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1、数学试卷 第 1 页（共 34 页） 数学试卷 第 2 页（共 34 页） 绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 I参考公式：柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.hVSh球的体积,其中是球的半径.34 3RVR一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.1.已知集合,.若,则实数的值为_. 1,2A2,3Ba aAB=1a2.已知复数,其中 是虚数单位,则的模是_.(1)(12 )ziiiz3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200,400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产
2、品中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_件.4.右图是一个算法流程图.若输入的值为,则输出的值是_.x1 16y（第 4 题）5.若,则=_.1tan()46tan6.如图,在圆柱内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱12OO的体积为,球 O 的体积为,则的值是_.12OO1V2V12V V（第 6 题）7.记函数的定义域为.在区间上随机取一个数 x,则的2( )6f xxxD 4,5xD概率是_.毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 34 页） 数学试卷 第 4 页（共 34 页）8.在平面直
3、角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点xOy2 213xy,其焦点是,则四边形的面积是_.PQ1F2F12FPF Q9.等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则 nannS36763 44SS，_.8a 10.某公司一年购买某种货物 600 吨,每次购买吨,运费为 6 万元/次,一年的总存储费用x为万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则的值是_.4xx11.已知函数,其中是自然对数的底数.若,31( )2x xf xxxeee2(1)(2)0f afa则实数的取值范围是_.a12.如图,在同一个平面内,向量,的模分别为 1,1,与的夹角为,且,OA OB OC2OA
4、OC tan7与的夹角为 45.若（）,则 6_.OB OC=mOCOAnOB m,nRmn（第 12 题）13.在平面直角坐标系中,点在圆：上.若xOy(12,0)A0,6B （）PO2250xyPA ,则点的横坐标的取值范围是_.PB 20P14.设是定义在上且周期为 1 的函数,在区间上,其中集合f x（）R0,1 2,xxDf xx xD,则方程的解的个数是_.1,nDx xnNn( )lg0f xx二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 14 分）如图,在三棱锥中,点、ABCDABADBCBDABDBCD平面平面E
5、（与,不重合）分别在棱,上,且.FEADADBDEFAD求证：（1）；EFABC平面（2）.ADAC（第 15 题）16.（本小题满分 14 分）数学试卷 第 5 页（共 34 页） 数学试卷 第 6 页（共 34 页） 已知向量,.(cos ,sin )xxa330x，b（1）若,求的值；abx（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值. f x a b( )f xx17.（本小题满分 14 分）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为xOy:102222xy+= (ab)abE,离心率为,两准线之间的距离为 8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点1F2F1 2PE作直线的垂线,过点作
6、直线的垂线.1F1PF1l2F2PF2l（1）求椭圆的标准方程；E（2）若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标.1l2lQEP（第 17 题）18.（本小题满分 16 分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32 ,cm容器的底面对角线的长为,容器的两底面对角线,的长分AC10 7cmEG11E G别为 14 和 62 .分别在容器和容器中注入水,水深均为 12 .现有一根cmcmcm玻璃棒 ,其长度为 40 .（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）lcm（1）将 放在容器中, 的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求 没入水中llA1CCl部分的长度；（2）将 放在容器中,
7、的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求 没入水中llE1GGl部分的长度.-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 7 页（共 34 页） 数学试卷 第 8 页（共 34 页）（第 18 题）19.（本小题满分 16 分）对于给定的正整数,若数列满足k na对任意正整数总1111.2=2n kn knnn kn knnaaaaaakaka nnk（）成立,则称数列是“数列”. nap k（）（1）证明：等差数列是“数列” ；p （3）（2）若数列既是“数列”,又是“数列”,证明：是等差数列. nap （2）p （3） na毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 9 页（共 3
8、4 页） 数学试卷 第 10 页（共 34 页） 20.（本小题满分 16 分）已知函数有极值,且导函数的极值点是32( )1(0b)f xxaxbxaR，( )fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）( )f x（1）求关于的函数关系式,并写出定义域；ba（2）证明：；2b3a（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围.( )f x( )fx7 2a数学试卷 第 11 页（共 34 页） 数学试卷 第 12 页（共 34 页）数学 II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明
9、、证明过程或演算步骤.A.选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图,为半圆的直径,直线切半圆于点,为垂足.ABOPCOCAPPCP求证：（1）；PACCAB （2）.2ACAP ABA（第 21-A 题）B.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵 A=,B=.01 1010 02（1）求；AB（2）若曲线：在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方1C22y=182xAB2C2C程.C.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中,已知直线 的参数方程为（ 为参数）,曲线xOyl82xtty t的参数方程为（为参数）.设为曲线上的动点
10、,求点到直线 的C222 2xsys sPCPl距离的最小值.数学试卷 第 13 页（共 34 页） 数学试卷 第 14 页（共 34 页） D.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知为实数,且,证明：.abcd，224ab2216cd8acbd【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分 10 分）如图,在平行六面体中,且,1111ABCDABC D1AAABCD 平面2ABAD,.13AA 120BAD（1）求异面直线与所成角的余弦值；1AB1AC（2）求二面角的正弦值。1BADA(第 22
11、 题)23.（本小题满分 10 分）已知一个口袋有个白球,个黑球（,）,这些球除颜色外完全相同.mn2,m nN2n 现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为 1,2,3,的抽屉内,mn其中第次取出的球放入编号为的抽屉（）.kk1,2,3kmn， ，（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率；P（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学xE x（）x期望,证明.x)(1)nEmn n（）（毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 15 页（共 34 页） 数学试卷 第 16 页（共 34 页）2017 年普通
12、高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学答案解析第卷一、填空题。1 【答案】1【解析】因为，所以由得，即实数的值为 1.233a 1AB1a a2 【答案】10【解析】通解：复数，则.1221 3ziii 22+3 = 10z （-1）优解：.z1122510iiA3 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取（件）.30060=18200+400+300+1004 【答案】2【解析】由流程图可得所以当输入的值为时，220, 2log01,xxyxx， ，1 16.212log24216y 5 【答案】7 5【解析】.11tantan7644tantan14451tantan1446 （） （
13、） （）6 【答案】3 2【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为、高为，所以.Orr2r2 13223 42 3Vrr VrA7 【答案】5 9【解析】由，解得，则，则所求概率为.26+0xx23x 2 3D ，325=549 （） （）8 【答案】2 3【解析】由题意得，双曲线的右准线与两条渐近线的交点坐标为3 2x 3 3yx ，不妨碍双曲线的左，右焦点分别为，,则，33 22（，）1F2F1F （-2，0）22,0F （）故四边形的面积是.12FPF Q1211432 322FFPQ A9 【答案】32数学试卷 第 17 页（共 34 页） 数学试卷 第 18 页（共 34 页） 【解
14、析】设等比数列的公比为，则得，则， naq632SS1q 3 1 317=14aqSq（），解得，则.6 1 6163=14aqSq（）11=24qa ，77 8112324aa q10 【答案】30【解析】一年购买次，则总运费与总存储费用之和为600 x，当仅当时取等号，故总运费与6009009006448240xxxxxx A（）30x 总存储费用之和最小时的值是 30.x11 【答案】1 1, 2 ，【解析】由，得，所以312x xf xxxee（）=311x2xxfxxf xee （- ）=-（）是上的奇函数，又，f x（）R22211=3232230xx xxfxxexexeeA（）
15、当且仅当时取等号，所以在其定义域内单调递增，所以不等式x0f x（），解得22221 +2012=212f afaf afafaaa （）（）（）（）（），故实数的取值范围是.112a a1 12 ，12 【答案】3【解析】通解：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则.由OOAx1,0A （），得，设，tan702 （，）7sin5 21cos5 2c,cC xy（），则，,BBxyB（）c11cos255 2xOC，即.又c77sin255 2yOC1 7 5 5C （，），11713cos+45 =55 225 22（），则，71714sin+45 =55 225 22（）3co
16、s+45 =5BxOB （），即，由，可得4sin+45 =5ByOB （）3 4 5 5B （，）=OC mOAnOB 解得所以.13=55 74 55mnn ，5 4 7 4mn ，57344mn优解：由，得，则tan702，（，）7sin5 21cos5 2.，11713cos+45 =55 225 22（）21212OB OC A，由，得111255 2OA OC A331 1=55OA OB A（-）-=OC mOAnOB ，即，同理可得2+OC OAmOAnOB OA AA13=55mn，即，联立，解得所以2OC OBmOA OBnOB AA315mn 5 4 7 4mn ，.57
17、344mn13 【答案】 5 21，【解析】设，又P xy（，）12x6=12 +620PA PByxyx xy y AA（，）（，）（）（），所以，所以点在直线的上方（包括直线2250xy250xyP250xy上） ，又点在圆上，由解得或，结合图象P2250xy222550yxxy 5x 1x （图略） ，可得，故点的横坐标的取值范围是.5 21xP 5 21，14 【答案】8数学试卷 第 19 页（共 34 页） 数学试卷 第 20 页（共 34 页）【解析】由于，因此只需要考虑的情况，在此范围内，且0,1f x （）110xxQ时，设且互质，若，则由xZ2qxqpNpp，pq，lg xQ
18、，可设且互质，因此，则lg x （0, 1）lg =2nxmnNmm，mn，10n mq p，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，故不可能与10 =nmq p（）lg xQlg x每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期内部分的交点.画xDlg xxD出函数草图（如图） ，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期1,0（）的部分，且处，则在附近仅有一个交点，xD1x 11lg=1ln10ln10xx（）1x 因此方程的解的个数为 8.f x（）-l gx=0二解答题。15 【答案】证明：（1）在平面内，因为，所以.ABDABADEFADEFAB又因为平面，平面，所以EF AB
19、CAB ABC.EFABC平面（2）因为，ABDBCD平面平面，=ABDBCD BD平面平面，BCBCD 平面BCBD所以.BC ABD平面因为平面，所以.AD ABDBC AD又，平面，平面，ABADBCABBAB ABCBC ABC所以，ADABC 平面又因为，ACABC 平面所以.ADAC16 【答案】 （1）5 6x （2）2 3【解析】 （1）因为，co()s ,sinxxa(3,3)bab所以.3cos3sinxx若，则，与矛盾，故.cos0x sin0x 22sincos1xxcos0x 于是.3tan3x 又，所以.0x，5 6x （2）.(cos ,sin ) (3,3)3c
20、os3sin2 3cos( )6f xxxxxxa b因为，所以，0x， 7,666x从而.31cos()62x 数学试卷 第 21 页（共 34 页） 数学试卷 第 22 页（共 34 页） 于是，当，即时，取到最大值 3； 66x0x f x（）当，即时，取到最小值. 6x 5 6x f x（）2 317 【答案】 （1）22 143xy（2）4 7 3 7(,)77【解析】 （1）设椭圆的半焦距为.c因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为 8，所以，E1 21 2c a228a c解得，于是，2,1ac223bac因此椭圆的标准方程是.E22 143xy（2）由（1）知，.1( 1,0)
21、F 2(1,0)F设，因为点为第一象限的点，故.00(,)P xyP000,0xy当时，与相交于，与题设不符.01x 2l1l1F当时，直线的斜率为，直线的斜率为.01x 1PF001y x 2PF001y x 因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，11lPF22lPF1l001x y2l001x y从而直线的方程：，1l001(1)xyxy 直线的方程：.2l001(1)xyxy 由，解得，所以.2 0 0 01,xxxyy 2 0 0 01(,)xQxy因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.Q2 0 0 01xyy 22 001xy22 001xy又在椭圆上，故.PE22 00143xy由，
22、解得；，无解.22 0022 001143xyxy004 73 7,77xy22 0022 001143xyxy因此点的坐标为.P4 7 3 7(,)7718 【答案】 （1）16cm（2）20cm【解析】 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面1CCABCD11A ACC，.ABCD1CCAC记玻璃棒的另一端落在上点处.1CCM因为，10 7,40ACAM数学试卷 第 23 页（共 34 页） 数学试卷 第 24 页（共 34 页）所以，从而，2240(10 7)30MC 3sin4MAC 记与水面的焦点为,过作，为垂足，AM1P1P11PQAC1Q则，故，11PQABCD 平面11=12
23、PQ从而.11 116sinAPMPQ AC答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16.lcm（如果将没入水中部分冶理解为水面以上部分冶，则结果为 24）cm（2）如图，是正棱台的两底面中心.1OO，由正棱台的定义，所以，1OOEFGH 平面11E EGGEFGH平面平面.1OOEG同理，.111111E EGGE FG H平面平面111OOE G记玻璃棒的另一端落在上点处.1GGN过作，为垂足，则.G1GKE GK132GKOO因为，14EG 1162EG 所以，从而.162 14242KG2222 11243240GGKGGK设则.1,EGGENG114sinsin()cos25KGGKGG因
24、为，所以.2 3cos5 在中，由正弦定理可得，解得.ENG4014 sinsin7sin25因为，所以.0224cos25于是.42473sinsin()sin()sinco3scossin()5252555NEG 记与水面的交点为，过作，为垂足，则EN2P2P22PQEG2Q，故，从而.22PQEFGH 平面2212PQ 22 220sinEPNPQ EG答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 20.lcm（如果将没入水中部分冶理解为水面以上部分冶，则结果为 20）cm数学试卷 第 25 页（共 34 页） 数学试卷 第 26 页（共 34 页） 19 【答案】证明:（1）因为是等差数列，设其公
25、差为，则 nad，1(1)naand从而，当时，4n n kn kaaa11(1)(1)nkdankd，122(1)2nanda1,2,3,k 所以，nnnnnnnaaaaaaa321123+6因此等差数列是“数列”. na 3P（2）数列既是“数列” ，又是“数列” ，因此， na P 2 3P当时，3n nnnnnaaaaa21124当时，.4n nnnnnnnaaaaaaa3211236由知，nnnaaa32141()nnaa，nnnaaa23141()nnaa将代入，得，其中，nnnaaa1124n 所以是等差数列，设其公差为.345,a a a d在中，取，则，所以，4n 23564
26、4aaaaa23aad在中，取，则，所以，3n 124534aaaaa122aad所以数列是等差数列.na20 【答案】 （1）由，得32( )1f xxaxbx.2 22( )323()33aafxxaxbxb当时，有极小值.3ax ( )f x23ab因为的极值点是的零点.( )f x( )f x所以，又，故.33 ()1032793aaaabf 0a 223 9aba因为有极值，故有实根，从而，即.( )f x( )=0f x2 31(27a )039aba3a 时，故在 R 上是增函数，没有极值；3a ( )0(1)f xx ( )f x( )f x时，有两个相异的实根，.3a ( )
27、=0f x213=3aabx 223=3aabx 列表如下x1(,)x1x12( ,)x x2x2(,)x ( )f x+00+数学试卷 第 27 页（共 34 页） 数学试卷 第 28 页（共 34 页）( )f xA极大值A极小值A故的极值点是.( )f x12,x x从而，3a 因此，定义域为.223 9aba(3,)（2）由（1）知，.23=9ba a aa a设，则.23( )=9tg tt22223227( )=99tg ttt当时，从而在上单调递增.3 6(,)2t( )0g t( )g t3 6(,)2因为，所以，故，即.3a 3 3a a () (3 3)= 3g a ag
28、3b a因此.23ba（3）由（1）知，的极值点是，且，( )f x12,x x122 3xxa .2 22 1246 9abxx从而3232 12111222()()11f xf xxaxbxxaxbx 222212 1122121212(32)(32)()()23333xxxaxbxaxba xxb xx346420279aabab记，所有极值之和为，( )f x( )f x( )h a因为的极值为，所以，.( )f x2 213 39abaa 213( )=9h aaa3a 因为，于是在上单调递减.223( )=09h aaa( )h a(3,)因为，于是，故.7(6)=2h( )(6)
29、h ah6a 因此的取值范围为.a(3 6，第卷21选做题。A 【答案】证明：（1）因为切半圆于点，PCOC所以，PCACBA因为为半圆的直径，ABO所以,90ACB 因为，所以，APPC90APC 所以.PACCAB 数学试卷 第 29 页（共 34 页） 数学试卷 第 30 页（共 34 页） （2）由（1）知，故，APCACBAPAC ACAB所以.2ACAP ABB 【答案】 （1）因为，0110A1002B所以=.0110AB10 02 02 10 （2）设为曲线上的任意一点，00(,)Q xy1C它在矩阵对应的变换作用下变为,AB( , )P x y则，即，所以.000210xxy
30、y 002yxxy 002xyxy因为在曲线上，所以，00(,)Q xy1C22 00188xy从而，即.22 188xy228xy因此曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线.1CAB2C ：228xyC 【答案】直线 的普通方程为.l280xy因为点在曲线上，设，PC2(2,2 2 )Pss从而点到直线 的的距离，Pl2222|24 28|2(2)4 5( 1)( 2)sssd 当时，.2s min4 5 5d因此当点的坐标为时，曲线上点到直线 的距离取到最小值.P(4,4)CPl4 5 5D 【答案】证明：由柯西不等式可得：，22222()()()acbdabcd因为22224,16,abcd
31、所以，2()64acbd因此.8acbd22 【答案】解：在平面内，过点作，交于点.ABCDAAEADBCE因为，1AAABCD 平面所以，.1AAAE1AAAD如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系.1,AE AD AA Axyz因为，.2ABAD13AA 120BAD数学试卷 第 31 页（共 34 页） 数学试卷 第 32 页（共 34 页）则.11(0,0,0), ( 3, 1,0),(0,2,0),( 3,0,0),(0,0, 3),( 3,1, 3)ABDEAC(1) ，11( 3, 1,3),( 3,1, 3)ABAC 则.11 11 11( 3, 1,3) ( 3,1, 3)1
32、cos,77|AB ACAB ACABAC 因此异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为.1 7（2）平面的一个法向量为.1ADA( 3,0,0)AE 设为平面的一个法向量，( , , )x y zm1BAD又，1( 3, 1,3),(3,3,0)ABBD 则即10,0,ABBD mm330,330.xyzxy不妨取 x=3，则，3,2yz所以为平面的一个法向量，(3, 3,2)m1BAD从而,( 3,0,0) (3, 3,2)3cos,4|34AEAEAE mmm设二面角的大小为，则.1BADA3|cos|4因为，所以.0, 27sin1 cos4因此二面角的正弦值为.1BADA7 42
33、3 【答案】解：（1）编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率为：p.1 1CCn m n n m nnpmn （2）随机变量的概率分布为：X1 1n1 2n1 mn1 1C Cn n n m n 1C Cn n n m n1 1C Cn n n m n 1 1C Cn k n m n 1 1C Cn n m n m n 随机变量的期望为：X.1 1C111(1)!()CC(1)!()!nm nm n k nn k nk nm nm nkE Xkknkn 所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m nm nnn k nk nm nm nkkE Xnknnnkn222 121(1CCC)(1)Cnnn nnm nn m nn 数学试卷 第 33 页（共 34 页） 数学试卷 第 34 页（共 34 页） 1222 1121(CCCC)(1)Cnnnn nnnm nn m nn 122 21(CCC)(1)Cnnn nnm nn m nn 12 221(CC)(1)Cnn m nm nn m nn 1 1C (1)C()(1)n m n n m nn nmn n .()()(1)nE Xmn n