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1、2.2.2 反证法反证法一反证法一反证法证明命题证明命题“设设p为正整数，如果为正整数，如果p2是偶数是偶数,则则p也是偶数也是偶数”，我们可以不去直接证明，我们可以不去直接证明p是偶数，而是否定是偶数，而是否定p是偶数，然是偶数，然后得到矛盾，从而肯定后得到矛盾，从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：是偶数。具体证明步骤如下：假设假设p不是偶数，可令不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。为整数。可得可得p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇数，这与假设矛盾，是奇数，这与假设矛盾，因此假设因此假设p不是偶数不成立，从而证明不是偶数不成立，从而证明p为偶数。为偶数。一般地，由证明一般
2、地，由证明pq转向证明：转向证明：t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，为假，推出推出q为真的方法，为真的方法，叫做反证法叫做反证法。例例1证明证明不是有理数。不是有理数。证明：假定证明：假定是有理数，则可设是有理数，则可设,其中其中p，q为互为互质的正整数，质的正整数，把把两边平方得到，两边平方得到，2q2=p2，式表明式表明p2是偶数，所以是偶数，所以p也是偶数，于是令也是偶数，于是令p=2l，l是是正整数，代入正整数，代入式，式，得得q2=2l2，式表明式表明q2是偶数，所以是偶数，所以q也是偶数，这样也是偶数，这样p，q都有公因都有公因
3、数数2，这与，这与p，q互质矛盾，互质矛盾，因此因此是有理数不成立，于是是有理数不成立，于是是无理数是无理数.例例2证明质数有无穷多个。证明质数有无穷多个。证明：假定质数只有有限多个，设全体质数为证明：假定质数只有有限多个，设全体质数为p1，p2，p3，pn，令令p=p1p2p3pn+1，显然，显然p不含因数不含因数p1，p2，p3，pn，p要么是质数，要么含有除要么是质数，要么含有除p1，p2，p3，pn之外的质之外的质因数。因数。因此质数只有有限多个不成立，于是质数有无穷多个。因此质数只有有限多个不成立，于是质数有无穷多个。从上述两例看出，反证法不是直接去证明结论，而是从上述两例看出，反证
4、法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。出矛盾，从而肯定结论的真实性。二反证法的主要步骤二反证法的主要步骤(1)反设反设：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不不是；存在是；存在/不存在；平行于不存在；平行于/不平行于；垂直于不平行于；垂直于/不垂直于；不垂直于；等于等于/不等于；大不等于；大(小小)于于/不大不大(小小)于；都是于；都
5、是/不都是；至少不都是；至少有一个有一个/一个也没有；至少有一个也没有；至少有n个个/至多有至多有(n一一1)个；至多个；至多有一个有一个/至少有两个；唯一至少有两个；唯一/至少有两个。至少有两个。(2)归谬：归谬：归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；
6、与反设矛盾；自相矛盾。盾；与反设矛盾；自相矛盾。(3)结论：结论：由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的基础上肯定结论的真实性。基础上肯定结论的真实性。例例3证明证明1，2不能为同一等差数列的三项。不能为同一等差数列的三项。证明：假设证明：假设1，2是某一等差数列中的三项，设这一是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为等差数列的公差为d，则，则1=md，2=nd，其中，其中m，n为某两个正整数，为某两个正整数，由上两式中消去由上两式中消去d，得到，得到n+2m=(n+m),因为因为n+2m为为有理数，有理数，(m+n)为无理数为无理数,所以所以n
7、+2m(n+m)，因此假设不成立，因此假设不成立，1，2不能为不能为同一等差数列中的三项同一等差数列中的三项.例例4平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。顶点的三角形不可能都是锐角三角形。证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为记这四个点为A，B，C，D，考虑考虑ABC，点，点D在在ABC之内或之外两种情况。之内或之外两种情况。（1）如果点）如果点D在在ABC之内，根据假设，之内，根据假设，围绕点围绕点D的三个角都是锐角，其和小于的三个
8、角都是锐角，其和小于270，这与一个周角等于，这与一个周角等于360矛盾；矛盾；（2）如果点）如果点D在在ABC之外，根据假设四之外，根据假设四边形边形ABCD的四个内角分别是某锐角三角形的四个内角分别是某锐角三角形的内角，的内角，即即A，B，C，D都小于都小于90，这和四边形内角和等，这和四边形内角和等于于360矛盾，矛盾，综上所述，原题的结论正确。综上所述，原题的结论正确。例例5、设、设a3+b3=2，求证，求证a+b2证明：假设证明：假设a+b2，则有，则有a2b，从而，从而a3812b+6b2b3，a3+b36b212b+8=6(b1)2+2.因为因为6(b1)2+22，所以，所以a3+b32，这与题设条件，这与题设条件a3+b3=2矛盾，矛盾，所以，原不等式所以，原不等式a+b2成立。成立。例例6、设、设0a,b,c,(1 b)c,(1 c)a,则三式相乘：则三式相乘：(1 a)b(1 b)c(1 c)a又又0a,b,c1所以所以同理：同理：以上三式相乘以上三式相乘：(1 a)a(1 b)b(1 c)c与与矛盾矛盾原式成立。原式成立。