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1、,立体几何初步复习,执教教师：XXX,考 纲 要 求,1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的四个公理和空间等角定理2理解异面直线所成角的概念；会求异面直线所成的角.,课 前 自 修,知识梳理,一、平面的基本性质1公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内2公理2：经过_的三点，有且只有一个平面3公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条_的公共直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,两点,不在同一条直线上,一个,经过该
2、点,二、直线与直线的位置关系1位置关系的分类(1)共面直线：_或_；(2)异面直线：不在_一个平面内的两条直线2异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角(或夹角),相交,平行,任何,锐角或直角,(2)范围：_.3直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况4平面与平面的位置关系有_、_两种情况5平行公理：平行于同_的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_,(0，90,平行,相交,在平面内,平行,相交,一条直线,相等或互补,基础自测,1已知A，B，C为空间三点，经过这三点(
3、)A能确定一个平面B能确定无数个平面C能确定一个或无数个平面D能确定一个平面或不能确定平面,解析：由于题设中所给的三点A，B，C并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面；当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面故选D.答案：D,2已知a，b是异面直线，直线c直线a，则c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线,解析：c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾故选C.答案：C,3(2012河北八校联考)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面
4、，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件,解析：直线EF和GH不相交，则EF与GH平行或异面，故E，F，G，H四点可能共面答案：B,4(2013惠州市二模)给出命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线a，b，如果a平行于平面，那么b不平行平面；两异面直线a，b，如果a平面，那么b不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线上述命题中，真命题的序号是_,解析： 中b也可能与平面平行；中两异面直线在同一平面内的射影也可能是两条平行直线.答案： ,考 点 探 究,考点一,平面的基本性质,【例1】如
5、图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由(1)直线AC1在平面CC1B1B内；,(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由点A，O，C可以确定一个平面；(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(5)直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交 ，则交点一定在直线CD上,思路点拨：根据三个公理及其推论进行判断,解析：(1)错误若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B，则 A平面CC1B1B，且B平面CC1B1B，AB平面CC1B1B，与AB平面C
6、C1B1B矛盾(2)正确因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.(3)错误因为A，O，C三点共线(4)正确因为A，C1，B1不共线，A，C1，B1三点确定平面.又AB1C1D为平行四边形，AC1，B1D相交于点O2，而O2，B1，B1O2.而DB1O2，D.(5)正确若直线l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上,变式探究,1如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M,解析：AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据
7、公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上答案：D,考点二,点共线、线(点)共面的证明,【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点思路点拨：(1)连接CD1，可证得EFCD1；(2)先证CE与D1F相交于P，再证PAD.,证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交于一点，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.
8、同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点,变式探究,2如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B，D，O三点共线,证明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD.B，D，O三点共线,点评：(1)证明若干线(点)共面，首先根据公理3或推论，由题设条件中的部分线(点)确定一个平面，再根据公理1证明其余的线(点)都在这个平面内(2)要证明若干点共线，先证明这些点都是某两个平面的公共点，
9、再运用公理2得出这些点都在这两个平面的交线上，即这些点共线,考点三,两条直线的位置关系,【例3】如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点(1)判断AM和CN的位置关系，并说明理由；(2)判断D1B和CC1的位置关系，并说明理由,思路点拨：空间中直线有三种位置关系，通过图形观察两直线可能具有的关系，选择适当的方法求解(1)两直线AM和CN延长可能相交，实际上，由于M，N分别是A1B1和B1C1中点，可证得MNAC，故AM，CN共面；(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，直接证明有难度，判断的方法可用反证法,解析：(1) AM和CN是相
10、交直线理由：连接MN，A1C1，AC，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，,A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A，M，N，C在同一平面内又AM和CN不平行，故AM和CN不是异面直线是相交直线(2)D1B和CC1是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是长方体，B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1，B，C，C1，与ABCDA1B1C1D1是长方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线,点评：公理4是论证空间中两条直线平行的重要方法之一，使用公理4的关键是选择第三条直线作“桥梁
11、直线”；判定两条直线是异面直线，常用反证法，即证明两直线既不相交，也不平行,变式探究,3在下图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),解析：由题知，中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，所以GH与MN异面所以图中GH与MN异面答案：,考点四,异面直线所成的角,【例4】(1)(2011大纲全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余
12、弦值为_(2)如图，PA平面ABC，ACB90，且PAACBCa，则异面直线PB与AC 所成的角的正切值等于_,思路点拨：求异面直线所成角的关键是作出角对于(1)，可取A1B1的中点F，则EFBC，从而将两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题化归为求解三角形的内角；对于(2)，题中所给的条件正好完全符合正方体的特征，于是可将其补形成一个正方体，从而构造出相应的平面角来,(2) 如图，将此几何体补形成一个正方体DBCA-D1B1C1P，PB与AC所成的角的大小即为此正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小容易求得tanDBP .答案：(1) (2),点评：(1)平移线段法是求异
13、面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,90，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角(2)本例平移直线的策略分别是直接平移、补形平移，若题设中出现等分点(尤其是中点)，有时也可利用等分点(尤其是中点)构造平行线(如中位线)达到平移的目的,变式探究,4A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若A
14、CBD，ACBD，求EF与BD所成的角,(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线,(2)解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.,1公理的作用：公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明
15、“线共点”的理论依据2证明点线共面的常用方法：(1)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合3要注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系此外，还要注意平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确，如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在空间就不一定成立,4空间两条直线位置关系有三种情况：相交、平行、异面，而两条直线异面是重点要正确理解异面直线的定义，其特征是既不相交又不平行要弄清楚“不同在
16、任何一个平面内的两条直线”与“分别在两个平面内的两条直线”这两种说法的区别前者所指的两条直线是异面直线，后者所指的两条直线不一定是异面直线5找出两平行直线的常见方法：利用公理4；利用平行四边形的性质；利用中位线或线段成比例 6.(1)判定空间两直线是异面直线的方法：依据异面直线的定义判定；反证法(2)求两条异面直线所成的角的大小， 一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移；补形平移；等分点平移,感 悟 高 考,品味高考,1l1，l2，l3是空间三条不同的
17、直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l1l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面,解析：对于选项A，直线l1，l3可能异面，不正确；对于选项C，直线l1，l2，l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面，不正确；对于选项D，直线l1，l2，l3相交于同一点时不一定共面，不正确故选B.答案：B,2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值,高考预测,1. (2012安庆市模拟)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，CN与BE是异面直线；平面DEM平面ACF；DEBM; AF与BM所成的角为60；BN平面AFC.在以上的五个结论中，正确的是_(写出所有正确结论的序号),解析：如上图，将展开图恢复成正方体，可以看出CN与BE是平行直线利用面面平行的判定定理可以证明平面DEM平面ACF.DECF，CFBM，DEBM.平移AF到DM，可知AF与BM所成角为60.用线面垂直的判定定理可证BN平面AFC.正确答案：,2如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24，OA2，AOP120.(1)求三棱锥A1APB的体积；(2)求异面直线A1B与OP所成角的余弦值,谢谢观看,请指导,