小学四年级寒假奥数班讲义.pdf

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1、小学四年级奥数目录第一讲图形的计数（一）第二讲图形的计数（二）第三讲速算与巧算（一）第四讲第五讲第六讲第七讲第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲速算与巧算（二）和差倍问题还原问题年龄问题盈亏问题最佳方案平均数问题长方形、正方形的周长和面积综合测试1第一讲图形的计数（一）一知识点回顾一知识点回顾1. 弄清图形中所包含的基本图形，图形的特征和变化规律。2.从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和。3. 被分成几个部分的图形， 可以先从各部分的基本图形出发， 数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的

2、有序性和良好的学习习惯。二典型例题二典型例题例例 1.1. 数出下面图中有多少条线段。思路导航：思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从 A 点出发的不同线段有 3 条：AB、AC、AD；从 B点出发的不同线段有 2 条：BC、BD；从 C 点出发的不同线段有 1 条：CD。因此，图中共有 3+2+1=6 条线段。数线段的规律：数线段的规律：线段上有 n 个点（包括两个端点） ，n 个点把这条线段共分成线段总数为：1+2+3+(n-1)。解：这条线段有 4 个点，所以线段的总和为 1+2+3=6（条）答：图中的线段有 6 条。练一练：练一

3、练：数出下列图中有多少条线段。（2）2例例 2.2.数出下面图中有多少个角。思路导航：思路导航：在AOB 内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，AOB 被这三条角分线分成4 个基本角，那么AOB 内总共有多少个角呢？首先有这4 个基本角，其次是包含有2 个基本角组成的角有 3 个（即AOC2、C1OC3、C2OB） ，然后是包含有3 个基本角组成的角有 2 个（即AOC3、C1OB） ，最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个（即AOB） ，所以AOB 内总共有角：432110（个）数角的规律：数角的规律： 数角的方法和数线段的方法类似， 图中共有几条射线组成若干个角，角的总个数为 1+

4、2+3+（n-1）。解：图中有 5 条射线，所以角的个数为：1+2+3+4=10（个）答：共有 10 个角。练一练：练一练：数出下列图中有多少个角。例例 3 3. . 数一数图中共有多少个三角形？3思路导航：思路导航：要数有多少个三角形，先看在AGH 中，在 GH 上有 3 个分点，分成基本小三角形有 4 个.所以在AGH 中共有三角形 4+3+2+1=10（个）.在AMN 与ABC 中，三角形有同样的个数，所以在ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）2=30（个）.解：在ABC 中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）答：在ABC 中共有线段 60 条，共有三角形 30

5、 个。练一练：练一练：数出下列图中有多少个三角形。三三. .巩固提高巩固提高（一）填空题。1.下列图形各有几条线段 ( )条 ( )条 ( )2一条直线上共有 50 个点,可以数出( )条线段.3.（1）数角。（2）数三角形。（）（）4条（2）数三角形。（）（二）简答题.1.数一数下图中共有多少个角？5. 数一数共有多少个三角形？四四. . 选做题选做题数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？第二讲图形的计数（二）例例 4 4.数一数下图中有多少个长方形？5思路导航：思路导航：图中的 AB 边上有线段 1+2+3=6 条，把 AB 边上的每一条线段作为长，AD 边上的每一条线段作为宽，每一个长

6、配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 63=18 个长方形。数长方形可以用下面的公式：长边上的线段短边上的线段=长方形的个数解：共有长方形：（3+2+1）（2+1）= 63= 18（个）答：共有长方形 18 个。练一练：练一练：数出下列图中有多少个长方形。ABDC例例 5 5.数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为 1 的正方形）思路导航：思路导航：图中边长为 1 个长度单位的正方形有 33=9 个，边长为 2 个长度单位的正方形有 22=4 个，边长为 3 个长度单位的正方形有 11=1 个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14 个。经进一步分析可以发现，由相同的 nn

7、 个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1122nn。解： 正方形总数为：112233=14（个）答：共有正方形 14 个。6练一练：练一练：数出下列各图中有多少个正方形。例例 6.6.数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为 1 个长度单位的正方形）思路导航：思路导航：边长是 1 个长度单位的正方形有 32=6 个，边长是 2 个长度单位的正方形有 21=2 个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8 个。经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m 等份，宽被分成 n 等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m1)(n1)(

8、m2)(n2)(mn1)n.练一练：练一练：数一数下列各图中分别有多少个正方形。7四巩固提高四巩固提高（一）填空题。1数一数下图有（）个长方形.2下图共有( )个平行四边形.(二)简答题 (每小题 10 分)1 图共有几个正方形?DACB2数一数下列各图中分别有多少个正方形。答四四. . 选做题选做题下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？答的练习练习8第三讲速算与巧算（一）一知识点回顾一知识点回顾1. 在加、减、乘、除四则运算中，要想算得快，算得准，其实有些“小窍门” ，首先要观察算式和数字的特点和规律，然后再选择合适的巧算方法，运用数的组成与分解，运用定律以及和、差、积、商的变化规律，

9、把按常规较复杂的运算转化为比较简便、迅速的计算。2. 加、减法的巧算方法有：配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、运算定律等；3. 常用的运算定律和运算性质用字母表示为：加法交换律：a + b = b + a加法结合律：a + b + c= a +( b + c)减法的性质：a - b c = a (b + c)a (bc)=a - b+c4. 速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。二经典例题二经典例题例例 1.1.用巧算的方法计算下列各式。 29+299+2999+29999 30-29+28-27+26-25+4

10、-3+2-1 638-(456-62)思路导航：思路导航：第小题计算中运用凑整凑整的方法计算比较简便； 第小题可以将相邻两个数看成一组， 进行分组分解分组分解法来计算比较简便； 第小题根据减法的性质去括号，再移位凑整凑整。解：29+299+2999+29999 =30+300+3000+30000-4 =333269 30-29+28-27+26-25+4-3+2-1 =（30-29）（302） =15 638-(456-62) =638-456+62 =（638+62）-456 =700-456 =244练一练：练一练：用巧算的方法计算下列各式。 53+874+47-174+63543-（1

11、38-57）-3622345+1256-3056-145627-（185+127）例例 2.2.计算 199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18思路导航：思路导航：通过观察我们可以运用分组凑整法，十个加数可以分成五组，每组第一个加数补 1，第二个加数补 2 都可以凑整。解：199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18 =2000002+200002+20002+2002+202-35 =400000+40000+4000+400+40-15 =444440-15 =444425练一练：

12、练一练：用巧算的方法计算下列各式。19+199+1999+19999999998+99997+9996+995+9410三三. .巩固提高巩固提高1. 347+362+453+338 2. 2345+6789+7655+32113. 9979+994+127 4. 13712893715. 846163+1154 6. 1643+296+72+4357+1287. 48+326+5217+274 8. 17569. 368+（13468） 10. 2663四四. .选做题。选做题。1. 534+467334267+111 2. 18393. 15873346873654 4. 2380（756

13、+498）8741126+337（56161）（167+380）333115. 218+573136+1826473 6. 127+125+126+123+129+1227. 112+111110109+108+107106105+104+103102101+100+999897第四讲速算与巧算（二）一知识点回顾一知识点回顾乘、除法的巧算方法有：凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质，以及商的变化规律，积的不变性质等。常用的运算定律和运算性质用字母表示为：除法的性质：abc = a(bc)a（bc）= abc乘法交换律：ab = ba乘法结合律：(ab)c = a( bc)乘法

14、分配律：(a + b)c = ac + bc(a - b)c = ac - bc积不变性质：ab = (ac)(bc) =(ac)(bc)商不变性质：ab = (ac)(bc) = (ac)(bc)二经典例题二经典例题例例 1.1.计算下列各式。 375480+625048 72002536 16125 23002512思路导航：思路导航：第小题是根据积的不变规律进行转化，变成能应用乘法分配律乘法分配律，计算起来比较简便；第小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题；第小题因为 125 乘 8 得 1000， 运用分解法分解法将 16 按照 16=28

15、分解； 第小题，根据商的不变性质商的不变性质， 将被除数和除数同时扩大 4 倍， 把除数变成整百的数来计算。解： 375480+625048=375480+625480=480（375+625）=4801000=480000 72002536= 72003625=20025=8 16125=2（8125）=21000=2000 230025=（23004）（254）=9200100=92练一练：练一练：用巧算的方法计算下列各式。 369123-1239-360123 9800254913 12532250 1999+999999例例 2.2.计算 1（23）（34）（45）（56）（67）（7

16、8）思路导航：思路导航：通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商， 所以我们要根据 a a（b bc c）= = a ab bc c 这一性质去掉括号进行计算，当一个数扩大若干倍，同时又缩小相同的倍数时结果不变。解：1（23）（34）（45）（56）（67）（78） =1233445566778 =128 =4练一练：练一练：计算 9（98）（87）（76）（65）（54）（43）三巩固提高三巩固提高用巧算的方法计算下列各式。1.751631812520081252.19924510011346754+67+45673.199+999921380+38790123235-24235

17、+235144.2800254562397（281397）7000（14050）5.20082006+20072005-20072006-20082005四选做题四选做题计算 55555666667+44445666666-155555第五讲和差倍问题一知识点回顾一知识点回顾1. “和差问题”是已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。和差问题基本公式： （和+差）2=大数（和-差）2=小数小数+差=大数（或者：大数-差=小数）和-小数=大数（或者：和-大数=小数）2. “和倍问题”是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。和倍问题基本公式：和（倍数+1）=小数大数=和-小数（或者：

18、大数=小数倍数）3.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差倍问题基本公式：差（倍数-1）=小数15二经典例题二经典例题例例 1 1. 一个学校四年级共有学生 400 名，其中男生比女生多 40 名，四年级男女生共有多少人？分析分析：女生：多 40 人 400 人男生：从图中可以看出男生人数是较大的数，要比女生多 40 人，即男生与女生的人数差是 40，且男生女生一共有 400 名。所以我们有较大的数（男生数）较大的数（男生数）= = （两数（两数之和之和+ +两数之差）2两数之差）2 ，较小的数（女生人数），较小的数（女生人数）= =（两数和（两数和- -两数之差）2两

19、数之差）2解：男生： （400+40）2=220（人）女生： （400-40）2=180（人）答：男生有 220 人，女生有 180 人。练一练：练一练：希望小学四年级有学生 42 人，其中女生比男生少 2 人，那么这个班级男女生共有多少人？例例 2.2. 甲桶装有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入 20 升，乙桶又倒入 80 升，这时乙桶汽油比甲桶多 20 升，求原来甲、乙两桶汽油各多少升？分析：分析：2020 升升甲桶：多多 2020 升升乙桶：8080 升升从图可以发现，如果乙桶只倒入 40 升，则甲、乙两桶汽油同样多，这说明原来甲桶比乙桶多 80-20-20=40（升）汽油，且甲桶汽油是乙桶

20、的 3 倍，16则甲桶比乙桶汽油多两倍，这样就找到了 2 倍数对应量是 40 升，可以求出乙桶汽油（1 倍数） 。解解：乙桶原来汽油： （80-20-20）（3-1）=20（升）甲桶原来汽油：203=60（升）答：甲桶原来有汽油 60 升，乙桶原来有汽油 20 升。练一练：练一练：A 桶装油 470 千克，B 桶装油 190 千克，从 A 桶倒多少千克油给 B 桶才能使 A 桶油是 B 桶的 2 倍？例例 3.3.甲、乙、丙三个数的和是 183，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7，求甲、乙、丙三个数各是多少？1 1 倍数倍数分析分析：丙数：少少 4 4乙数： 1832 2 倍倍多多

21、 7 7丙数：3 3 倍倍我们发现甲、乙两个数都是以丙为标准的，所以丙就是 1 倍数，乙比丙的 2 倍少 4，即：乙=丙2-4；甲是丙的 3 倍多 7，即：甲=丙3+7；丙数为丙1，且甲、乙、丙三数之和为183，所以丙3+7+丙2-4+丙=183，从而丙的（3+2+1）倍对应为 183+4-7。解解：丙数=（183+4-7）（3+2+1）=30乙数=302-4=56甲数=303+7=97答：甲数是 97，乙数是 56，丙数是 30。17例例 4.4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟1 支，两人就一样多，如果弟弟给哥哥 1 支，哥哥就是弟弟的 5 倍，哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔？分析

22、分析： 此题是两次转化的差倍应用题， 根据 “哥哥给弟弟 1 支， 两人同样多” ，说明哥哥比弟弟多 1+1=2（支） ；根据“弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的 5 倍” ，我们可先知弟弟给哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+1=4(支)，且此时哥哥是弟弟的五倍，即：哥哥比弟弟多 4 倍。解解：弟弟的支数： （1+1+1+1）（5-1）+1=2（支）哥哥的支数： 2+2=4（支）答：哥哥有 4 支铅笔，弟弟有 2 支铅笔。练一练：练一练：两个书架原来共有图书 300 本，当第一个书架借走30 本，第二个书架又购进40本后，第一个书架比第二个书架少 20 本，原来两个书架各有多少本？四巩固提高四巩

23、固提高1.长方形操场的长与宽相差 80 米，沿操场跑一周是 400 米，求这个操场的长与宽是多少米？2.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是 91 分，数学比语文多 2 分，那么丁丁的语文和数学各得了多少分？183. 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？4. 实验小学共有学生956人， 男生比女生2倍少4人.问： 实验小学男学生和女学生各有多少人？5. 甲班的图书本数比乙班多 80 本，甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？6.有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根

24、长的 3 倍，两根绳子原来各长多少米？五五. .选做题选做题1. 有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？192. 光明小学有学生 760 人，其中男生比女生的 3 倍少 40 人，男、女生各有多少人？3. 小勇家养的白兔和黑兔一共有 22 只，如果再买 4 只白兔， 白兔和黑兔的只数一样多小勇家养的白兔和黑兔各多少只？第六讲还原问题一一. .知识点回顾知识点回顾有些问题， 当顺着题目条件的叙述去寻找解法时， 往往有一定的困难， 但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用

25、加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。1. 从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。2. 原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。3. 根据原题的叙述顺序， 在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。二. 经典例题经典例题例例1.1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23 去除，商是16，余数是11这个数是多少？分析：分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示， 看看能先算出哪个数呢？加上加上3737乘以乘以1818减去减去323323除

26、以除以2323？商16余11解：我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。20从后面数第一个问号：1623+11=368+11=379从后面数第二个问号：379+323=702从后面数第三个问号：70218=39从后面数第四个问号即所求的数：39-37=2答：这个数是2.练一练：练一练：一个数扩大3倍，再增加70，然后减少50，得80.这个数是多少？例例 2 2. 四年级的四个班共有学生 168 人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：把四班的 3 名学生调到三班，三班的 6 名学生调到二班，二班又调 6 名学生到一班，一班再

27、调 2 名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？分析：分析：知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168，则可求出四个班最后学生人数：1684=42四班调到三班四班调到三班 3 3 名：减少名：减少 3 3 名名四班的人数 42名四班从一班调来四班从一班调来 2 2 名：增加名：增加 2 2三班从四班调来三班从四班调来 3 3 名：增加名：增加 3 3三班的人数 42名名名三班调到二班三班调到二班 6 6 名：减少名：减少 6 6 名名二班从三班调来二班从三班调来 6 6 名：增加名：增加 6 6二班的人数42名名名二班调到一班二班调到一班 6 6 名：减少名：

28、减少 6 6 名名一班从二班调来一班从二班调来 6 6 名：增加名：增加 6 6一班的人数 42名名名一班调到四班一班调到四班 2 2 名：减少名：减少 2 2 名名所以：1684=4221四班：42+3-2=43（人）三班：42-3+6=45（人）二班：42-6+6=42（人）一班：42-6+2=38（人）答：一班原有学生38人，二班原有学生42人，三班原有学生45人，四班原有学生43人。练一练：练一练：三个小朋友共有贺年卡75张，如果甲给乙4张，乙又给丙3张，那么三个人的贺年卡刚好相等，求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？例例 3.3. 一根铁丝，第一次用去它的一半少一米，第二次用

29、去剩下的一半多 1 米，最后剩 5 米，求这根铁丝原有多长？分析：分析：第一次第二次 5米 1米 1米总数的一半 剩下的一半？从上图分析可知：剩下的一半：5+1=6（米）那第一次用完一共剩下： 62=12（米）总数的一半：12-1=11（米）总长：112=22（米）即：(5+1)2-12=22(米)答：这根铁丝原来长22米。22练一练：练一练：篮子里有鸡蛋，第一天拿走一半多两个，第二天拿走余下的一半多4个，这时刚好拿完，求篮子里原来有多少个鸡蛋？四四. .巩固提高巩固提高1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36

30、，求这个数。3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？4.粮库内有一批面粉， 第一次运出总数的一半多3吨， 第二次运出剩下的一半多7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？5.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？6.某人去银行取款， 第1次取了存款的一半还多5元， 第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？23五五. .选做题选做题1.甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组

31、5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？第七讲年龄问题一一. .知识点回顾知识点回顾1. 两个人的年龄差总是不变的。2. 两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加（减少）同一个自然数。3. 两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化，一般是随着年龄的增加倍数关系反而变小。4. 年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）2小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）2知道今年大小年龄各是多少几年前，大年龄是小年

32、龄的几倍年数=小年龄-两人的年龄差（倍数-1）几年后，大年龄是小年龄的几倍年数=两人年龄差（倍数-1）-小年龄二. 经典例题经典例题例例 1. 儿子今年 16 岁，父亲今年 48 岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的 9 倍？分析：分析：要抓住父亲与儿子年龄差不变，以此来解决问题。可知父亲与儿子的年龄差：48-16=32（岁）24当父亲的年龄是儿子的 9 倍时，那时儿子的年龄是 32（9-1）=4（岁）今年儿子 16 岁，那年儿子 4 岁，所以 16-4=12（年）小数=两数差（倍数-1）即：16-（48-16）（ 9-1）=12（年）答：12 年前父亲的年龄是儿子的 9 倍。练一练：练一练：父亲

33、今年 47 岁，儿子 21 岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍？例例 2. 2.5 年前，爷爷的年龄比孙子大 60 岁，今年祖孙年龄和是 100 岁，求爷爷今年是多少岁？分析：分析：5 年前爷爷年龄比孙子大 60，即年龄差是 60 岁，那 5 年后的今年，祖孙的年龄差：60 岁今年祖孙的年龄和是 100 岁，则爷爷今年的年龄：（100+60）2=80（岁）答：爷爷今年 80 岁。练一练：练一练：现在父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍， 5 年后， 父子共 58 岁， 父子现在各多少岁？例例 3. 3. 今年爷爷 78 岁，三个孙子分别是27 岁、23 岁、16 岁，那么多少年后，爷爷的年龄

34、等于三个孙子年龄之和？注意年龄差不变哦大年龄=（年龄和+年龄差）225分析：分析：每过一年，三个孙子分别增长1 岁，三个孙子的年龄和就增长了3 岁，而爷爷的年龄只增长 1 岁，所以， 每过一年爷爷的年龄和三个孙子年龄和的差就减少 2 岁。今年爷爷和三个孙子年龄和的差是：78-（27+23+16）=12（岁）；12（3-1）=6（年）所以，6 年后，爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和。三三. . 巩固提高巩固提高1.父亲今年比儿子大 30 岁， 3 年后， 父亲的年龄是儿子的 4 倍， 儿子今年几岁？2. 2. 3 年前，父亲与儿子的年龄和是 49 岁，现在父亲的年龄是儿子的 4 倍，父子今年各是多

35、少岁？3. 3. 6 年前，母亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后，母子的年龄和是 78 岁，问母亲今年多少岁？4. 4. 小明与小强三年后的年龄之和是 27 岁，小明比小强大3 岁，问小明和小强今年各多少岁？四四. .选做题选做题今年妈妈和儿子的年龄和是 34 岁，妈妈比儿子大 28 岁，那么今年妈妈和儿子各多少岁？26第八讲盈亏问题一一. . 知识点回归知识点回归盈亏问题，故名思意有剩下就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产程这种盈亏现象。键是专注两次分配时盈亏总量的变化。我们把盈亏问题分为三类： “一盈一亏” 、 “两盈” “两亏” 。盈亏问题的基本关系式：(盈亏)两次分得之

36、差人数或单位数(盈盈)两次分得之差人数或单位数(亏亏)两次分得之差人数或单位数二二. .经典例题经典例题例例 1.1. 四年级的同学分糖果，如果每人分 4 粒就多 9 粒，如果每人分 5 粒则少 6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析分析:由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种没人分 4 粒就多 9 粒， ，第二种每人分 5 粒则少 6 粒，两种不同方案一多一少差 9+6=15（粒） ，相差原理在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为15115（位） ，糖果的粒数为：4159 69（粒） 。练一练：练一练：某校同学排队上操.如果每行站 9 人，则多 37 人；如

37、果每行站 12 人，则少 20人.一共有多少学生？例例 2.2. 老猴子给小猴子分桃，每只小猴 10 个桃，就多出 9 个桃，每只小猴分 11个桃则多出 2 个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？分析：分析：老猴子的第一种方案盈 9 个桃子，第二种方案盈 2 个，所以盈亏综合是9-2=7 （个） ， 两次分配之差是 11-10-1 （个） 有盈亏问题公式得， 有小猴子：71 7（只） ，老猴子有 7109 79（个）桃子。27练一练：练一练：在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余 8 米；若把绳子三折垂到水面，则余 2 米。问：桥有多高？绳子有多长？例例 3.

38、3.四(1)班给三好学生 1 奖练习本,如果每人奖 5 本,则差 9 本, 如果每人奖 3本, 则差 1 本,这个班有多少名三好学生?要奖练习本?分析分析: :这是两次分配方案都是亏的盈亏问题,解题的基本思路是: (大亏小亏)两次分得之差人数, 三好学生数和练习本数是不变的,但两次每人奖的本数发生了变化,结果相差 9-1=8(本)，所以三好学生：8（5-3）=4（人）, 练习本：54-9=11（本）三三. . 巩固提高巩固提高1. 某中学安排学生宿舍，每间住6 人，则有34 人没有床位，每间住7 人，则多出 4 间宿舍，那么有多少宿舍？多少学生？2. 幼儿园老师给小朋友发小红花，每人发4 朵，

39、则剩下20 朵，每人发5 朵，则剩下 5 朵，那么有多少小朋友？分多少小红花？3. 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余 5 米；若把绳子三折垂到水面，则余 4 米。问：桥有多高？绳子有多长？284. 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出 8 元，就多出了 8 元；每人出 7 元， 就多出了 4 元 那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？5. 实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 60 人，则有 15 人上不了车；如果每辆车多坐 5 人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？四四. .选做题选做题1.妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分 4 个，

40、其余人每人分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 个，其余人每人分 4 个，则缺少 12 个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?2. 王老师由家里到学校，如果每分钟骑车 500 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟骑车 600 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？第九讲最佳方案一一. . 知识点回归知识点回归在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。统筹方法是生活和生产中合理安排工作的一种科学方法。我们的学习、生活都离不开时间，要完成一件事，如果我们能够合理

41、安排，选择最佳方案，往往会收到事半功29倍的效果。应用统筹方法解决实际问题，一般要做好三项调查：1.要做哪些工作；2.每项工作需要多少时间：3.弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做，从而根据题意选择最佳方案。二二. .经典例题经典例题例题例题 1.1. 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2 分钟（规定正反面各需要 1 分钟）。问煎 3 个饼至少需要多少分钟？思路导航：思路导航：先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出， 把第三个翻过去， 再将第一个放入煎， 再煎一

42、分钟就会全部煎好。 所以，煎 3 个饼至少需要 3 分钟。练一练：练一练：用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要 3 分钟，现在要烙 3 个大饼，最少要用几分钟？例题例题 2.2. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1 分钟，烧开水需要15 分钟，洗茶壶需要 1 分钟，洗茶杯需要 1 分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？思路导航：思路导航：经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟

43、，同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要 16 分钟。30练一练：练一练：在早晨起床后的 1 小时内， 小萱要完成以下事情： 叠被 3 分钟， 洗脸刷牙 8 分钟，读外语 30 分钟，吃早餐 10 分钟，收碗擦桌 5 分钟，收听广播 30 分钟。最少需要多少分钟？例题例题 3.3. 五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。 赵明打针需要 5 分钟， 孙勇包纱布需要 3 分钟， 李佳点眼药水需要 1 分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？思路导航思路导航: :校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间

44、长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳 1 分钟，赵 1+3=4 分钟，赵明 1+3+5=9 分钟。时间总和是 1+4+9=14 分钟。练一练：练一练：甲、乙、丙三人分别拿着 2 个、3 个、1 个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序， 可以使他们打热水所花的总时间最少？例题例题 4.4. 用 18 厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？思路导航思路导航: :根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是 182=9 厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长

45、方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是 5 厘米，宽是 4 厘米时，围成的长方形的面积最大：54=20 平方厘米。31练一练：练一练：用长 26 厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？三三. . 巩固提高巩固提高1. 妈妈早上起来要完成如下几件事：洗水壶 1 分钟，电水壶烧开水要 12 分钟，擦桌椅要 6 分钟，把水灌入水瓶要 2 分钟，去买油条要 10 分钟，煮牛奶要 8 分钟，妈妈怎样安排才能使所用时间最短？2. 星期天，只有王师傅 1 人在中药柜值班，现在有 ABCDEFG7 人排队等候抓药，王师傅估算一下这 7 个人

46、时间分别是 11 分 4 分 5 分 10 分 9 分 8 分 6 分， 请问王师傅应该如何安排这 7 个人抓药的先后顺序， 才能使大家等候的总时间尽量短？3. 一个长方形的周长是 40 厘米，要求长和宽都是整厘米数，围成长方形面积最大是多少平方厘米？4. .用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要 3 分钟，现在要烙 3 个大饼，最少要用几分钟32四四. .选做题选做题1. 烤面包时，第一面需要 2 分钟，第二面只要烤 1 分钟，即烤一片面包需要 3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃 3 片面包，至少要烤多少分钟？2. 在早晨起床后的 1 小时内，

47、小欣要完成以下事情：叠被 3 分钟，洗脸刷牙 8分钟，读外语 30 分钟，吃早餐 10 分钟，收碗擦桌 5 分钟，收听广播 30 分钟。最少需要多少分钟？第十讲平均数问题一一. .知识点回顾知识点回顾1. 平均数问题就是把几个已知不相等的数，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份数，求其中一份数。2.解答平均数问题必须注意两点：第一，总数量与总份数之间必须互相对应；第二，必须明确总数量和总份数各是由几个部分合并而成的。3. 解答平均数问题的基本数量关系式是：总数量总份数=平均数平均数总份数=总数量总数量平均数=总份数二二. . 经典例题经典例题例例 1 1.在一次登山比赛中，小

48、刚上山时每分走 40 米，18 分 到达山顶。然后按原路下山，12 分钟到达了山底，问小刚上、下山平均每分钟走多少米？分析：分析：这是一道典型的求均数问题。求平均每分钟走了多少米，那我们根据解决平均数问题的方法：总数总份数=平均数。可知要先求出一共走了多少米即33总数量和一共走了多长时间即总份数， 这样就可以求出每分钟走了多少米即平均数。解：总数 总份数 = 平均数（40182 ）（18+12）= 48（米）答：小刚上、下山平均每分钟走 48 米。练一练：练一练：一辆小汽车从甲城开往乙城，速度是 60 千米/时，12 小时到达乙城，又顺原路返回甲城，速度为 40 千米/时，求这辆小汽车往返的平

49、均速度？例例 2 2.期末考试结束了，小辉去班主任那了解他的考试成绩，班主任告诉他，语文、数学的总分是 190 分，语文、英语的总分是 185 分，数学、英语的总分是189 分，请你帮忙算一算，小辉三科的平均成绩是多少？分析：分析：根据“总成绩总份数=平均成绩”来解答，这里的总成绩可以求出 6 科的成绩，也就是 190+185+189 的和，这里有 2 倍的语文、2 倍的数学、2 倍的英语成绩，除以 2 后就得三科的总分，再除以 3 就是他的=平均成绩。解：（190+185+189）23=94（分）答：他三科的平均成绩是 94 分。练一练：练一练：某班有 40 名学生，期中数学考试，有两名同学

50、因故缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得 99 分，这个班期中考试平均分是多少分？例例 3 3.有七个数排成一列，它们的平均数是14，前四个数的平均数是 13，后四个数的平均数是 15，你知道第四个数是多少吗？分析：分析：根据“平均数总份数=总数量”来解答，前四个数，后四个数一共是 8个数，中间（第四个数）这个数计算了两次，所以它们的和一定比七个数的总数34多，多出的数就是第四个数。解：(134+154)-147=14答：第四个数是 14。练一练：练一练：有五个数排成一列，它们的平均数是 46，前三个数的平均数是 38，后三个数的平均数是 50，你知道第三个数是多少吗？三三. .