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1、1,数据分布的特征和测度,洪金益中南大学地学院,地质数据处理基础4,2,第四章 数据分布特征的测度,1 集中趋势的测度 2 离散程度的测度3 偏态与峰度的测度,3,1.集中趋势各测度值的计算方法2.集中趋势不同测度值的特点和应用场合3.离散程度各测度值的计算方法4.离散程度不同测度值的特点和应用场合偏态与峰度测度方法,4,数据分布的特征,5,数据分布的特征和测度,6,第一节 集中趋势的测度,一. 定类数据：众数二. 定序数据：中位数和分位数三. 定距和定比数据：均值四. 众数、中位数和均值的比较,7,集中趋势(Central tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度；测度集中趋势
2、就是寻找数据一般水平的代表值或中心值；不同类型的数据用不同的集中趋势测度值；低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据；选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定；,8,众数(概念要点),集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据,9,众数(众数的不唯一性),无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42,10,定类数
3、据的众数,实例：为了解勘查区中分布的主要岩石类型，对勘查区中的某个河流地段的转石进行分类计数，结果如表，试计算众数。,这里的变量为“岩石类型”，这是个定类变量，不同类型的岩石就是变量值。在所调查的200块岩石当中，花岗岩的块数最多，占总数的56%，因此众数为“花岗岩”这一类别，即 Mo花岗岩,11,定序数据的众数,岩体中裂隙走向的统计数据，计算众数：,这里的数据为定序数据。变量为“裂隙走向”。岩体中NNE的裂隙条数最多，为108条，因此众数为“NNE”这一类别，即 MoNNE,12,数值型分组数据的众数(要点及计算公式),1. 众数的值与相邻两组频数的分布有关,4. 该公式假定众数组的频数在众
4、数组内均匀分布,2. 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,3. 相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,13,数值型分组数据的众数,14,定序数据：中位数和分位数,15,中位数(概念要点),集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,16,中位数(位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,17,未分组数据的中位数(计算公式),18,定序数据的中位数(算例),中位数的位置为： 300/2150从累计频数看，中位数的在“NEE”这一组别中。因此 MeNEE,19,
5、数值型未分组数据的中位数 (5个数据的算例),原始数据: 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5,中位数 22,20,数值型未分组数据的中位数 (6个数据的算例),原始数据: 10 5 9 12 6 8排 序: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6,21,根据位置公式确定中位数所在的组采用下列近似公式计算：,4. 该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布,数值型分组数据的中位数(要点及计算公式),22,数值型分组数据的中位数,23,四分位数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于25%和75%位置上的值,
6、3. 不受极端值的影响4. 主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,24,四分位数(位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,25,定序数据的四分位数(算例),前述矿物单体粒度的四分位数,下四分位数(QL)的位置为： QL位置(300)/475 上四分位数(QL)的位置为： QU位置(3300)/4225从累计频数看， QL在“B”这一组别中； QU在“C”这一组别中。因此 QL B QU C,26,数值型未分组数据的四分位数 (7个数据的算例),原始数据: 23 21 30 32 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30 32位 置: 1 2 3 4
7、5 6 7,N+1,QL= 23,QU = 30,27,数值型未分组数据的四分位数 (6个数据的算例),原始数据: 23 21 30 28 25 26排 序: 21 23 25 26 28 30位 置: 1 2 3 4 5 6,QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5,QU = 28+0.25(30-28) = 28.5,28,数值型分组数据的四分位数(计算公式),上四分位数:,下四分位数:,29,数值型分组数据的四分位数(计算示例),QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,前述岩体50个样品某元素分析数据，计算样品的四分位数,30,定距和定比数据：均值,31,均值(
8、概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.最常用的测度值3.一组数据的均衡点所在4.易受极端值的影响5. 用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据,32,均值(计算公式),设一组数据为：X1 ，X2 ， ，XN 简单均值的计算公式为,设分组后的数据为：X1 ，X2 ， ，XK 相应的频数为： F1 ， F2， ，FK加权均值的计算公式为,33,简单均值(算例),原始数据:10591368,34,加权均值,前述某岩体50 个样品某元素分析结果计算均值,35,加权均值(权数对均值的影响),刻槽取样对比：甲乙两组槽各有10米长，长度及其分析数据如下： 甲组： 分析结果（X ）: 0 20 100 刻
9、槽长度（F ）：1 1 8 乙组： 分析结果（X ）: 0 20 100 刻槽长度（F ）：8 1 1,36,均值(数学性质),1.各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,37,调和平均数(概念要点),1.集中趋势的测度值之一2.均值的另一种表现形式3.易受极端值的影响4.用于定比数据5. 不能用于定类数据和定序数据6. 计算公式为,38,调和平均数,某砂矿三个块段的品位和储量数据如表，计算该砂矿的平均品位,39,几何平均数(概念要点),1. 集中趋势的测度值之一2. N 个变量值乘积的 N 次方根3. 适用于特殊的数据4. 主要用于计算平均发展速度5. 计算公式
10、为,6. 可看作是均值的一种变形,40,几何平均数(算例),平均收益率103.84%-1=3.84%,某矿业公司1996年、1997年、1998年和1999年净资产收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该矿业公司在这四年内的平均收益率,41,众数、中位数和均值的比较,42,众数、中位数和均值的关系,43,数据类型与集中趋势测度值,44,第二节 离散程度的测度,一. 定类数据：异众比率二. 定序数据：四分位差三. 定距和定比数据：方差及标准差四. 相对离散程度：离散系数,45,离中趋势,数据分布的另一个重要特征离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述反映各变量值远离其中心值
11、的程度，因此也称为离中趋势从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值,46,数据的特征和测度,47,定类数据：异众比率,48,异众比率(概念要点),1.离散程度的测度值之一2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,49,异众比率,前述的矿石储量级别的数据计算异众比率,50,定序数据：四分位差,51,四分位差(概念要点),1.离散程度的测度值之一2.也称为内距或四分间距3.上四分位数与下四分位数之差 QD = QU - QL4.反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性,52,四分位差(定序数据的算例
12、),矿石中某矿物单体粒度的数据，计算单体粒度的四分位差,设A为1，B为2，C为3，D为 4，E为5，已知 QL = B = 2， QU = C = 3四分位差： QD = QU QL = 3 2 = 1,53,定距和定比数据：方差和标准差,54,极差(概念要点及计算公式),1. 一组数据的最大值与最小值之差2. 离散程度的最简单测度值3. 易受极端值影响4. 未考虑数据的分布,未分组数据 R = max(Xi) - min(Xi),5. 计算公式为,55,平均差(概念要点及计算公式),1. 离散程度的测度值之一2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数3. 能全面反映一组数据的离散程度4. 数学
13、性质较差，实际中应用较少,5. 计算公式为,未分组数据,组距分组数据,56,平均差（计算过程及结果）,某岩体的50个样品某元素的分析数据，计算的平均差,57,方差和标准差(概念要点),1.离散程度的测度值之一；2.最常用的测度值；3.反映了数据的分布；反映了各变量值与均值的平均差异；根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差。,58,总体方差和标准差(计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,59,总体标准差（计算过程及结果）,某岩体的50个样品某元素的分析数据，计算标准差,60,样本方差和
14、标准差(计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,注意：样本方差用自由度n-1去除!,61,样本方差自由度(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数；当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值； 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值； 样本方差用自由度去除，其
15、原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量。,62,样本方差(算例),原始数据: 10 5 9 13 6 8,63,样本标准差(算例),样本标准差,原始数据: 10 5 9 13 6 8,64,方差(简化计算公式),样本方差,总体方差,65,方差(数学性质),各变量值对均值的方差小于对任意值的方差设X0为不等于X 的任意数，D2为对X0的方差，则,66,标准化值(概念要点和计算公式),1. 也称标准分数2.给出某一个值在一组数据中的相对位置3.可用于判断一组数据是否有离群点4.用于对变量的标准化处理5. 计算公式为,67,相对离散程
16、度：离散系数,68,离散系数(概念要点和计算公式),1.标准差与其相应的均值之比2.消除了数据水平高低和计量单位的影响3.测度了数据的相对离散程度4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为,69,离散系数（实例和计算过程）,某铅矿石中银和铅的分析数据，试比较银和铅的离散程度,70,离散系数(计算结果),结论： 计算结果表明，V1 0为右偏分布4.偏态系数3，说明元素含量分布为尖峰分布，说明低元素含量占有较大的比重，矿石品位偏低,84,输出的描述统计量,85,本章小节,1.集中趋势各测度值的含义、计算方法、特点和应用场合2.离散程度各测度值的含义、计算方法、特点和应用场合偏态及峰度的测度方法计算描述统计量,86,结 束,