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1、仿真模拟卷四本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 Ax|x1，Bx|2x30，则 AB( )A0，) B1，)C. D.(32，)0，32)答案 B解析 因为 Bx|2x30，Ax|x1，所以x|x 32AB1，)2已知复数 z 满足(1i)z2i(i 为虚数单位)，则( )zA1i B1iC1i D1i答案 A解析 由(1i)z2i，得 z1i，1i.2i1i2i1i1i1iz3设 a，b 是空间两条直线，则“a，b 不平
2、行”是“a，b 是异面直线”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 由 a，b 是异面直线a，b 不平行反之，若直线 a，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线所以“a，b 不平行”是“a，b 是异面直线”的必要不充分条件4在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m1 lg ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1,2)已知太52E1E2阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1答案 A解析 两颗星的星等与亮度
3、满足 m2m1 lg ，令52E1E2m21.45，m126.7，则 lg (m2m1) (1.4526.7)10.1，从E1E22525而1010.1.E1E25执行如图所示的程序框图，若输出结果为 1，则可输入的实数 x 的值的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 根据题意，该框图的含义是：当 x2 时，得到函数 yx21；当 x2 时，得到函数 ylog2x，因此，若输出的结果为 1 时，若 x2，得到 x211，解得 x，2若 x2，得到 log2x1，无解，因此，可输入的实数 x 的值可能为， ，共有 2 个226安排 A，B，C，D，E，F，共 6 名义工照顾甲、乙、丙三
4、位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人甲，义工 B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有( )A30 种 B40 种 C42 种 D48 种答案 C解析 6 名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有 C C 90 种2 6 2 4安排方法，其中 A 照顾老人甲的情况有 C C 30 种，B 照顾老人乙的情况有1 5 2 4C C 30 种，A 照顾老人甲，同时 B 照顾老人乙的情况有 C C 12 种，所以1 5 2 41 4 1 3符合题意的安排方法有 9030301242 种7在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，AC 与 BD 相交于点
5、O，过点 A 作AEBD，垂足为 E，则( )AEECA. B. C. D.725144251251225答案 B解析 如图，由 AB3，AD4，得BD5，916AE.ABADBD125又()AEECAEEOOC，AEEOAEOCAEEOAEAOAEBD，0，AEEO又|cosEAO|2，.AEAOAEAOAEAO|AE|AO|AE14425AEEC144258一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A8 B827327C6 D6 32323答案 B解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，如图所示，其中圆锥的底面半径为 1，高为，母线长为 2，四棱锥的底面
6、是边长为 23的正方形，高为，取 BC 的中点 N，连接 MN，PN，则该几何体的表面积为3S 12 12222 28.1212(12 2 2)12343279若函数 yf(x)的大致图象如图所示，则 f(x)的解析式可以是( )Af(x)xexexBf(x)xexexCf(x)exexxDf(x)exexx答案 C解析 当 x0 时，f(x)，而 A 中的 f(x)0，排除 A；当 x0 时，f(x)0，而 B 中 x0 时，f(x)0，D 中，f(x)0，排除 B，D.xexexexexx10已知不等式 xyax22y2对于 x1,2，y2,3恒成立，则 a 的取值范围是( )A1，) B
7、1,4)C1，) D1,6答案 C解析 不等式 xyax22y2对于 x1,2，y2,3恒成立，等价于 a 2yx2对于 x1,2，y2,3恒成立，令 t ，则 1t3，at2t2在1,3上(yx)yx恒成立，y2t2t22 ，t1 时，ymax1，(t14)18a1，故 a 的取值范围是1，)11已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，e 为双x2a2y2b2曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为 I，过 F2作直线 PI 的垂线，垂足为 B，则|OB|等于( )Aa Bb Cea Deb答案 A解析 如图，延长 F2B 交 PF1于点 C，在PC
8、F2中，由题意，得它是一个等腰三角形，|PC|PF2|，B 为 CF2的中点，在F1CF2中，有|OB| |CF1| (|PF1|PC|) (|PF1|PF2|)121212 2aa.1212设 minm，n表示 m，n 二者中较小的一个，已知函数 f(x)x28x14，g(x)min(x0)若x15，a(a4)，(12)x2，log24xx2(0，)，使得 f(x1)g(x2)成立，则 a 的最大值为( )A4 B3 C2 D0答案 C解析 由题意得 g(x)Error!则 g(x)maxg(1)2.在同一坐标系作出函数 f(x)(5xa)和 g(x)(x0)的图象，如图所示由 f(x)2，
9、得 x6 或2，x15，a，x2(0，)，使得 f(x1)g(x2)成立，4a2，a 的最大值为2.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知点 P(x，y)满足条件Error!则点 P 到原点 O 的最大距离为_答案 34解析 画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!得Error!由图得，当点 P 的坐标为(5,3)时，点 P 到原点的距离最大，且最大值为.2593414函数 f(x)的最小正周期为sin(x6)s
10、inx sin(x6)sinx_，最大值为_答案 12解析 f(x) cossin(x6)sinx sin(x6)sinx12(12cos2x32sin2x)12，f(x)的最小正周期为 T，最大值为 .(2x3)221215从 4 男 2 女共 6 名学生中选出队长 1 人、副队长 1 人、普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)答案 168解析 第一类，先选 1 女 3 男，有 C C 8(种)，从这 4 人中选 2 人作为3 4 1 2队长和副队长有 A 12(种)，故有 81296(种)；第二类，先选 2 女 2 男，有2 4
11、C C 6(种)，从这 4 人中选 2 人作为队长和副队长有 A 12(种)，故有2 4 2 22 461272(种)，根据分类加法计数原理共有 9672168(种)16如图，在ABC 中，sin，点 D 在线段 AC 上，且ABC233AD2DC，BD，则ABC 的面积的最大值为_4 33答案 32解析 由 sin，可得 cos，ABC233ABC263则 sinABC2sincos.ABC2ABC22 23由 sin0，y0，z0)，在ABD 中，由余弦定理可得，cosBDA，1632z2x22 4 33 2z在CBD 中，由余弦定理可得，cosBDC，163z2y22 4 33 z由BD
12、ABDC180，故 cosBDAcosBDC，即，1632z2x22 4 33 2z163z2y22 4 33 z整理可得 166z2x22y20. 在ABC 中，由余弦定理可知，x2y22xy (3z)2，13则 6z2 x2 y2 xy，232349代入式整理计算可得， x2 y2 xy16，134349由基本不等式可得，162 xyxy，13x2 43y249169故 xy9，当且仅当 x3，y时等号成立，23 22据此可知，ABC 面积的最大值为 Smax (ABBC)maxsinABC 912123.2 232三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题
13、满分 12 分)已知数列an满足：an1，an12(nN*)，1an数列bn中，bn，且 b1，b2，b4成等比数列1an1(1)求证：数列bn是等差数列；(2)若 Sn是数列bn的前 n 项和，求数列的前 n 项和 Tn.1Sn解 (1)证明：bn1bn1an111an1121an11an1anan11，1an1数列bn是公差为 1 的等差数列(2)由题意可得 b b1b4，即(b11)2b1(b13)，b11，bnn，2 2Sn，2，nn121Sn2nn1(1n1n1)Tn2(11212131n1n1)2.(11n1)2nn118(本小题满分 12 分)中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中
14、华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼 “百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：分组(年龄)7,20)20,40)40,80频数(人)185436(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取 6 人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)在(1)中抽出的 6 人中，任选 2 人参加一对一的对抗比赛，求这 2 人来自同一年龄组的概率解 (1)样本容量与总体个数的比是，6108118样本中包含 3 个年龄段的个体数，分别是：年龄在7,2
15、0)的人数为181，118年龄在20,40)的人数为543，118年龄在40,80的人数为362，118从这三个不同年龄组7,20)，20,40)，40,80中分别抽取的挑战者的人数为 1,3,2.(2)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取 6 人参加挑战，这三个不同年龄组7,20)，20,40)，40,80中分别抽取的挑战者的人数为 1,3,2.从抽出的 6 人中，任选 2 人参加一对一的对抗比赛，基本事件总数为 nC15，2 6这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 mC C 4，2 32 2这 2 人来自同一年龄组的概率 P .mn41519(本小题满分 12 分)如图，在各棱长均为
16、 2 的正三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为棱 A1B1与 BB1的中点，M，N 为线段 C1D 上的动点，其中，M 更靠近 D，且 MNC1N.(1)证明：A1E平面 AC1D；(2)若 NE 与平面 BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线 BM 与 NE 所1020成角的余弦值解 (1)证明：由已知得A1B1C1为正三角形，D 为棱 A1B1的中点，C1DA1B1，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 A1B1C1，C1D底面 A1B1C1，则AA1C1D.又 A1B1AA1A1，A1B1，AA1平面 ABB1A1，C1D平面 ABB1A1，又 A1E平面 ABB1A1
17、，C1DA1E.易证 A1EAD，又 ADC1DD，AD，C1D平面 AC1D，A1E平面 AC1D.(2)取 BC 的中点 O，B1C1的中点 O1，连接 AO，则AOBC，OO1BC，OO1AO，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则 B(0,1,0)，E(0,1,1)，C1(0，1,2)，D，(32，12，2)设，C1NC1D(32，32，0)则(0,2，1)NEC1EC1N(32，32，0)，(32，232，1)易知 n(1,0,0)是平面 BCC1B1的一个法向量，|cos，n|，NE3232651020解得 ， (舍去)1359，2，NE(36，32，1)C
18、1MC1D(33，1，0)，BMBC1C1M(33，1，2)cos，NEBM16322103 16311 1040异面直线 NE 与 BM 所成角的余弦值为.11 104020(本小题满分 12 分)已知 A，F 分别是椭圆 C：1(ab0)的左顶x2a2y2b2点、右焦点，点 P 为椭圆 C 上一动点，当 PFx 轴时，|AF|2|PF|.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若椭圆 C 上存在点 Q，使得四边形 AOPQ 是平行四边形(点 P 在第一象限)，求直线 AP 与 OQ 的斜率之积；(3)记圆 O：x2y2为椭圆 C 的“关联圆” 若 b，过点 P 作椭aba2b23圆 C 的“关联
19、圆”的两条切线，切点为 M，N，直线 MN 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 m，n，求证：为定值3m24n2解 (1)由 PFx 轴，知 xPc，代入椭圆 C 的方程，得1，解得 yP.c2a2y2 Pb2b2a又|AF|2|PF|，所以 ac，所以 a2ac2b2，2b2a即 a22c2ac0，所以 2e2e10，由 00，1x所以 f(x)在(0，)上单调递增，无极值点；当 a0 时，令 f(x) a0 得 0 ，1x1a所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减，(0，1a)(1a，)所以函数 f(x)有极大值点为 x ，无极小值点1a(2)由条件可得 ln xx2ax0(x0)恒成立
20、，则当 x0 时，ax 恒成立，ln xx令 h(x)x(x0)，则 h(x)，ln xx1x2ln xx2令 k(x)1x2ln x(x0)，则当 x0 时，k(x)2x 0；在(1，)上，h(x)0.所以 h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，所以 h(x)maxh(1)1，所以 a1.请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!(其中 t 为参数)，在以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系(两种
21、坐标系的单位长度相同)中，直线 l 的极坐标方程为 sin.(3)2(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 与曲线 C 的公共点 P 的极坐标解 (1)消去参数 t，得曲线 C 的直角坐标方程 x2y24(x2)将 xcos，ysin 代入 x2y24，得 2(cos2sin2)4.所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos24.(4 4)(2)将 l 与 C 的极坐标方程联立，消去 得 4sin22cos2.(3)展开得 3cos22sincossin22(cos2sin2)3因为 cos0，所以 3tan22tan10.3于是方程的解为 tan，即 .336代入 sin，得 2，所以
22、点 P 的极坐标为.(3)22(2 2，6)23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 x，yR，xy4.(1)要使不等式 |a2|a1|恒成立，求实数 a 的取值范围；1x1y(2)求证：x22y2，并指出等号成立的条件323解 (1)因为 x，yR，xy4，所以 1.x4y4由基本不等式，得 1，1x1y(1x1y)(x4y4)1214(yxxy)1212yxxy当且仅当 xy2 时取等号要使不等式 |a2|a1|恒成立，1x1y只需不等式|a2|a1|1 成立即可构造函数 f(a)|a2|a1|，则等价于解不等式 f(a)1.因为 f(a)Error!所以解不等式 f(a)1，得 a0.所以实数 a 的取值范围为(，0(2)证明：因为 x，yR，xy4，所以 y4x(0x4)，于是 x22y2x22(4x)23x216x3232，当(x83)323323x ，y 时等号成立8343