2017年高考理科数学北京卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 24 页） 数学试卷 第 2 页（共 24 页） 绝密启用前北京市 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第一部分(选择题 共 40 分)一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合,则( )21 |Axx1 |3Bx xx或AB A.B.2|1xx3|2xxC.D.1|1xx3|1xx2.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a 的取值范围是( )(1 i)(i)aA.(,1)B.(,1)C.(1,+)D.(1,+)3.执行如图所示的

2、程序框图,输出的 s 值为A.2B.3 2C.5 3D.8 54.若 x,y 满足32xxyyx ，则 x + 2y 的最大值为( )A.1B.3C.5D.95.已知函数,则( )1(x)3( )3xxf( )f xA.是奇函数,且在 R 上是增函数B.是偶函数,且在 R 上是增函数C.是奇函数,且在 R 上是减函数C.是偶函数,且在 R 上是减函数6.设为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( ),m nmn0m n AA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 24 页） 数学试卷 第 4

3、页（共 24 页）C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为A.B.3 22 3C.D.22 28.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与最接近的( )M N(参考数据：)30.48lg A.1033B.1053 C.1073D.1093第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9.若双曲线的离心率为,则实数= .2 21yxm3m10.若等差数列和等比数列满足,则 .na nb111ab448ab22a

4、 b11.在极坐标系中,点 A 在圆上,点 P 的坐标为(1,0),则22 cos4 sin40|AP|的最小值为 .12.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.xOyOxy若,则 .1sin3cos()13.能够说明“设是任意实数.若,则”是假命题的一组整数的, ,a b cabcabc 值依次为 ., ,a b c14.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 Ai的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 Bi的横、纵坐标分别为第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数,.1,2,3i 记 Qi为第 i 名工人在这一天中加工

5、的零件总数,则 Q1,Q2,Q3中最大的是 .记 pi为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则中最大的是 .123,p pp数学试卷 第 5 页（共 24 页） 数学试卷 第 6 页（共 24 页） 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题 13 分)在ABC 中,.60A 3 7ca(1)求的值；sinC(2)若,求ABC 的面积.7a 16.(本小题 14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD平面 ABCD,点 M 在线段PB 上,PD平面 MAC,.6PAPD4AB (1)求证：M 为

6、PB 的中点；(2)求二面角 BPDA 的大小；(3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.-在-此-卷-上-答-题-无-效- - 毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 24 页） 数学试卷 第 8 页（共 24 页）17.(本小题 13 分)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50 名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人,求此人指标 y 的值小于 60 的概率；(2)从图中 A,B,C,D

7、四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求的分布列和数学期望；( )E(3)试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小. (只需写出结论)数学试卷 第 9 页（共 24 页） 数学试卷 第 10 页（共 24 页） 18.(本小题 14 分)已知抛物线过点.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点22Cypx：1(1 )P ,(10, )2 M,N,过点M作轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.x(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点.19.(本小题 13

8、分)已知函数.( )cosxf xexx(1)求曲线在点处的切线方程；(x)yf(0,(0)f(2)求函数在区间上的最大值和最小值.( )f x0, 2数学试卷 第 11 页（共 24 页） 数学试卷 第 12 页（共 24 页）20.(本小题 13 分)设和是两个等差数列,记 na nb1122max,nnncba n ba nba n,其中表示这 s 个数中最大的数.(n1,2,3)12max,nx xx12,sx xx(1)若,求的值,并证明是等差数列；nan21nbn123,c c c nc(2)证明：或者对任意正数M,存在正整数 m,当时,；或者存在正整数nmncMn,使得是等差数列

9、.m12,mmmccc2017 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学答案解析第一部分一、选择题1 【答案】A【解析】由集合交集的定义可得，故选 A.=| 21ABxx 【考点】集合的交运算2 【答案】B【解析】因为，所以它在复平面内对应的点为(1 i)(i)1(1)izaaa ，又此点在第二象限，所以解得，故选 B(1,1)aa1010aa ，1a 【考点】复数的乘法及几何意义3 【答案】C【解析】运行该程序，0,1,3;ksk1 10 11,2,3;1ksk 2 131 12,3;22ksk .3152123,333 2ksk 输出的 s 值为.故选 C5 3数学试卷 第 13 页（

10、共 24 页） 数学试卷 第 14 页（共 24 页） 【考点】程序框图4 【答案】D【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以点为顶点的三角形及其内部.(1,1),33 ,31ABC（，）（，）当直线： 经过点 B 时， 取得最大值，所以，故选 D.2zxy2xymax32 39z 【考点】二元一次不等式组所表示的平面区域、困解法求最值5 【答案】A【解析】因为，且定义域为，所以1( )3( )3xxf x R，即函数是奇函数.又111()3( )=( )33( ) ( )333xxxxxxfxf x ( )f x在上是增函数，在上是减函数，所以在上是3xy R1( )3xy

11、R1( )3( )3xxf x R增函数.故选 A.【考点】函数的奇偶性与单调性6 【答案】A【解析】因为 m，n 是非零向量，所以的充要条件是cos,0m nm nm nAA.因为，则由可知 m，n 的方向相反，所以cos,0m n 0mn,180m n ，所以“存在负数，使得”cos,0m n mn可推得“ ” ；而由“” ，可推得“” ，但不一定推得“m，n0m n A0m n Acos,0m n 的方向相反” ，从而不一定推得“存在负数，使得”.综上所述， “存在负数mn，使得”是“”的充分而不必要条件，故选 A.mn0m n A【考点】充分必要条件与平面向量7 【答案】B【解析】由三

12、视图还原为如图所示的四棱锥 A-BCC1B1，从图中易得最长的棱为，故选：B.22222 11(22 )22 3ACACCC【考点】几何体的三视图8 【答案】D【解析】因为，所以，则，361lg3361 lg3361 0.4817317310M 173 93 80101010M N数学试卷 第 15 页（共 24 页） 数学试卷 第 16 页（共 24 页）故选 D【考点】指数与对数的运算第二部分二填空题9 【答案】2【解析】由双曲线的标准方程可知，所以， ，所以21a 2bm1a 1cm，解得.131m2m 【考点】考查双曲线的标准方程与离心率.10 【答案】1【解析】设等差数列的公差为 d

13、，等比数列的公比为 q，则，解 na nb41 38ad 得，解得.所以，所以3 43;18dbq A2q 221 32,1 ( 2)2ab .221a b【考点】等差数列与等比数列的通项公式11 【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，即222440xxyy，圆心为（1，2） ，半径.因为点 到圆心的距离22121xy（）（）1r 10P （，），所以点 P 在圆外，所以的最小值为221 10221d （）（）AP.2 11dr 【考点】圆的极坐标方程，点与圆的位置关系12 【答案】7 9【解析】解法一 因为角 与角 的终边关于 y 轴对称，所以，2kkZ所以.2217cos(

14、)cos(22 )cos2(1 2sin)1 2 ( )39k 解法二 因为 ，所以角 为第一象限角或第二象限角，当角为第一象限1sin=03角时，可取其终边上一点 ，则 ，又关于 轴对称的2 2,12 2cos32 2,1y点在角 的终边上，所以 此时2 2,112 2sin,cos,33 .当角 为2 22 2117coscoscossinsin33339 第二象限时，可取其终边上一点，则 ，因为关于2 2,12 2cos3 2 2,1轴对称的点在角 的终边上，所以 ，此时y2 2,112 2sin,cos33.综上可得，2 22 2117coscoscossinsin33339 .7co

15、s9 【考点】三角函数的概念、两角差的三角函数公式13 【答案】（答案不唯一）1, 2, 3 【解析】因为“设是任意实数.若，则”是假命题，则它的否定, ,a b cabcabc“设存在实数.若，则”是真命题.由于，所以, ,a b cabcabc abc，又，所以.因此依次可取整数，满足2abcabc 0c , ,a b c1, 2, 3 .abc 数学试卷 第 17 页（共 24 页） 数学试卷 第 18 页（共 24 页） 【考点】全称命题的真假与不等式的性质14 【答案】1Q2P【解析】为与的纵坐标之和，作图可得中点的纵坐标比iQiAiB12 3i ，11AB中点的纵坐标大，所以中最大

16、的是.2233,A B A B123Q QQ,1Q,分别作关于原点的对称点(1,2,3)ii i iiABpiAB的纵坐标的纵坐标 的横坐标的横坐标123,B B B，比较直线的斜率，可得直线的斜率最大，所以123,BBB 112233,AB A BA B 22A B中最大的是.123,p pp2p【考点】散点图三、解答题15.【答案】 （1）在ABC 中，因为A=60，所以由正弦定理得3 7ca.sin333 3sinC7214cA a（2）因为，所以.7a 3737c 由余弦定理得，解得或（舍）2222cosabcbcA222173232bb 8b 5b .所以ABC 的面积.113sin

17、A8 36 3222Sbc 【考点】正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式16.【答案】 （1）如图，设 AC，BD 的交点为 E，连接 ME.因为 PD平面 MAC，平面 MAC平面 PDB=ME，所以 PDME.因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点.所以 M 为 PB 的中点.（2）取 AD 的中点 O，连接 OP，OE.因为 PA=PD，所以 OPAD.又因为平面 PAD平面 ABCD，且 OP平面 PAD，所以 OP平面 ABCD.因为 OE平面 ABCD，所以 OPOE.因为 ABCD 是正方形，所以 OEAD.如图建立空间直角坐标系 O-xyz，则，0 02P （，

18、）2 0 0D （，）2 4 0B （，）.44.0 ,(2,0,- 2)BDPD （，）设平面 BDP 的法向量为，则( , , )nx y z0,0,n BDn PD A A即440,220.xyxz令，则1x 1,2.yz于是.(1,1, 2)n 数学试卷 第 19 页（共 24 页） 数学试卷 第 20 页（共 24 页）平面 PAD 的法向量为.(0,1,0)p 所以.1cos,2n pn pn p由题知二面角 B-PD-A 为锐角，所以它的大小为.3（3）由题意知.22( 1,2,),(2,4,0),(3,2,)22MCMC 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 ，则.2 6si

19、ncos,=9n MC n MC n MC A 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为.2 6 9【考点】空间中直线、平面的位置关系以及二面角、线面角17.【答案】 （1）由图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人，所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为.150.350（2）由图知，A，B，C，D 四人中，指标的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.x所以的所有可能取值为 0，1，2.2112 2222 222 444121(0), (1), (2)636CC CCPPPCCC所以的分布列为故的期望.121

20、( )0121636E （3）在这 100 名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.yy【考点】散点图，随机事件的概率，随机变量的分布列、数学期望18.【答案】 （1）由抛物线过点，得.2:2C ypx11P （，）1 2p 所以抛物线 C 的方程为.2yx抛物线 C 的焦点坐标为，准线方程为.1( ,0)41 4x （2）由题意，设直线 的方程为， 与抛物线 C 的交点为l1(0)2ykxkl.1122( ,),(,)M x yN xy由得.21,2ykxyx 224(44)10k xkx 则.12122211,4kxxx xkk因为点 P 的坐标为（1，1） ，所以直线

21、OP 的方程为，点 A 的坐标为.yx12( ,)x x直线 ON 的方程为，点 B 的坐标为.22yyxx21 1 2(x ,)y x x因为21122112 11 2222y xy xy xx xyxxx数学试卷 第 21 页（共 24 页） 数学试卷 第 22 页（共 24 页） 12211221221222211(k)()2221(22)()211(2k 2)420,xxkxxx xxkx xxxxk kk x 所以.21 11 22y xyxx故 A 为线段 BM 的中点。【考点】抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系19.【答案】 （1）因为，所以，.( )cosxf xexx(

22、 )(cossin ) 1xfxexx(0)0f又因为，所以曲线在点处的切线方程为.(0)1f( )yf x(0,(0)f1y （2）设，则( )(cossin ) 1xh xexx.( )(cossinsincos )2sinxxh xexxxxex 当时，(0, )2x( )0h x 所以在区间上单调递减.( )h x0,2 所以对任意有 ，即 .(0, 2x 00h xh 0fx所以函数在区间上单调递减. f x0,2 因此在区间上的最大值为，最小值为. f x0,2 (0)1f( )22f 【考点】函数、导数的几何意义以及导数在求解最值中的应用20.【答案】 （1） 111211223

23、1122331 10,max2 ,2max 1 2 1,32 21,max3 ,3,b3max1 3 1,33 2,53 32.cbacba bacba baa 当时，3n1111()()()()20,kkkkkkkkbnabnabbn aan所以关于单调递减.kkbnak +N所以.112211max,1nnncba n ba nba nba nn 所以对任意，于是,1,1nncn 11nncc 所以是等差数列.nc（2）设数列和的公差分别为，则 na nb12,d d12111121(1)(1)()(1).kkbnabkdakd nba ndndk所以1121211121(1)(),.nb

24、a nndnddndcba ndnd当时当时当时，10d 取正整数,则当时，因此.21dmdnm12ndd11ncba n此时，是等差数列.12,c,mmmcc数学试卷 第 23 页（共 24 页） 数学试卷 第 24 页（共 24 页）当时，对任意，10d 1n1121121(n 1)max,0(n 1)(max,0a ).ncba ndbad此时，是等差数列.123,nc c cc当时，10d 当时，有.21dnd12ndd所以112112 1112111212(1)(dnd )( d )d( d )d.ncba nn nn bdnadn nadbd对任意正数 M，取正整数,12112211max,Mbdadddmdd故当时，.nmncMn【考点】新定义数列、等差数列的定义及通项公式、不等式