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1、1,2.4 平板应力分析,第二章 压力容器应力分析,CHAPTER STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS,2,过程设备设计,2.4.1 概述,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,主要内容,2.4.3 圆平板中的应力,2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力,2.4 平板应力分析,3,过程设备设计,教学重点： （1）圆平板对称弯曲微分方程； （2）承受均布载荷时圆平板中的应力。教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。,2.4 平板应力分析,2.4 平板应力分析,4,过程设备设计,2.4.1 概述,平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管
2、板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。,2.4.1 概述,应用,5,过程设备设计,（1）平板的几何特征及平板分类,分类,厚板与薄板,大挠度板和小挠度板,t/b1/5时，w/t1/5时，按小挠度薄板计算,图2-28 薄板,图2-27 平板载荷和扰度关系曲线,2.4.1 概述,6,过程设备设计,（2）载荷与内力,载荷,平面载荷,横向载荷,复合载荷,（作用于板中面内的载荷）,（垂直于板中面的载荷）,内力,薄 膜 力,弯曲内力,中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形,弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形,2.4.1 概述,7,当变形很大时，面内载荷也会
3、产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多,本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论,过程设备设计,2.4.1 概述,8,过程设备设计,弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫Kirchhoff, 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线的挠度 。,只有横向力载荷,2.4.1 概述,9,过程设备设计,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力,分析模型,10,过程设备设计,分析模型,轴对称性,几何对称，载荷对称，约束对称， 在r、z 圆柱坐标系中挠度 只是 r 的函数，而与无关。,2.4
4、.2 圆平板对称弯曲微分方程,11,过程设备设计,挠度微分方程的建立：,微元体：,用半径为r和r+dr的两个圆柱面和夹角为d的两个径向截面截出板上一微元体如图229（a）、（b）,基于平衡、几何、物理方程,(b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的 内力分量及微元体受力,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,12,过程设备设计,挠度微分方程的建立：,基于平衡、几何和物理方程,微元体内力,径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr (单位长度),周向：M、 M (单位长度),横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr (单位长度),微元体外力,上表面P=pzrddr,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,1
5、3,过程设备设计,（1）平衡方程,微体内力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即MT=0,（2-54）,圆平板在轴对称载荷下的平衡方程,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,14,过程设备设计,（2）几何方程,取 径向截面上与中面相距为z，半径为 r 与 两点A与B构成的微段,W,图230 圆平板对称弯曲的变形关系,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,15,过程设备设计,板变形后：,微段的径向应变为,过A点的周向应变为,作为小挠度,，带入以上两式，,应变与挠度关系的几何方程,（2-55）,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,16,过程设备设计,（3）物理方程,根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上
6、任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为,（2-56）,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,17,过程设备设计,（4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程,2-55代入2-56式：,（2-57）,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,18,过程设备设计,图2-31 圆平板内的应力与内力之间的关系,通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。由式（2-57）可见， 和 沿着厚度（即z方向） 均为线性分布， 图2-31中所示为径向应力的分布图。,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,19,过程设备设计,、 的线性分布力系便组成弯矩 、 。单位长度上的径向弯矩为：,（2-
7、58a）,（2-58b）,“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,同理,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,20,过程设备设计,2-58代入2-57，得弯矩和应力的关系式为：,（2-59）,2-58代入平衡方程2-54，得：,受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：,（2-60）,Qr值可依不同载荷情况用静力法求得,2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程,21,过程设备设计,2.4.3 圆平板中的应力,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）,简支,固支,22,过程设备设计,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,图2-32
8、均布载荷作用时圆板内Qr的确定,据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：,代入2-60式中,均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为,对r连续两次积分,得到挠曲面在半径方向的斜率,（2-61）,对r连续三次积分,（得到中面在弯曲后的挠度）,（2-62）,2.4 .3 圆平板中的应力,23,过程设备设计,C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0 ，于是上述方程改写为：,（2-63）,式中C1、C3由边界条件确定。,2.4 .3 圆平板中的应力,24,过程设备设计,下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件）,图2-
9、33 承受均布横向载荷的圆板,周边固支圆平板,周边简支圆平板,2.4 .3 圆平板中的应力,25,过程设备设计,1. 周边固支圆平板,图2-33 周边固支圆平板,在支承处不允许有挠度和转角,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：,2.4 .3 圆平板中的应力,26,过程设备设计,将挠度对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：,（2-65）,由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：,（2-66）,2.4 .3 圆平板中的应力,27,过程设备设计,图2-34a周边固支圆平板的弯曲应力分布（板下表面）,周边固支圆平板
10、下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。最大应力在板边缘上下表面，即,2.4 .3 圆平板中的应力,28,过程设备设计,2. 周边简支圆平板,将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数C1、C3：,得周边简支平板的挠度方程,代入式（2-63）,（2-67）,图2-33 承受均布横向载荷的圆平板,2.4 .3 圆平板中的应力,29,过程设备设计,弯矩表达式：,（2-68）,应力表达式：,（2-69）,2.4 .3 圆平板中的应力,30,过程设备设计,不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 处，,周边简支板下表面的应力分布曲线见图2-34(b)。,图2-34（b） 周边简支圆板的弯曲应
11、力分布（板下表面）,2.4 .3 圆平板中的应力,31,过程设备设计,3. 支承对平板刚度和强度的影响,a. 挠度,周边固支时，最大挠度在板中心,周边简支时，最大挠度在板中心,（2-70）,（2-71）,这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。,2.4 .3 圆平板中的应力,32,过程设备设计,b. 应力,周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为,（2-72）,周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为,（2-73）,这表明，周边简支板的最大正应力大于周边固支板的正应力。,2.4 .3 圆平板中的应力,33,挠度反映板的刚度 应力反映板的强度 周边固支的
12、圆平板在刚度和强度 两方面均优于周边简支圆平板,过程设备设计,2.4 .3 圆平板中的应力,34,过程设备设计,最大正应力与 同一量级；最大切应力则与 同一量级。因而对于薄板Rt，板内的正应力远比切应力大。,内力引起的切应力：在均布载荷p作用下，圆板柱面上的最大剪力 ， （ 处）近似采用矩形截面梁中最大切应力公式,得到,2.4 .3 圆平板中的应力,35,过程设备设计,2.4 .3 圆平板中的应力,36,过程设备设计,4. 薄圆平板应力特点,板内为二向应力 、 。平行于中面各层相互之间的正 应力 及剪力 引起的切应力 均可予以忽略。,正应力 、 沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是
13、纯弯曲应力。,应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板 周边支承是介于两者之间的形式。,薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比，而薄壳的最大 拉 （ 压）应力 与 成正比，故在相同 条件下， 薄板所需厚度比薄壳大。,2.4 .3 圆平板中的应力,37,过程设备设计,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,图2-35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力Qr,挠度微分方程式（2-60）中，剪力,可由图2-35中的平衡条件确定：,采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值,2.4 .3 圆平板中的应力,38,过程设备设计,图2-36 外周边简支
14、内周边承受均布载荷的圆环板,1、通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。,2、当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。这类问题虽然为轴对称问题，但不能应用上述圆平板的基本方程求解。,2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力,39,过程设备设计,设圆环的内半径为 、外半径为 、形心处的半径为 、厚度t，沿其中心线（通过形心）均布力矩M的作用，如图2-37所示。文献40给出了导出圆环绕其形心的转角 和最大应力 （在圆环内侧两表面）,图2-37 圆环转角和应力分析,2.4 .4 承受轴对称载荷时环板中的应力,