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1、1Hydrologic forecasting水文预报水文预报2第四章第四章 河道流量演算与洪水预报河道流量演算与洪水预报 在汛期，预报沿防汛河段的各指定断面处的水位和流量。河道洪水预报河道洪水预报 河道中洪水波的运动规律。 河道洪水预报的依据河道洪水预报的依据 3绪论绪论流量演算法相应水位法水力学方法水文学方法解析法数值法特征河长法马斯京根法河道洪水预报方法河道洪水预报方法 相应水位法的实质是数理统计法，流量演算法的实质是成因分析法。 4河道洪水预报方法河道洪水预报方法 天然河道的洪水波运动属于渐变不稳定流，可用圣维南方程组描述。 圣维南方程组包含连续方程、运动方程 。 求解圣维南方程组可分
2、为水文学方法、水力学方法两类。 51、连续性方程、连续性方程 continuity equationttdxQtA2dxxQQ2dxxQQxtdWdtdxtA第一节第一节 流量演算法的基本原理流量演算法的基本原理一、概述一、概述 6连续性方程连续性方程 根据质量守恒定律（进、出河段水量差等于河段蓄量的增量），有dtdxtAdtdxxQQdtdxxQQ)2()2(化简得0tAxQ0tAxQ上式表明，河道洪水波运动过程中，过水断面面积随时间的变化与流量随河长的变化相互抵偿。ttdxQtA2dxxQQ2dxxQQtdtdxtA连续性方程（4-1）7概述概述2、稳定流的传播速度、稳定流的传播速度 ),
3、(txQQ dxxQdttQdQ0uxQtQ对稳定流0dtdQxQtQu/0tAxQtQQAxQAQu连续性方程uxQtQdtdQ（4-5b）8稳定流的传播速度稳定流的传播速度dLAQu稳定流的传播速度dL它在河段 内传播时间udLddLQA在整个河段内传播时间dLQAdLQAQwQWw下断面上断面WQW（4-18）9稳定流的传播速度稳定流的传播速度QW 可见，可用槽蓄曲线的坡度计算洪水在河段内的传播时间。QW实用中，常取 2OIQQ则 2OIQQWWQ10第一节第一节 流量演算法的基本原理流量演算法的基本原理二、水量平衡方程、槽蓄方程二、水量平衡方程、槽蓄方程 12)(WWtOIdtdWOI
4、1、水量平衡方程、水量平衡方程 water balance equation 其差分方程形式为O下断面上断面WI11 河段蓄水量（槽蓄量）与入流、出流之间的关系方程水量平衡方程、槽蓄方程水量平衡方程、槽蓄方程),(OIfW 2、槽蓄方程、槽蓄方程 storage-discharge equation 或 )(OfW O下断面上断面WI12槽蓄方程槽蓄方程 槽蓄方程的曲线形式为槽蓄曲线。 为简便，常假设水位沿河长成直线变化，此时河段中断面水位与槽蓄量必为单一关系。 下断面上断面QW中断面中zW13OW单一关系槽蓄方程槽蓄方程 单一关系。 条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的流量等于落洪时的流
5、量。 中zW 由于附加比降的影响，中断面水位与下断面流量关系有三种情况： 中ZO单一关系14槽蓄方程槽蓄方程 顺时针绳套关系。 条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的流量大于落洪时的流量。 OW顺时针绳套中zW中ZO顺时针绳套15槽蓄方程槽蓄方程 逆时针绳套关系。 条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的流量小于落洪时的流量。 OW逆时针绳套中zW中ZO逆时针绳套16第二节第二节 特征河长法特征河长法一、特征河长、特征河长法的槽蓄方程一、特征河长、特征河长法的槽蓄方程 满足下断面的出流与河段的槽蓄量成单一关系的河长。即1、特征河长、特征河长 characteristic river leng
6、th 下断面上断面QW)(QfW 单一关系17特征河长特征河长 对任意河段，中断面水位与槽蓄量为单一关系。 则对特征河长，中断面水位与下断面流量也成单一关系。下断面上断面QW中断面18特征河长特征河长Qz下断面中断面上断面Q1z10Q2Q稳定流1涨水2基准面102QQdssQww),(wszQQ 2z202QQ 1020QQdzzQwwdssQdzzQwwdssQdzzQws水面比降wds附加比降20Q19特征河长特征河长wwdssQdzzQ 上式表明，在特征河长的下断面处，水位变化引起的流量变化与水面比降变化引起的流量变化正好相互抵消。20特征河长、特征河长法的槽蓄方程特征河长、特征河长法的
7、槽蓄方程)(QfW QKl2、特征河长法的槽蓄方程、特征河长法的槽蓄方程洪水波在特征河长内的传播时间。lK可见，特征河段具有水库型的蓄泄关系。 又若蓄泄关系为线性的，则特征河段为线性水库。21特征河长法特征河长法二、特征河长的计算二、特征河长的计算1、公式法、公式法),(wszQQ 特征河长的下断面流量：IQ0Q2/ l2/ lwdsdz涨水时22对特征河长，公式法公式法2/ ldzdsw02wsQlzQ0wwdssQdzzQdQIQ0Q2/ l2/ lwdsdz涨水时),(wszQQ 23公式法公式法wsKQ 00ssQQw00211sdsQQw0021sdsQdQwdQQQ002wsQlz
8、Q0021sQdsdQw0022sQlzQQzsQl0000sdssw同一水位下，下断面流量24公式法公式法000)(QZSQlQzsQl00取稳定流时的 代替 ，得到特征河长的0QzQz近似计算公式为特征河长实例（表特征河长实例（表4-2） 从计算结果可以看出，随流量的增大，特征河长也增大。 （4-21）25特征河长法的计算特征河长法的计算 在基本水尺断面（中断面）下游的不同位置设置测流断面，当测得的流量与基本水尺断面的水位成单一关系时，两断面的间距为特征河长的一半。下断面中断面下Q中Z2、试错法、试错法26特征河长法特征河长法三、特征河长法三、特征河长法 characteristic ri
9、ver length method 结合水量平衡方程和特征河长的槽蓄方程，进行流量演算的方法。OKWl（一）特征河长法（一）特征河长法 （二）原理式（二）原理式dtdWOI27特征河长法特征河长法122102)(OCIICO差分处理221III221OOO12OOdOtdtdtdOKOIl采用差分法解OKWldtdWOIOKWldtdWOI过程：（4-26）28特征河长法特征河长法当预报河段较长，采用多河段处理方法： 把预报河段 按特征河长 分成 段，再借助汇流曲线求下断面的出流。Lln 汇流曲线有两种：泊松分布汇流曲线 ；长办汇流曲线。（三）多河段处理（三）多河段处理29特征河长法特征河长法
10、泊松分布汇流曲线的推导：OKWdtdWOIldtdOKtOtIl)()(取其拉普拉斯变换，得 )()()(sOSKsOsIlSKsIsOl11)()()(sI)(sO单一河段1、泊松分布汇流曲线、泊松分布汇流曲线（瞬时河槽汇流曲线）30泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线lKtnlleKtnKtO1)()(1)(SKsIsOl11)()(n)1 (1)()(SKsIsOl)(sI)(sO12nn个河段对瞬时单位入流)(tn)1 (1)(SKsOl，取其拉普拉斯逆变换，得 ，则1)()(tLsI，31泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线取计算时段长lKt lKtnlleKtnKtO1)()(1)(则 简
11、写为mnlemnKtO1)(1)(dxexnxn01)(其中，ttlKtm ，用 对 离散化：32泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线mnlemnKtO1)(1)(为瞬时单位线的汇流曲线，为方便汇流计算，需将其转化为时段单位线。tdttOtS0)()(dtemnKtmnl01)(1dmemnmmn01)(1mnnmemnP1,)(1称为泊松分布函数 。S这要用到 曲线：33泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线)()() 1()(),(ttststststtu得到 曲线后，再求时段单位线 ：),(ttu S最后，用时段单位线进行河道洪水的汇流计算 。 采用泊松分布的汇流曲线进行汇流计算的难点mnnmem
12、nP1,)(1在于求解 。为方便计算，有专门 表可查。nmP,340.0030.0060.0010.0150.0340.0730.1490.2710.3680.080.0010.0020.0070.0180.0500.1350.3650.419泊松分布函数表nmP, 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1mn35泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线 的计算程序的计算程序 nmP,36泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线中参数泊松分布汇流曲线中参数 、 的推算的推算 nlK)()()()(1122IMOMINONKl)()()()(2221
13、1INONIMOMn其中，)(1M一阶原点矩)(2N二阶中心矩37泊松分布汇流曲线泊松分布汇流曲线Qt3t3QiiiQtQQM)(1iiiQQMtQQN212)()(38特征河长法特征河长法2、长办汇流曲线、长办汇流曲线 1965年，原长江流域规划办公室以特征河长为基础，采用矩形单位入流 ，推导出的汇流曲线。It矩形单位入流10km39长办汇流曲线长办汇流曲线10,0!1niimnimePkmm 0；mjniikmnjjnkeimejMPk)!1 (!1010, mmk；kmmM（其中，）根据上面两式已经制成长办汇流系数表，可查。40长办汇流系数长办汇流系数0.0020.0040.0010.0
14、100.0230.0510.1080.2070.3300.2640.0010.0020.0040.0120.0310.0860.2330.632 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1mn41第三节第三节 马斯京根法马斯京根法一、线性马斯京根法一、线性马斯京根法 liner Muskingum method 用入流、出流的线性组合构造一个示储流量：（一）基本原理和概念（一）基本原理和概念IOOyIxQQKW1、槽蓄方程、槽蓄方程 storage-discharge equation并使得 与槽蓄量 成线性关系： QW42槽蓄方程槽蓄方程OyIxQ0QQ OyIxQ0当水流为稳定
15、流时，0QOI1 yxOyIxQOxIxQ)1 ( 于是得到马斯京根法的槽蓄方程)1 (OxxIKQKW 对于任意长河段，只有稳定流时，槽蓄量与流量才成单一关系，因此有0QQ （4-29）43线性马斯京根法线性马斯京根法1211202OCICICO其中， txkkxKtC2220txkkxKtC2221txkkxKtKC222222、马斯京根法流量演算公式、马斯京根法流量演算公式水量平衡方程tOIWW)(12)1 (OxxIKQKW槽蓄方程（4-30）44线性马斯京根法线性马斯京根法1、参数意义、参数意义（二）参数意义、参数和计算时段长的确定（二）参数意义、参数和计算时段长的确定 马斯京根法的
16、预报方案中有两个参数： 、 。Kx由 知，QKWQddWK0dQdW0dQdW又可见 ， 为恒定流状态下，河段的传播时间。K45参数意义参数意义假定水面线为直线。OI中断面2/ l2/LlQ)(中zWW 为单一线)(lQWW 则 为单一线)(中zQQll为单一线因为QKW而马斯京根法的槽蓄方程 为线性关系可见， 基本符合 的要求。lQQ46参数意义参数意义假设水面线为直线时，2/2/lLOQLOIl2lLLOIOQlQQlOxxI)1 ( Llx221OI中断面2/ l2/LlQ（4-36）47参数意义参数意义Llx221当 时，lL 5 . 00 x特别地 ，lL 5 . 0 x121120
17、2OCICICOtxkkxKtC2220txkkxKtKC22222Kt 取12IO 此时，洪水波没有变形，河槽无调蓄作用。48参数意义参数意义当 时，lL 0 xLlx221 此时，河槽的调蓄作用等同于水库（调蓄作用最大）。KO则 OxxIKW)1 ( 49参数意义参数意义实际中很少出现此种情况。lL 当 时，0 xLlx221综上所述， 反映了河槽的调蓄作用大小：x同一条河流，上游的 比下游的 大。xx在 范围内， 越小，表明河槽的调蓄x5 . 00 x作用越大。50参数意义参数意义QWQWK由 和 知，当 时， QQKQWKQKWQWKOxIxW)1 ( )(5 . 0()(21OIxO
18、IW)(5 . 0(OIxQW51参数意义参数意义)(5 . 0(OIxQWK 落水时， ，则 ；OI K当 时，5 . 0 x 稳定流时， 为单一关系 ， 变化不大。)(QfW 由此分析得涨水时， ，则 ；KOI 当 时， ， ，5 . 0 xKQQQWK 52线性马斯京根法线性马斯京根法 确定参数 、 ，主要有两种途径：试算法，分析法。Kx试算法的流程图。2、参数、参数 、 的确定的确定Kx53线性马斯京根法线性马斯京根法输入资料：入流、出流过程关系曲线呈直线结束假设一个x调整x计算OxIxQ)1 (初始槽蓄量01W计算tOIWW)(12点绘 关系曲线QW是否54线性马斯京根法线性马斯京根
19、法试算法的算例：表4-4。55线性马斯京根法线性马斯京根法)1 (21LlxuLK 其中，洪水波的波速 与断面平均流速 间有关系VuVu为断面形状系数，可查表4-6。 1.25 1.33 1.50 1.33 1.44 1.67V型矩形抛物线断面形状2/13/21SRnV RSCV 分析法确定 、 ，就是用公式计算它们。xK56线性马斯京根法线性马斯京根法 马斯京根法采用差分法求解，这要求在计算时段 内，入流、出流呈线性变化。t 为满足这一要求 ， 应取得小些好。t 3、计算时段、计算时段 的确定的确定 ttQt57线性马斯京根法线性马斯京根法 在推导槽蓄方程时，水面线要求在计算河段内呈直线。
20、若 过小 ，会使得在相当多的时段内，破坏第二个条件。t2t3t4t1t58 的确定的确定 t 理想的情况是，取 ，这时，洪水的峰（或谷）点最多只在河段内出现一次。t 59 的确定要考虑汇流曲线的合理性。t 合理的汇流曲线要求 ， （原因后述）。 00C02C02220txkkxKtCtxkkxKtKC22222xKt2)1 (2xKt)1 (22xKtKx而实际演算问题中， ，此时， 4 . 03 . 0 xKt （4-38） 的确定的确定 t60 当预报河段不长（ 较小 ）时，取 能兼顾上面两个要求。tKt 当预报河段较长（ 较大）时，取 只能满足第二个要求。为此，对长的预报河段，提出了分段
21、的马斯京根法 。tKt 的确定的确定 t61线性马斯京根法线性马斯京根法三、分段的马斯京根法三、分段的马斯京根法 入流为三角形。 )1 (21llLlxnKKl假设各分段的参数 ， 相等。预报河段长 ，分段数为 ，各段长 。nLnLLltIt t 162分段的马斯京根法分段的马斯京根法tItt1当 时，0m由 得 1211202OCICICO021021, 0001CCCCOPnm当 时，1m201021021, 110CCCCCCCOPnm当 时，2m)(0020121021, 2CCCCCCOPnm)(2012CCCC第一单元河段（ ）：1n63分段的马斯京根法分段的马斯京根法这样，可求得
22、第一个单元河段的出流过程：01, 0CPnm2011, 1CCCPnm)(20121, 2CCCCPnm)(201221, 3CCCCPnm)(201121,CCCCPmnm64分段的马斯京根法分段的马斯京根法 求出第一个单元河段的出流后，把它作为第二单元河段的入流，再计算第2个单元河段的出流。201CCCA)!()!()!1( !)!1( !iminiimnBi其中，0, 0immiiminniinmnnACCBPCP201,0, 00mnmP,n 以此类推，可计算第 个单元河段的出流 ：（4-39b）65分段的马斯京根法分段的马斯京根法马斯京根分段连续演算河马斯京根分段连续演算河槽汇流系数
23、的计算槽汇流系数的计算66马斯京根法马斯京根法四、非线性的马斯京根法四、非线性的马斯京根法)(QuLKllLQlx2)(21，1、分段的非线性马斯京根法、分段的非线性马斯京根法非线性的马斯京根法有多种形式： 参数 、 为常数时，为线性的马斯京根法。事实上， 、 不是常数，它们随流量变化。为提高预报精度，提出了非线性的马斯京根法。xKxK67非线性的马斯京根法非线性的马斯京根法mOxIxKW)1 ()1 (mmOxIxKW或2、非线性的槽蓄曲线法、非线性的槽蓄曲线法 68非线性的马斯京根法非线性的马斯京根法)1 (111111OxIxKW)1 (222222OxIxKW时段初：时段末：3、非线性
24、的马斯京根法、非线性的马斯京根法 69第四节第四节 河道相应水位预报河道相应水位预报一、概述一、概述（一）洪水波运动（一）洪水波运动 流域上发生降水后，地面、地下径流迅速汇集到河槽中，使河段内水位、流量迅速增加，并向下游传播，称为洪水波运动。 洪水波运动常作为不稳定渐变流。 1、洪水波运动、洪水波运动 70洪水波运动洪水波运动 洪水波的要素：波前、波后、波高。 2、洪水波要素、洪水波要素 波前波后波高洪水波的要素71洪水波运动洪水波运动 洪水波通过测站断面时，首先通过断面的是波前部分，此时，测站水位不断上升，波峰通过断面时，洪峰水位出现；之后，波后部分通过断面，断面水位不断下降。 上述两个过程
25、相继发生，形成了测站一场洪水过程。72洪水波运动洪水波运动 天然河道，洪水波的附加比降约在万分之一以下，而稳定流的水面比降一般小于千分之一。 附加比降是洪水波在运动过程中不断发生变形的重要原因。 3、洪水波的附加比降、洪水波的附加比降 4、洪水波的变形、洪水波的变形 附加比降、区间入流、河道与断面的变化等多种因素的影响，使得洪水波在运动中，同时发生两种变形：展开、扭曲。73洪水波运动洪水波运动 洪水波的展开洪水波的展开 attenuation of flood wave 洪水波的扭曲洪水波的扭曲 distortion of flood wave 因波前的附加比降大于波后，导致波前的运动速度大于
26、波后，使洪水波在运动过程中波长不断加大，波高不断减小。 波峰传播速度大于波前任何一点，使波前的长度不断减小，波后的长度不断增加。 74概述概述 洪水波上某一点，先后经过上、下游断面时，在两个断面处出现的水位。 表示为（ 、 ）tZ2tZ1（二）相应水位法基本原理（二）相应水位法基本原理 1、相应水位、相应水位 corresponding stage 这对水位也称为同位相的水位。 ：洪水波从上断面传播到下断面需要的时间，简称传播时间。 75下断面水位时间2z上断面水位时间1z相应水位法基本原理相应水位法基本原理 1tz2tz76相应水位法基本原理相应水位法基本原理传播时间 是预报方案的预见期。
27、Vu 取决于洪水传播速度 和河段长 ： LuuLu 与断面平均流速 之间有关系： V断面形状系数，见表4-6。 77相应水位法基本原理相应水位法基本原理 2、相应流量、相应流量 corresponding discharge（ 、 ）表示为2tQ1tQ 研究相应水位（或相应流量）间的关系（统计规律），以此为依据，进行河段洪水预报的方法 。形成相应水位的一对流量。3、相应水位法、相应水位法 corresponding stage method 78相应水位法基本原理相应水位法基本原理 4、相应水位（相应流量）关系、相应水位（相应流量）关系),(),(21212tttttZZgZZfZ),(),(
28、21212tttttQQgQQfQ79相应水位法相应水位法二、相应水位法二、相应水位法 （一）洪峰水位预报（一）洪峰水位预报 利用相应水位法对洪峰水位（或洪峰流量）作出预报。 对洪峰水位（或洪峰流量）预报时，根据建立相关关系时，采用的影响因子不同，有以下几种情况：80洪峰水位预报洪峰水位预报1、相应洪峰水位相关法、相应洪峰水位相关法 采用上、下游站的相应洪峰水位建立相关关系。 )(,1tmZg相应水位关系线 2,tmZ1,tmZ传播时间关系线1,tmZ)(,1,2tmtmZfZ81相应洪峰水位相关法相应洪峰水位相关法 相应洪峰水位相关法适用于区间入流小、附加比降小，且河道断面稳定的河段。 82
29、洪峰水位预报洪峰水位预报2、下游同时水位为参数、下游同时水位为参数 当上、下游相应水位关系不好时，可考虑以下游同时水位为参数，建立相应洪峰水位关系。),(,2,1,2tmtmtmZZfZ),(,2,1tmtmZZg83下游同时水位为参数下游同时水位为参数相应水位关系线 2,tmZ1,tmZ传播时间关系线1,tmZ2,tmZ2,tmZ84下游同时水位为参数下游同时水位为参数 下游同时水位作参数的意义：t2tz121tz2tzt 与 一起，反映了 时刻水面比降。t1tz2tz 与 一起，反映了 至 时段内区间来水量的大小和下游变动回水的影响。2tz1tztt85带参数的相应水位法带参数的相应水位法
30、3、涨差法、涨差法t1tzZ 涨差 ：一次洪水过程中，断面不同时刻的水位差。Z121tzt 次涨差 ：一次洪水过程中，上（或下）断面洪峰水位与起涨水位的差：0zzzmZ86涨差法涨差法 涨差法：以上游站涨差（或次涨差）为参数的相应洪峰水位预报法。t1tzZ121tzt2tZt2tZ 以 为参数的根据：造成上游站在 时段内水位上涨 的水量，经时间 传至下游，使下游水位从 涨至 ，因此，可用涨差作参数。2tZZZ2tZ87涨差法涨差法预报方案： 预报方法：用上游站涨差（或次涨差）预报下游站涨差（或次涨差），再预报下游站的洪峰。)(12ZfZ202,2ZZZtm)(1mZg)(100Zg),(120
31、,2ZZfZtm或或)(1mZg)(100Zg88洪峰水位预报洪峰水位预报预报方案：),(,m1,m2itittZZfZ),(,m1ititZZgitiZi其中，为上游某主要支流的相应水位。 4、上游支流站相应水位为参数、上游支流站相应水位为参数 当预报断面的上游有一条支流，且其影响不可忽视时，则以该支流站相应水位为参数。89洪峰水位预报洪峰水位预报预报方案：),(2312,m1,mttttZZZfZ),(2312,m1tttZZZg5、多条支流的情况、多条支流的情况 当预报断面的上游有影响的支流不止一条时，则以这些支流站相应水位为参数。90多条支流的情况多条支流的情况金华淳安衢县芦茨埠第三主
32、变量：淳安站23tZ第二主变量：金华站12tZ因变量：芦茨埠tZ,m第一主变量：衢县站tZ,m191多条支流的情况多条支流的情况tmz,48495045021tz1,tmz32tz1,tmz92多条支流的情况多条支流的情况金华相应水位23tZ淳安相应水位12tZ芦茨埠洪峰水位tZ,m衢县洪峰水位tZ,m193相应水位法相应水位法三、现时校正法三、现时校正法 相应水位法制作的预报方案是根据历史洪水资料做出的，因此存在诸多问题： 为提高预报精度，根据已出现的预报误差，对相应水位法的预报结果实施一次校正，称为现时校正法。 考虑的因素不全面造成模型误差； 水情的新变化导致原有模型不适应。 94现时校正
33、法现时校正法 认为相邻两次的预报误差相关。当明确这种相关关系后，根据前一次的预报误差计算本次预报误差，再作出新的预报。1、基本思想、基本思想95现时校正法现时校正法ttttZZZZ则新的预报值为ttttttZZZZZZ)( 认为相邻两次的预报误差相同，即2、具体做法、具体做法预报值实测值962Z1Z现时校正法现时校正法)(2tZtZ)(2tZ2Z1ZtZ2tZ21tZ1tZttZZ)(297相应水位法相应水位法四、合成流量法四、合成流量法 resultant discharge method 多支流的河段，当干、支流之间的影响较大，使得相应水位法的预报效果不好时，可以考虑采用合成流量法。nit
34、iiI11、合成流量、合成流量 resultant discharge 上游各干、支流的洪水考虑各自的传播时间不同，在下游同一断面的合成。表示为98合成流量法合成流量法)(n1ititiIfO2、原理式、原理式1I2IiIO99合成流量法合成流量法 原因：上游各干、支流来水量不同；涨水不同步；干、支流相互干扰等原因，使得计算各 较为困难。 ii3、 的确定的确定合成流量法的难点是确定各 。i100 的确定的确定 假设各 ，使 成单一关系曲线。 i)(n12iititIfO 公式计算公式计算iiiCL 试错法试错法i确定 有两种方法： i101合成流量法合成流量法引入参数（如下游站同时水位），建
35、立相关关系。4、方法的改进、方法的改进102第七节第七节 水力学的河道洪水演算方法水力学的河道洪水演算方法01022RcVxVgVtVgxZxQtA一、圣维南方程组差分化一、圣维南方程组差分化对宽浅型河道，有 ，则tZBtA010222KQxQgAQtQgAxZxQtZB变量为 与ZQ103圣维南方程组差分化圣维南方程组差分化 均为非线性项，因 ，)(ZBB )(ZAA 对非线性偏微分方程组，直接求解析解很困难，常采用先差分化、后迭代的方法求其数值解。 tZB22KQtQgA 1xQgAQ2，则 、 、 、 因此，圣维南方程组为非线性偏微分方程组。104圣维南方程组解法圣维南方程组解法用 将河
36、长分为 个小段，用 将整场洪水过程分为 个计算时段 。nmxtxt34210101txmnt1jjxi1ixt3421105圣维南方程组解法圣维南方程组解法xyyyyxy2)()(3412tyyyyty2)()(2413差分化方法：均以 表示。变量 、 以及与 有关的量 、 、zQABKyzxt3421443210yyyyyy106圣维南方程组解法圣维南方程组解法141413131gQfzeQdzc)()()(21021440330zztxBQQQztxBQztxBxyyyyxy2)()(3412tyyyyty2)()(2413443210yyyyyy用 将 差分化：0 xQtZB02)()(
37、2)()(341224130 xQQQQtzzzzB与下断面时段末的水位 有关0B4z非线性方程系数为变量107圣维南方程组解法圣维南方程组解法141413131gQfzeQdzc1 ,1, 11 ,1, 11 ,1,1 ,1,1 ,ijiijiijiijiigQfzeQdzc1jji1ixt3421108圣维南方程组解法圣维南方程组解法差分化：01222xQgAQtQgAKQxZ0221234122002413020203412xQQQQgAQtQQQQgAKQxzzzz202021200210214200043200032)()(1)()1()1(KQxQQgAQQQtxgAzzQgAQt
38、xgAzQgAQtxgAz109圣维南方程组解法圣维南方程组解法2 ,1, 12 ,1, 12 ,1,2 ,1,2 ,ijiijiijiijiigQfzeQdzc242423232gQfzeQdzc202021200210214200043200032)()(1)()1()1(KQxQQgAQQQtxgAzzQgAQtxgAzQgAQtxgAz非线性方程系数为变量110圣维南方程组解法圣维南方程组解法2 ,1, 12 ,1, 12 ,1,2 ,1,2 ,ijiijiijiijiigQfzeQdzc通过差分化，圣维南方程组改写成1 ,1, 11 ,1, 11 ,1,1 ,1,1 ,ijiijii
39、jiijiigQfzeQdzc1jji1ixt3421未知未知111圣维南方程组解法圣维南方程组解法xt011mn22节点求解顺序节点求解顺序初始条件初始条件上边界条件上边界条件112圣维南方程组解法圣维南方程组解法2 ,1, 12 ,1, 12 ,1,2 ,1,2 ,ijiijiijiijiigQfzeQdzc1 ,1, 11 ,1, 11 ,1,1 ,1,1 ,ijiijiijiijiigQfzeQdzc二、非线性方程组的迭代解法二、非线性方程组的迭代解法 、 与计算时段末（ 时刻）的水位、流量有关，故方程组为非线性的。 通过以上分析，方程组的系数 、 、 、1c1e1g2d2f2g1j113解： 非线性方程组的迭代解法非线性方程组的迭代解法 对非线性方程组，常采用迭代法求解：后一次迭代的初值使用前一次迭代计算求出的结果。 通过迭代法，非线性方程组转化为线性方程组。迭代计算过程迭代计算过程例1：用迭代法解非线性方程 01xex114解：非线性方程组的迭代解法非线性方程组的迭代解法迭代计算过程迭代计算过程例2：用迭代法解非线性方程 3 yx01xyex115谢谢！谢谢！ Thanks!