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1、数学试卷 第 1 页（共 22 页） 数学试卷 第 2 页（共 22 页） 绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 数 学（文）本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，则( )| 12Axx |1Bx xABA.B.C.D.1,11,21, 1,2. 已知复数，则( )2ziz zA.B.C.3D.5353.下列函数中，在区间上单调递增的是( )0,A.B.C.D.1 2yx2xy1 2logyx1yx4.执行如图所示的程
2、序框图，输出的值为( )sA.1B.2C.3D.45.已知双曲线（）的离心率是，则( )2 2 21xya0a5a A.B.4C.2D.61 26.设函数（为常数） ，则“”是“为偶函数”的 cossinf xxbxb0b f x( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为（） 已知太阳的星等是21 215 2lgEmmEkmkE1,2k 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 22 页） 数学
3、试卷 第 4 页（共 22 页），天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )26.71.45A.B. 10.1C.D. 10.110lg10.110.1108.如图，是半径为 2 的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大ABPAPB小为.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.B.44cos44sinC.D.22cos22sin第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.已知向量，且，则 .=4,3a6,mbabm 10.若，满足则的最小值为 ，最大值为 .xy2, 1, 431 0,x y xy yx11.设抛物线的焦点为，准线为 则以
4、为圆心，且与 相切的圆的方程为 .24yxFlFl12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上 小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 .13.已知 ，是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；lmml以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃， 价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种 水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付元每笔订单顾客x 网上支付成功后，李明会得到支付款
5、的 80%当时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 元；10x 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 的最大值为 x三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.(本小题 13 分)在中，ABC3a 2bc1cos2B （）求，的值；bc（）求的值.sin BC数学试卷 第 5 页（共 22 页） 数学试卷 第 6 页（共 22 页） 16.(本小题 13 分)设是等差数列，且成等比数列 na110a 23410,8,6aaa（）求的通项公式； na（）记的前项和为，求的最小值. nannSnS17.(本小题 12
6、 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校 所有的 1 000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使 用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于 2 000 元大于 2 000 元支付方式仅使用 A27 人3 人仅使用 B24 人1 人（）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；（）已知上个月
7、样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生 中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合（）的结果， 能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说 明理由18.(本小题 14 分)如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为PABCDPAABCDABCDE 的中点CD（）求证：平面；BDPAC（）若，求证：平面平面；60ABCPABPAE（）棱上是否存在点，使得平面？说明理由PBFCFPAE-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 22 页） 数学试卷 第 8 页（共 2
8、2 页）19.(本小题 14 分)已知椭圆的右焦点为，且经过点2222:1xyCab(1,0)(0,1)A（）求椭圆的方程；C（）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点，直线O:(1)l ykxt t CPQ与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：APxMAQxN| | 2OMON 直线 经过定点l20.(本小题 14 分)已知函数321( )4f xxxx（）求曲线的斜率为 1 的切线方程；( )yf x（）当时，求证：； 2,4x 6( )xf xx （）设，记在区间上的最大值为，( ) |( )()|()F xf xxaaR( )F x 2,4( )M a当最小时，求的值( )M aa2019
9、 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学（文）答案解析数学试卷 第 9 页（共 22 页） 数学试卷 第 10 页（共 22 页） 第卷一、选择题1 【答案】C【解析】由题意得，即，故选 C|1A Bx x1,A B 【考点】集合的并运算2 【答案】D【解析】通解：因为，所以，所以2zi2zi，故选 D 222422415z ziiiii 优解：，故选 D222| |215z zz【考点】共轭复数的概念和复数的代数运算3 【答案】A【解析】对于幂函数，当时，在上单调递增，当时，yx0yx0,0在上单调递减，所以选项 A 正确；选项 D 中的函数可转化为yx0,1yx，所以函数在上单调递减，故
10、选项 D 不符合题意；对于指数函数1yx1yx0,（，且） ，当时，在上单调递减，当时，xya0a1a 01axya, 1a在上单调递增，而选项 B 中的函数可转化为，因此函xya, 2xy1 2x y数在上单调递减，故选项 B 不符合题意；对于对数函数（2xy0,logayx，且） ，当时，在上单调递减，当时，0a1a 01alogayx0,1a在上单调递增，因此选项 C 中的函数在上单调递减，logayx0,1 2logyx0,故选项 C 不符合题意故选 A【考点】幂函数，指数函数，对数函数的单调性4 【答案】B【解析】执行程序框图，结束循环，输出的值为 2，故选2,2;2,3;2sksk
11、ssB【考点】循环结构的程序框图5 【答案】D【解析】通解：由双曲线方程可知，所以，所以21b 2221caba，解得，故选 D215caeaa1 2a 优解：由，得，得，故选 D2 22 25,1,1beeba 215=1+a1 2a 【考点】双曲线的标准方程和离心率6 【答案】C【解析】时，显然是偶函数，故“”是“是偶函数”0b cosf xx f x0b f x的充分条件；是偶函数，则有，即 f x fxf x，又，所以cossincossinxbxxbxcoscos ,sinsinxxxx ，则对任意恒成立，得，因此“cossincossinxbxxbx2 sin0bx xR0b ”是
12、“是偶函数”的必要条件因此“”是“是偶函数”的充分0b f x0b f x必要条件，故选 C【考点】充分必要条件的判断7 【答案】A【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为与,天狼星的星等与亮度分别为与1m1E2m数学试卷 第 11 页（共 22 页） 数学试卷 第 12 页（共 22 页），则由已知条件可知，根据两颗星的星等与亮度满足2E1226.7,1.45mm ，把与的值分别代入上式得，得1 21 25lg2EmmE1m2m1251.4526.7lg2E E ，所以，故选 A12lg10.1E E10.11210E E【考点】指数与对数的运算8 【答案】B【解析】如图，设点为圆心，连接
13、，在劣弧上取一点 C，则OPOOAOBABAAB阴影部分面积为和弓形的面积和因为，是圆周上的定点，所以弓ABPACBAB形的面积为定值，故当的面积最大时，阴影部分面积最大又的长为ACBABPAB定值，故当点为优弧的中点，点到弦的距离最大，此时面积最大，PAABPABABP即当为优弧的中点时，阴影部分面积最大下面计算当为优弧的中点时阴PAABPAAB影部分的面积因为为锐角，且，所以，则阴影APB=APB2 ,=180AOBAOPBOP部分的面积，故选211+222sin 1802244sin22AOPBOPOABSSSS 扇形B【考点】三角形面积，扇形面积公式第卷二、填空题9 【答案】8【解析】
14、因为，所以，解得ab4630m a b8m 【考点】向量垂直，向量的数量积10 【答案】13【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，令，作出直线，并平移，当zyx=0yx平移后的直线过点时，取最大值，；当平移后的直线过点2,3Azmax1yx时，取最小值，2, 1Czmin3yx 【考点】线性规划【考查能力】数形结合，运算求解数学试卷 第 13 页（共 22 页） 数学试卷 第 14 页（共 22 页） 11 【答案】22(1)4xy【解析】因为抛物线的标准方程为，所以焦点，准线 的方程为，所24yx1,0Fl1x 求的圆以为圆心，且与准线 相切，故圆的半径，所以圆的方程为Fl2r 22(1)
15、4xy【考点】抛物线的几何性质，圆的标准方程12 【答案】40【解析】如图，由三视图可知，该几何体为正方体去掉四棱柱1111ABCDABC D所得，其中正方体的体积为 64，1111BC GFAD HE1111ABCDABC D，所以该几何体的体积为 1 11114224242B C GFA D HEV 642440【考点】几何体的三视图，体积13 【答案】若，则.（或，则，答案不唯一）lmlmmllm【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成 3 个命题命题（1）：若，则，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体lmml中，设平面为平面，和分别为 和，满足条件，1111ABCD
16、ABC DABCD11AD11ABlm但结论不成立命题（2）：若，则，此命题正确证明：作直线，且与 相交，lmlm1mml故 与确定一个平面，且，因为，所以平面与平面相交，设l1m1lml，则，又，所以，又，所以，又在平nln1mn1mn1mmmnm面外，故nm命题（3）：若，则，此命题正确证明：过直线作一平面，且与平mllmm面相交，脚线为，因为，所以因为，所以，又ammalala，所以malm【考点】空间中线面的位置关系数学试卷 第 15 页（共 22 页） 数学试卷 第 16 页（共 22 页）14 【答案】13015【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒共需（元） ，总价达到 120
17、 元，又60+80=140，即顾客少付 10 元，所以需要支付 130 元10x 设顾客买水果的总价为元，当时，顾客支付元，李明得到元，且a0120aa0.8a，显然符合题意，此时；当时，则恒成立，0.80.7aa0x 120a0.80.7axa即恒成立，又，所以，所以综上可知，1 8xamin1 8xa120amin1=158a15x，所以的最大值为 15015xx【考点】不等式问题，参数的取值范围三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15 【答案】解：（）由余弦定理，得2222cosbacacB222132 3()2bcc 因为，2bc所以2221(2)32 3()2ccc 解得5c 所
18、以7b （）由得1cos2B 3sin2B 由正弦定理得3 3sinsin14aABb在中，ABCBCA 所以3 3sin()sin14BCA【考点】利用正、余弦定理理解三角形16 【答案】解：（）设的公差为 nad因为，110a 所以23410,102 ,103ad ad ad 因为成等比数列，23410,8,6aaa所以2 3248106aaa所以2( 22 )( 43 )ddd 解得2d 所以1(1) 212naandn（）由（）知，212nan所以，当时，；当时，7n0na 6n0na 所以，的最小值为nS630S 【考点】等差数列的通项公式，前项和公式，等比数列的性质n17 【答案】
19、解：（）由题知，样本中仅使用A的学生有人，仅使用B的学生有27330人，24125 A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有人1003025540估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401000400100（）记事件为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于C数学试卷 第 17 页（共 22 页） 数学试卷 第 18 页（共 22 页） 2000元”，则1( )0.0425P C （）记事件为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000E元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000
20、元的人数没有变化，则由（II）知，( )=0.04P E答案示例1：可以认为有变化理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额( )P E 大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定E( )P E有没有变化【考点】样本估计总体等统计思想，古典概型的知识18 【答案】解：（）因为平面，PAABCD所以PABD又因为底面为菱形，ABCD所以BDAC所以平面BDPAC（）因为平面，平面，PAABCDAE ABCD所以PAAE因为底面为菱形，且为的
21、中点，ABCD60ABCECD所以AECD所以ABAE所以平面AEPAB所以平面平面PABPAE（）棱上存在点，使得平面PBFCFPAE取为的中点，取为的中点，连结，FPBGPACFFGEG则，且FGAB1 2FGAB因为底面菱形，且为的中点，ABCDECD所以，且CEAB1 2CEAB所以，且FGCEFGCE数学试卷 第 19 页（共 22 页） 数学试卷 第 20 页（共 22 页）所以四边形为平行四边形CEGF所以CFEG因为平面，平面，CF PAEEG PAE所以平面CFPAE【考点】线面垂直的判定定理，性质定理，面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理19 【答案】解：（I）由题意得，
22、21b 1c 所以2222abc所以椭圆的方程为C2 212xy（）设，1122P xyQ xy（，），（，）则直线的方程为AP1111yyxx令，得点的横坐标0y M111Mxxy 又，从而11ykxt11|1MxOMxkxt 同理，22| |1xONkxt 由得2 2,12ykxtxy222(12)4220kxktxt则，1224 12ktxxk 212222 12tx xk所以1212| | |11xxOMONkxtkxt 12 22 1212|(1)(1)x x k x xk txxt222 22 2222 12|224(1) ()(1)1212t k tktkk ttkk 12|1t
23、 t又，| | 2OMON所以12|21t t解得，所以直线 经过定点0t l0,0【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系20 【答案】解：（）由得321( )4f xxxx23( )214fxxx令，即，得或( )1fx2321 14xx 0x 8 3x 又，(0)0f88( )327f所以曲线的斜率为 1 的切线方程是与，( )yf xyx88 273yx数学试卷 第 21 页（共 22 页） 数学试卷 第 22 页（共 22 页） 即与yx64 27yx（）令( )( ), 2,4g xf xx x 由得321( )4g xxx23( )24g xxx令得或( )0g x 0x 8 3x 的情况如下：( ), ( )g x g xx2( 2,0)08(0, )38 38( ,4)34( )g x( )g x6A0A64 27A0所以的最小值为，最大值为 0( )g x6故，即6( )0g x 6( )xf xx （）由（）知，当时，；3a( )(0) | (0)|3MFgaaa 当时，；3a21( )( 2) |( 2)| 63ni iMFgaaaX当时，3a ( )3M a 综上，当最小时，( )M a3a 【考点】利用导数求曲线的切线方程，不等式的证明，与函数最值有关的问题