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1、仿真模拟卷仿真模拟卷一本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分共 150 分，考试时间120 分钟第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 Ax|x1 BABRCABx|x1，又 00，0，|，得 0，所以24k2111112211122411k1，2，所以函数 f(x)2sin，因为 f(ax)f(ax)0，所以函数(2x6)f(x)的图象关于 xa 对称，即有 2a k ，kZ，所以可得62a ，kZ，所以 a 的最小正值为 .k2669若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f1，当 x0，b0
2、)的左、右顶点分别为 A，B，P 为双x2a2y2b2曲线左支上一点，ABP 为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离5心率为( )A. B. C. D.155154153152答案 C解析 由题意知等腰ABP 中，|AB|AP|2a，设ABPAPB，F1为双曲线的左焦点，则F1AP2，其中 必为锐角ABP 外接圆的半径为a，2a，552asinsin，cos，552 55sin22 ，552 5545cos2221 .(2 55)35设点 P 的坐标为(x，y)，则 xa|AP|cos2，y|AP|sin2，11a58a5故点 P 的坐标为.(11a5，8a5)由点 P 在双曲线上，得1
3、，(11a5)2a2(8a5)2b2整理得 ，e .b2a223ca1b2a215312德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19 世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：yf(x)Error!其中 R 为实数集，Q 为有理数集则关于函数 f(x)有如下四个命题：ff(x)0；函数 f(x)是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f(xT)f(x)对任意的 xR 恒成立；存在三个点 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)，C(x3，f(x3)，使得ABC 为等边三角形其中真命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 当 x 为有理数时，f
4、(x)1；当 x 为无理数时，f(x)0.当 x 为有理数时，ff(x)f(1)1；当 x 为无理数时，ff(x)f(0)1，无论 x 是有理数还是无理数，均有 ff(x)1，故不正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f(x)f(x)，故正确；当 TQ 时，若 x 是有理数，则 xT 也是有理数；若 x 是无理数，则 xT 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f(xT)f(x)对 xR 恒成立，故正确；取x1，x20，x3，f(x1)0，f(x2)1，f(x3)0，A，B(0,1)，C3333(33，0)，ABC 恰好为等边三角形，
5、故正确，故选 C.(33，0)第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 x，y 满足约束条件 Error!x，yR，则 x2y2的最大值为_答案 8解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)x2y2表示可行域内的点(x，y)到原点距离的平方由图形可得，可行域内的点 A 或点 B 到原点的距离最大，且 A(2，2)，B(2,2)，又|OA|OB|2，(x2y2)max8.214设直三棱柱 ABCA1B1C1的所有顶点都在同一个球面上
6、，且球的表面积是 40，ABACAA1，BAC120，则此直三棱柱的高是_答案 22解析 设 ABACAA1x，在ABC 中，BAC120，则由余弦定理可得 BCx.3由正弦定理，可得ABC 外接圆的半径为 rx，又球的表面积是 40，球的半径为 R.10设ABC 外接圆的圆心为 O，球心为 O，在 RtOBO中，有2x210，解得 x2，即 AA12.直三棱柱的高是 2.(12x)22215七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一
7、点，则此点取自黑色部分的概率是_答案 316解析 由七巧板的构造可知，BICGOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，而 S梯形 EFOH SDOF S正方形 ABDFS正方形 ABDF，343414316所求的概率为 P.S梯形EFOHS正方形ABDF31616在数列an中，a11，an1Sn3n(nN*，n1)，则数列Sn的通项公式为_答案 Sn3n2n解析 an1Sn3nSn1Sn，Sn12Sn3n， ，1，Sn13n123Sn3n13Sn13n123(Sn3n1)又1 1 ，S131323数列是首项为 ，公比为 的等比数列，Sn3n123231 n1n，Sn3n23(23)(
8、23)Sn3n2n.三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且bcosAsinA(acosCccosA)3(1)求角 A 的大小；(2)若 a2，ABC 的面积为，求ABC 的周长35 34解 (1)bcosAsinA(acosCccosA)，3由正弦定理可得，sinBcosAsinA(sinAcosCsinCcosA)3sinAsin(AC)sinAsinB，即sinBcosAsinAsinB，sinB0，tanA，33A(0，)，A .3(2)A ，a2，ABC 的面积为，335 3
9、4 bcsinAbc，bc5，12345 34由余弦定理可得，a2b2c22bccosA，即 12b2c2bc(bc)23bc(bc)215，解得 bc3，3ABC 的周长为 abc235.33318(本小题满分 12 分)如图，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEBC2.(1)求证：BF平面 ADE；(2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；(3)若二面角 EBDF 的余弦值为 ，求线段 CF 的长13解 依题意，可以建立以 A 为坐标原点，分别以，的方向为 x 轴、ABADAEy 轴、z 轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 A(0,0,0)，B(1
10、,0,0)，C(1,2,0)，D(0，1,0)，E(0,0,2)设 CFh(h0)，则 F(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面 ADE 的法向量，又(0,2，h)，可ABBF得0，又因为直线 BF平面 ADE，所以 BF平面 ADE.BFAB(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)BDBECE设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则Error!即Error!不妨令 z1，可得 n(2,2,1)因此有 cos，n .CECEn|CE|n|49所以，直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 .49(3)设 m(x，y，z)为平面 BDF 的法向量，
11、则Error!即Error!不妨令 y1，可得 m.(1，1，2h)由题意，有|cosm，n| ，|mn|m|n|42h|3 24h213解得 h .经检验，符合题意87所以线段 CF 的长为 .8719(本小题满分 12 分)如图，已知点 F(1,0)为抛物线 y22px(p0)的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心 G在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧记AFG，CQG 的面积分别为 S1，S2.(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点 G 的坐标S1S2解 (1)由题意得 1，即 p
12、2.p2所以抛物线的准线方程为 x1.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心 G(xG，yG)令 yA2t,2t0，则 xAt2.由于直线 AB 过 F，故直线 AB 的方程为 xy1，代入 y24x，得t212ty2y40，2t21t故 2tyB4，即 yB ，所以 B.2t(1t2，2t)又由于 xG (xAxBxC)，yG (yAyByC)及重心 G 在 x 轴上，故13132t yC0，得2tC，G.(1tt)2，2(1tt)(2t42t223t2，0)所以直线 AC 的方程为 y2t2t(xt2)，得 Q(t21,0)由于 Q 在焦点 F 的右侧，故 t
13、22.从而S1S212|FG|yA|12|QG|yC|2t42t223t21|2t|t212t42t223t2|2t2t|2.2t4t2t41t22t41令 mt22，则 m0，22S1S2mm24m31m3m421.12 m3m432当 m时，取得最小值 1，此时 G(2,0)3S1S23220(本小题满分 12 分)设函数 f(x)mexx23，其中 mR.(1)当 f(x)为偶函数时，求函数 h(x)xf(x)的极值；(2)若函数 f(x)在区间2,4上有两个零点，求 m 的取值范围解 (1)由函数 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即 mex(x)23mexx23 对于任意实数
14、x 都成立，所以 m0.此时 h(x)xf(x)x33x，则 h(x)3x23.由 h(x)0，解得 x1.当 x 变化时，h(x)与 h(x)的变化情况如下表所示：所以 h(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)上单调递增所以 h(x)有极小值 h(1)2，极大值 h(1)2.(2)由 f(x)mexx230，得 m.x23ex所以“f(x)在区间2,4上有两个零点”等价于“直线 ym 与曲线 g(x)，x2,4有且只有两个公共点” x23ex对函数 g(x)求导，得 g(x).x22x3ex由 g(x)0，解得 x11，x23.当 x 变化时，g(x)与 g(x)的变化情况如下表
15、所示：所以 g(x)在(2，1)，(3,4)上单调递减，在(1,3)上单调递增又因为 g(2)e2，g(1)2e，g(3)g(1)，6e313e4所以当2em或 m时，直线 ym 与曲线 g(x)，x2,413e46e3x23ex有且只有两个公共点即当2em或 m时，函数 f(x)在区间2,4上有两个零点13e46e321(本小题满分 12 分)某芯片代工厂生产某型号芯片每盒 12 片，每批生产若干盒，每片成本 1 元，每盒芯片需检验合格后方可出厂检验方案是从每盒芯片随机取 3 片检验，若发现次品，就要把全盒 12 片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片
16、合格，不再检验，可出厂(1)若某盒芯片中有 9 片合格，3 片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？(2)若每片芯片售价 10 元，每片芯片检验费用 1 元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔 10 元，并补偿 1 片经检验合格的芯片给组装厂设每片芯片不合格的概率为 p(0p1)，且相互独立若某盒 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0；若以中的 p0作为 p 的值，由于质检员操作疏忽，有一盒芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这盒芯片的最终利润 X(单位：元)的期望解 (1)设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为 A，则
17、 P(A)C3 9C 3 12.2155答：该盒芯片可出厂的概率为.2155(2)某盒 12 片芯片中恰有 3 片次品的概率f(p)Cp3(1p)93 12当且仅当 3p1p，即 p 时取“”号，14故 f(p)的最大值点 p0 .14由题设知，pp0 .设这盒芯片不合格品个数为 n，14则 nB，故 E(n)12 3，(12，14)14则 E(X)12012303272.这盒芯片的最终利润 X 的期望是 72 元请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
18、1的方程为 x2y24，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，若将曲线 C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，32得曲线 C2.(1)写出曲线 C2的参数方程；(2)设点 P(2,3)，直线 l 与曲线 C2的两个交点分别为 A，B，求31|PA|的值1|PB|解 (1)若将曲线 C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 ，则得到曲32线 C2的直角坐标方程为 x224，整理，得1，(23y)x24y29曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)(2)将直线 l 的参数方程化为标准形式为Error!(t为参数)，将参数方程代入1，得x24y291，(212t)24(3 3
19、32t)29整理，得 (t)218t360.74|PA|PB|t1t2|，727|PA|PB|t1t2，1447 .1|PA|1|PB|PA|PB|PA|PB|72714471223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x3|x1|的最小值为 m.(1)求 m 的值以及此时 x 的取值范围；(2)若实数 p，q，r 满足：p22q2r2m，证明：q(pr)2.解 (1)依题意，得 f(x)|x3|x1|x3x1|4，故 m 的值为 4.当且仅当(x3)(x1)0，即3x1 时等号成立，即 x 的取值范围为3,1(2)证明：因为 p22q2r2m，故(p2q2)(q2r2)4.因为 p2q22pq，当且仅当 pq 时等号成立；q2r22qr，当且仅当 qr 时等号成立，所以(p2q2)(q2r2)42pq2qr，故 q(pr)2，当且仅当 pqr 时等号成立