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1、1 2019 年普通高等 学校招生全 国统 一考试（全国 II 卷）文科数学1.设集合1-|xxA，2|xxB，则BA()A.),1(B.)2,(C.)2,1(D.2.设(2)zii，则z()A.12iB.12iC.12iD.12i3.已知向量(2,3)ra，(3,2)rb，则rrab（）A.2B.2C.5 2D.504.生物 实验 室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中 随 机取出3只，则恰有2只测量过该 指标的概率为（）A.23B.35C.25D.155.在“一 带一路”知识测验 后，甲、乙、丙三人对成绩进 行预测.甲：我的成 绩比乙高.2 乙：丙的成 绩比我和甲的都高
2、.丙：我的成 绩比乙高.成绩 公布后，三人成 绩 互不相同且只有一个人预测 正确，那 么三人按成 绩 由高到低的次序为（）A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6.设()f x为奇函 数，且 当0 x时，()1xf xe，则当0 x时，()f x（）A.1xeB.1xeC.1xeD.1xe7.设,为两个 平面，则/的充要 条件是()A.内有无 数条 直线与平行B.内 有两条 相交直 线与平行C.,平行于同一 条直线D.,垂直于同一平面8.若123,44xx是函 数()sin(0)f xx两个 相邻的极值 点，则=A2B.32C.1D.123 9.若抛物 线)0(22ppxy的焦点是
3、椭圆1322pypx的一 个焦点，则p（）A.2 B.3 C.4 D.8 10.曲线2sincosyxx在点(,1)处的切 线方程 为()A.10 xyB.2210 xyC.2210 xyD.10 xy11.已知(0,)2，2sin 2cos21，则sin（）A.15B.55C.33D.2 5512.设 F 为双 曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，0 为坐标原点，以OF为直径 的圆与圆222xya交于,P Q两点，若PQOF,则C的离心率 为:A.2B.3C.24 D.5二、填空题13.若变量,x y满 足约束条件23603020 xyxyy则3zxy的最大 值是.14.我国高
4、铁发 展迅速，技 术先进.经统计，在 经停某站的高 铁 列车中，有10个车 次的正点率为0.97，有20个车 次的正点率 为0.98，有10个车 次的正点率 为0.99，则经 停该站的高铁列 车所有 车次的平均正点率的估计值为.15.ABC的内 角,A B C的对边 分别为,a b c.已知sincos0bAaB，则B.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形 状多 为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官 员独 孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种 或两种 以上的正多 边形围成的多面体.半正多面体体 现 了数学 的对称 美.图 2 是一 个棱
5、数为 48 的半正多面体，它 的所有 顶点都在同一 个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该 半正多面体共有个面，其 棱长为.(本题第一空 2 分，第二空3 分.)三、解答 题17.如图，长方体1111ABCDA B C D的底面ABCD是正方形，点 E在 棱1AA上，1BEEC.（1）证明：BE平面11EB C（2）若1AEAE,3AB,求四 棱锥11EBB C C的体 积.5 18.已知na是各 项均为 正数的等比 数列，162,2231aaa.(1)求na的通 项公式：(2)设nnab2log，求 数列nb的前 n 项和.19.某行 业主管部 门为 了解本行 业 中小企 业的生 产
6、 情况，随机调查 了 100 个企业，得到 这些企 业第一季度相 对于前一年第一季度产值 增长率y的频数 分布表.y的分 组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数22453147（1）分 别 估计这类 企业中 产值 增长率不低于40%的企 业比例、产值负 增长的企 业 比例；（2）求 这类 企业产值 增长 率的平均 数与标 准差的估 计值（同一 组中的 数 据用 该组区间 的中点值为 代表）.（精确到 0.01）附：748.602.20.已知12,FF是椭圆C：22221(0,0)xyabab的两个 焦点，P为C上的点，O为 坐标原点.（1）若2P
7、OF为 等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得12PFPF，且12F PF的面 积等于16，求b的值和a的取 值 范围.21.已知函 数()(1)ln1f xxxx.证 明：（1）()f x存在唯一的 极值 点；（2）()0f x有且 仅有两个实 根，且 两个实 根互 为 倒数.6 四、选做题（2 选 1）22.在极坐 标系中，O为极 点，点00(,)M0(0)在曲 线:=4sinC上，直 线l过 点(4,0)A且与OM垂直，垂足 为P.（1）当03时，求0及l的极 坐标方程；（2）当M在C上运动 且P在 线段OM上 时，求P点轨 迹的 极坐标方程.23.选修 4-5：不等式 选讲
8、 已知()|2|()f xxa xxxa（1）当1a时，求不等式()0f x的解集：（2）若(,1)x时，()0f x，求a得取 值范围.2019 年普通高等 学校招生全 国统 一考 试（全 国 II 卷）文科 数学 答 案1.答案：C 解析：1-|xxA，2|xxB，）（2,1BA.2.答案：D 解析：因为(2)12ziii，所以1 2zi.3.答案：A 解答：由题 意知(1,1)rrab，所以2rrab.4.答案：B 解答：计测 量过的 3 只兔子为1、2、3，设测 量 过的2只兔子为A、B则 3 只 兔子的 种类 有(1,2,3)(1,2,)A(1,2,)B(1,3,)A(1,3,)B(
9、1,)A B2,3,2,3,2,3,ABA BA B,则恰好有 两只测量过 的有6种，所以其 概率为35.5.答案：A 解答：根据已知 逻辑关 系可知，甲的预测 正确，乙丙的 预测错误，从而可得 结果.6.答案：D 解答：当0 x时，0 x，()1xfxe，又()f x为奇函 数，有()()1xf xfxe.7.答案：B 解析:根据面面平行的判定定理易得答案.8.答案：A 解答：由题 意可知32442T即T=,所以=2.9.答案：D 解析：抛物 线)0(22ppxy的焦点是)0,2(p，椭圆1322pypx的焦点是)0,2(p，pp22，8p.10.答案：C 解析：因为2cossinyxx，所
10、以曲 线2sincosyxx在点(,1)处的切 线斜率 为2，故曲 线2sincosyxx在点(,1)处的切 线方程 为2210 xy.11.答案：B 解答：(0,)2，22sin 2cos214sincos2cos，则12sincostan2，所以212 5cos1tan5，所以25sin1cos5.12.答案：A 解析：设F点坐 标为)0,2c（，则以OF为直 径的圆的方程 为2222)2cycx（-，圆的方程222ayx-，则-，化 简得到cax2，代入式，求得caby，则设P点坐 标为),2cabca（，Q点坐 标为),2cabca（，故cabPQ2，又OFPQ,则,2ccab化 简
11、得到2222bacab，ba，故2222aaabaace.故选 A.二、填空题13.答案：9解答：根据不等式 组约 束 条件可知目 标函 数3zxy在3,0处 取得最大 值为9.14.答案：0.98解答：平均正点率的估计值0.97 100.98 200.99 100.9840.15.答案：34解析：根 据 正 弦 定 理 可 得sinsinsincos0BAAB,即sinsincos0ABB，显 然sin0A，所以sincos0BB，故34B.16.答案：26 21解析：由图 2 结合空 间想象即可得到该正多面体有26 个面；将该 半正多面体 补成正方体后，根据对称 性列方程求解.三、解答 题
12、17.答案：（1）看解析（2）看解析解答：（1）证明：因 为11B C C面11A B BA，BE面11A B BA11B CBE又1111C EB CC，BE平面11EB C；（2）设12AAa则229BEa，22118+aC E，22194C Ba因为22211=C BBEC E3a，1 1111h3EBB C CBB C CVS1363=18318.答案：（1）122nna；（2）2n解答：(1)已知162,2231aaa，故162121qaqa，求得4q或2q，又0q，故4q，则12111242nnnnqaa.(2)把na代入nb，求得12nbn，故 数列nb的前n项和为22)12(1
13、 nnn.19.答案：详见 解析解答:（1）这类 企业中产值 增长 率不低于 40%的企 业比例是14721100100，这类 企业中产值负 增长的企 业比例是2100.（2）这类 企业产值 增长率的平均 数是0.1020.10 240.30 530.50 140.70 71000.30这类 企业产值 增长 率的方差是222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296所以 这类 企业产值 增长率的 标准差是220.0296748.6020.172040.17100100.20.答案：详见 解析解答:（1）若2POF为 等
14、边三角形，则P的坐 标为3,22cc，代入方程22221xyab，可得22223144ccab，解得242 3e，所以31e.（2）由 题 意可得122PFPFauu uu ru uu ur，因 为12PFPF，所以222124PFPFcuu u ruuu u r，所以22121224PFPFPFPFcu uu ruu u u ru uu ru uu u r，所以222122444PFPFacbu uu ru uu u r，所以2122PFPFbuu u ruu u u r，所以122121162PF FSPFPFbuuu ruuu u r，解得4b.因为212124PFPFPFPFu uu
15、ru uu u ru uu ruuu u r，即21224aPFPFu uu ru uu u r，即212aPFPFu uu ruuu u r，所以232a，所以4 2a.21.答案：见解析解答：（1）1()ln(0)fxxxx，设1()lng xxx，211()0g xxx则()g x在(0,)上递增，(1)10g，11(2)ln2ln022ge，所以存在唯一0(1,2)x，使得00()()0fxg x，当00 xx时，0()()0g xg x，当0 xx时，0()()0g xg x，所以()f x在0(0,)x上递减，在0(,)x上递增，所以()f x存在唯一的 极值 点.（2）由（1）知
16、存在唯一0(1,2)x，使得0()0fx，即001ln xx，00000000011()(1)ln1(1)1()0f xxxxxxxxx，22221113()(1)(2)110feeee，2222()2(1)130f eeee，所以函 数()f x在0(0,)x上，0(,)x上分 别有一 个零点.设12()()0f xf x，(1)20f，则1021xxx，有1111111(1)ln10ln1xxxxxx，2222221(1)ln10ln1xxxxxx，设1()ln1xh xxx，当0,1x x时，恒有1()()0h xhx，则12()()0h xh x时，有121x x.22.答案：（1）0
17、2 3，l的 极坐标方程：sin()26；（2）P点轨迹的 极坐标方程 为=4cos(,)42.解析：（1）当03时，00=4sin4sin2 33，以O为 原点，极轴为x轴 建立直角坐标 系，在直角坐标 系中有(3,3)M，(4,0)A，3OMk，则直线l的斜率33k，由点斜式可得直线l：3(4)3yx，化成 极坐标 方程 为sin()26；（2）lOM2OPA，则P点的 轨迹为以OA为直径的圆，此 时圆 的直角坐 标 方程为22(2)4xy，化成 极坐 标方程 为=4cos，又P在线段OM上，由4sin4cos可得4，P点轨迹的 极坐 标方程 为=4cos(,)42.23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).xxxf xxxxxxxxxx所以不等式()0f x等价于224202xxx或22012xx或224201xxx解得不等式的解集 为2x x。（2）当1a时，由(,1)x，可知()2()(1)0fxaxx恒成立，当1a时根据条件可知()0fx不恒成立。所以a的取 值范围是1a。