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1、,利用空间向量证明平行、垂直问题,执教教师：XXX,3.2立体几何中的向量方法3.2.1利用空间向量证明平行、垂直问题(一),空间向量与立体几何,1理解空间点、直线、平面的向量表示方法2能用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系3用向量方法证明空间中的平行关系4用向量方法证明空间中的垂直关系,基础梳理,1在空间中我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来确定我们把向量 _叫做点P的位置向量2点A是直线l上一点，向量a 表示直线l的方向(方向向量)在直线l上取 a，那么对于直线上任意一点P，一定存在实数t，使得_3空间中平面的位置可以
2、由内_来确定设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 a和b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得_.,两条相交直线,4直线l ，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量5可以利用_表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系6证明两条直线平行，只要证明这两条直线的方向向量是_7证明两条直线垂直，只要证明这两条直线的方向向量_8空间中的平行共有：_.9空间中的垂直共有：_.,直线的方向向量与平面的法向量,平行(或共线),垂直,线线平行、线面平行、面面平行,线线垂直、线面垂直、面面垂直,自测自评,1若直线l1，l2的方向向量分别为a(1,2，2
3、)，b(2,3,2)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1、l2相交但不垂直 D不能确定2若平面、的法向量分别为u(2，3,5)，v(3,1，4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确,B,C,3若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与斜交,B,利用方向向量和法向量判定线面位置关系,(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系：a(2,3，1)，b(6，9,3)；a(5,0,2)，b(0,4,0)；a(2,1,4)，b(6,3,3)(2)设u，v分别是不同的平面，的法向量，根据下列条件
4、判断，的位置关系：u(1，1,2)，v ；u(0,3,0)，v(0，5,0)；u(2，3,4)，v(4，2,1),(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断和l的位置关系：u(2,2，1)，a(3,4,2)；u(0,2，3)，a(0，8,12)；u(4,1,5)，a(2，1,0)解析：(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，a b，ab，l1l2.a(5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l1l2.,a(2,1,4)，b(6,3,3)，a与b不共线，也不垂直，l1与l2相交或异面(2)u(1，1,2)，v ，uv3210，uv，.u(0,3,0)，v(0，5,0
5、)，u v，uv，.u(2，3,4)，v(4，2,1)，u与v不共线，也不垂直，与相交但不垂直,(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)，ua6820，ua，l或l.u(0,2，3)，a(0，8,12)，u a，l.u(4,1,5)，a(2，1,0)，u与a不共线，也不垂直，l与相交，但不垂直,跟踪训练,1根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系(1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2，3，2)，b(2，4,4)(2)平面、的法向量分别为u(1,3,6)，v(2，6，12)(3)直线l的方向向量、平面的法向量分别是a(2,0,3)，v(1，4，3)(4)直线l的方
6、向向量、平面的法向量分别是a(3,2,1)，v(1，2,1),答案: (1)l1l2(2)(3)l与斜交(4)l或l,平面法向量的求法,若 是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.,跟踪训练,2已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量,利用空间向量证明平行问题,在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CB1D1.,证明：如图，取A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,
7、0)，D1(0,1,1)，,跟踪训练,3如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点证明：EF平面SAD.,证明：如图，建立如图所示的空间直角坐标系设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，,1设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(1，1，2)，则下列向量中是平面的法向量的是()A(1，2,5) B(1,1，1)C(1, 1,1) D(1，1，1),B,2已知A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,2，1)，下列四个点中在平面ABC内的点是()A(2,3,1) B(1，1,2) C(1,2,1) D(1,0,3),1注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题2在证明平行与垂直时，注意应用向量相关结论，如共线、共面等结论同时也要注意与以前已经学习过的公理体系求证平行与垂直方法的适当结合，因有些题用以前的方法会更简单同时适当训练思维也有好处,谢谢观看,请指导,