备选证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。ABC(1)如果点D在 之内，根据假设，ABCD
11、ABCBDCADBADC,都为锐角三角形所以270BDCADBADC这与一个周角为这与一个周角为360矛盾。矛盾。 演练反馈演练反馈(1)如果点D在 之外，根据假设，ABCADBCBCDBADADCABC,都是锐角三角形，即360ADCBCDABCBAD这与四边形内角和矛盾。这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中
12、，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 1 1证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC, DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ADBC是平行四边形是平行四边形所以所以CBDCADADBACB,因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，
13、弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：求证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成
14、立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，2. 2. 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一个根。个根。证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b = 0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x ，x x 且且x x x x1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = =
15、0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -x 0 a = 0 a = 0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。备选备选【探究探究2】 已知已知 a 0 ,0 ,关于关于 x x 的方程的方程 a x = b 有解吗？有解吗？【探究探究1】将将9个球分别染成红色或白色个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有无论怎样染色，至少有5个球个球 一一 定是同色的。正确吗？定是同色的。正确吗？ 反反 证证 法法解唯一吗？解唯一吗？【例例1】给定实数给定实数 设函数设函数 求证：经过函数图像上任求证：经过函数图像上任 意两个不同点的直
16、线意两个不同点的直线 不平行于不平行于x轴。轴。10,aaa且)1,(11)(axRxaxxxf41)1( ,)1(,)1(, )1 , 0(,2不能同时大于不能同时大于求证：求证：已知已知】【例【例accbbacba 恒恒成成立立。使使得得在在整整个个定定义义域域内内，找找不不到到正正数数对对于于函函数数】【例例AxfAxxf | )(|,1)(3【方法总结方法总结】 推出矛盾，可通过特殊推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。值进行说明。 例4已知0 x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)， 又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾， 若x0f(
17、x0)1，则f(x0)f(f(x0)， 又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾 综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0. 已知p3q32，求证：pq2. 证明假设pq2，那么p2q， p3(2q)3812q6q2q3. 将p3q32代入得，6q212q60， 即6(q1)20. 由此得出矛盾pq2.1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。面外一点，则此直线与平面相交。 【试一试试一试】2、证明：、证明：1ba,03b4a2ba22 则则若若3、已知方程、已知方程 2x = 3 ，求证方程有且只有一根，求证方程有且只有一根【作业作业】 P54 练习练习1、2 A组组 3