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1、高难拉分攻坚特训(三)1若函数 f(x)axx2ln x 存在极值，且这些极值的和不小于 4ln 2，则 a 的取值范围为( )A2，) B2，)2C2，) D4，)3答案 C解析 f(x)a2x ，因为 f(x)存在极值，所以 f(x)1x2x2ax1x0 在(0，)上有根，即 2x2ax10 在(0，)上有根，所以a280，显然当 0 时，f(x)无极值，不符合题意，所以 a280，即 a2或 a0，则 f(x1)，f(x2)为 f(x)的极值，所以 f(x1)12a2f(x2)(ax1x ln x1)(ax2x ln x2)a(x1x2)(x x )(ln x1ln x2)2 12 22
2、 12 2ln 24ln 2，所以 a2.综上，a 的取值范围为2，)，a22(a241) 33选 C.2A，B 为单位圆(圆心为 O)上的点，O 到弦 AB 的距离为，C 是劣弧 32AB(包含端点)上一动点，若(，R)，则 的取值范围为OCOAOB_答案 1，2 33解析 如图，以圆心 O 为坐标原点建立直角坐标系，设 A，B 两点在 x 轴上方且线段 AB 与 y 轴垂直，A，B 为单位圆(圆心为 O)上的点，O 到弦 AB 的距离为，点 A，点 B，即32(12，32)(12，32)OA(12，32)OB(12，32)，又OA(2，32)OB(2，32)OCOAOB(2，32)C 是劣
3、弧 (包含端点)上一动点，设点 C 坐标为(x，y)，则Error!ABOC(x，y)，y1，(2，32)3232解得 1，故 的取值范围为.2 331，2 333已知圆 C：x2y22x0，圆 P 在 y 轴的右侧且与 y 轴相切，与圆 C 外切(1)求圆心 P 的轨迹 的方程；(2)过点 M(2,0)，且斜率为 k(k0)的直线 l 与 交于 A，B 两点，点 N 与点M 关于 y 轴对称，记直线 AN，BN 的斜率分别为 k1，k2，是否存在常数 m，使得为定值？若存在，求出该常数 m 与定值；若不存在，请说明理1k2 11k2 2mk2由解 (1)圆 C 的方程可化为(x1)2y21，
4、则圆心 C(1,0)，半径 r1.设圆心 P 的坐标为(x，y)(x0)，圆 P 的半径为 R，由题意可得Error!所以|PC|x1，即x1，整理得 y24x.x12y2所以圆心 P 的轨迹 的方程为 y24x(x0)(2)由已知，直线 l 的方程为 yk(x2)，不妨设 t ，1k则直线 l 的方程为 y (x2)，即 xty2.1t联立，得Error!消去 x，得 y24ty80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Error!因为点 M(2,0)与点 N 关于 y 轴对称，所以 N(2,0)，故 k1，所以t，y1x121k1x12y1ty122y14y1同理，得t，1k24y2
5、所以221k2 11k2 2mk2(t4y1)(t4y2)mk22t28t16mt2(1y11y2)(1y2 11y2 2)2t28t16mt2y1y2y1y2y1y222y1y2y1y222t28t16mt24t84t22 8822t24mt2(2m)t24，要使该式为定值，则需 2m0，即 m2，此时定值为 4.所以存在常数 m2，使得为定值，且定值为 4.1k2 11k2 2mk24已知函数 f(x)xa(ln x)2，aR.(1)当 a1，x1 时，试比较 f(x)与 1 的大小，并说明理由；(2)若 f(x)有极大值，求实数 a 的取值范围；(3)若 f(x)在 xx0处有极大值，证
6、明：11 时，f(x)x(ln x)2，x1.f(x)12(ln x) .1xx2ln xx令 g(x)x2ln x，x1，则 g(x)1 ，2xx2x当 x(1,2)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)g(2)22ln 20，即 f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增f(x)f(1)1.故当 a1，x1 时，f(x)1.(2)f(x)1(x0)，2aln xxx2aln xx令 h(x)x2aln x(x0)，则 h(x)1，2axx2ax当 a0 时，f(x)x 无极大值当 x(0，x1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在 xx1处有极小值，f(x)无极大值当 a0 时，h(x)在(0,2a)上单调递减，h(x)在(2a，)上单调递增，f(x)有极大值，h(2a)2a2aln (2a)2a1ln (2a) ，e2又 h(1)10，h(e)e2a0，f(x)单调递增；当 x(x0，e)时，f(x) .e2(3)证明：由(2)可知 aln x0，x02f(x0)x0a(ln x0)2x0(10，1ln x21ln x2p(x)在(1，e)上单调递增，p(1)p(x)p(e)，即 1p(x) ，e2故 1f(x0) .e2