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1、高教社杯全国大学生数学建模高教社杯全国大学生数学建模竞赛竞赛 C C 题题作者:日期：手机“套餐”优惠几何手机“套餐”优惠几何摘要摘要随着通讯业的发展,手机的普及率越来越高，手机的资费问题也就成了大家热切关注的问题。 本文主要针对这些问题中的手机套餐及一些资费问题进行了以下讨论:1、针对问题（1）依据附表 2 的数据,根据套餐内和套餐外的本地主叫时间得出北京、 上海各套餐方案的资费计算分段函数,结合该函数利用 MATLAB画出相应的图形,通过图形中的交点得出不同需求的用户的套餐方案2、针对问题(）主要是利用折合单价模型进行简化,首先，将客户通话行为进行分解， 从附件 1 我们可以计算出每种通话
2、行为占总通话量中的比例权重，该权重与每种通话行为的单价(附件 2 中已知)相乘后中累加,得到折合单价， 针对折合单价的大小来评判各种资费方案;3、针对问题（3）我们从两个方面来说明:“被叫全免费计划”方案分别与北京移动公司全球通“暢听 99 套餐”即推出新方案之前的全球通从折合单价方面进行比较,。问题（2）已经计算出全球通的折合单价为.720 元分钟，同样得出“畅听 99 套餐”方案的折合单价为.45 元/分钟,显然，全球通的折合单价大于“畅听 99 套餐”方案的折合单价，则“畅听 9套餐”相对全球通来说便宜。然后,以一年的费用将“被叫全免费计划”方案与被叫不免费计划方案进行比较，我们首先假定
3、主叫所占比重为 60%,得出n 3时，被叫不免费方案处于优势,而n 3时,则处于劣势。、 在设计一个全球通资费方案时,我们所考虑的因素有地区人均收入情况、人们对不同的业务的需求、运营商的收入情况及市场竞争因素。从以上的因素中我们主要考虑了人们对不同业务的需求， 利用线性规划以及lng软件编程方法求用户对不同需求所支付的费用的最小值，并且运营商的收入降低不超过 10%条件下使得模型最优化，从而得出其解。关键词关键词:手机套餐，分段函数，折合单价模型，线性规划。一一 问题的重述问题的重述手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一,近年来通信业务量飞速增长。手机资费问题一直是人们
4、关心的热点问题， 多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是 2007 年 1 月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”-各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听套餐”、上海的“全球通 6套餐”方案，建立数学模型分析研究下列问题：(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法 ,并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。(2)提出对各种资费方案的评价准则和方法,据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较,并给出评价。(3） 北京
5、移动公司007 年 5 月 23 日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案,即月租0 元,本地被叫免费,其他项目资费均同现行的资费标准,还要求用户至少在网一年。对这个方案进行评价,并说明理由。(4)设计一个全球通手机的资费方案, 以及下写出考虑的各种因素。根据的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过 10%的条件下,用数学建模方法设计一个合理的“套餐”方案。二二 条件假设条件假设1由于北京 “畅听 99” 套餐中的数据业务对于评价此套餐影响不大,所以不考虑北京“畅听 99”套餐中的数据业务。2在制定通话资费标准中,假定漫游权重为,非漫游为 6。3由于各国
6、长途资费不一，为简化计算我们取平均值为6 元/分钟4在评价三种资费时，短信业务均不予考虑。5手机卡使用周期以月为计算单位。三三 符号说明符号说明pij- - -某一通话行为的资费标准（i 13，j 14）-月租费x-“畅听 9套餐计划”方案的本地主叫通话时间,分钟t-“畅听 99 套餐计划”方案国内P 长途通话时间,分钟-为主叫比重-移动通话占的比重-IP 长途电话在通话中占的比重t-移动用户一个月平均通话时间,分钟-全球通折合单价,元/分钟n-全球通的手机户使用的月数fgi-北京移动全球通“畅听 99 套餐”月资费计费（i 14）-上海移动公司 “全球通 68 套餐” 月资费计费（i 13)
7、i四四 问题的分析问题的分析对于问题(1)的分析：北京、 上海各套餐方案的资费是针对用户的不同通话量的需求，所以我们可以省去对数据业务的考虑,从附件 2 可以得之，各套餐拨打长途资费及呼叫转移的资源都相同,所以,最终可以不必考虑这些问题 ,我们通过分段函数和图形来说明各种“套餐”方案的适用情况。2对于问题（2)的分析：附件 2 中给出了三种资费方案：全球通、神州行及动感地带观察三种资费方案,在通话方面三者有一定的共同点,收费大致可以分为以下几个方面： 本地主叫、国内长途、国际长途(港澳台）及 I电话（对于各别短信套餐不以考虑)。于是,我们提出“折合单价模型” 。其定义是：将客户的通话行为进行分
8、解，按照每种通话行为的单价相乘后累加，得到的数值即为折合单价。用折合单价作为作为评判方案的准则。通过计算出的折合单价，与北京、上海套餐进行比较,用atlab 做出相关图形进行比较。3.对于问题（3）的分析:北京移动公司推出的“被叫全免费计划”方案。分别与现行全球通资费标准，以及北京移动公司推出的“畅听套餐”方案进行。进而对这个“被叫全免费计划”进行评价。五五 模型的建立与求解模型的建立与求解问题 1）:对于北京移动“畅听9 套餐”方案。以月为一个资费计算周期,为简化问题,不妨不考虑数据业务。利用分段函数对此套餐进行计费。990.1*t0 x 280f1(x) x 280990.35*( x28
9、0)0.1*t1390.1*t0 x 560f2(x) 1390.25*( x560)0.1*tx 5601990.1*t0 x 1000f3(x) x 100001990.20*( x1000)0.1*t2990.1*t0 x 2000f4(x) x 20002990.15*( x2000)0.1*t同理,对于上海移动公司“全球通 68 套餐”方案，得出资费计算方法，如下:680 x 360(x) g1680.18*( x360)x 3601280 x 800(x) g21280.16*( x800)x 8001880 x 1200g3(x) 1880.13*( x1200)x 1200由于
10、“畅听 99 套餐”中的各方案拨打 I长途费用相同，因此用户选择方案时可以忽略对它的考虑，故画图时只需作话费与时间的函数关系图来参照 ,可用Mtb 程序得出以下图形：图:北京(蓝）上海（红）套餐话费时间图由上图我们可以得知：根据北京用户通话时间的不同， 来选择不同的套餐。 所选套餐的基本情况如下表:0 x 394用户选择月基本费为元月的套餐394 x 800用户选择月基本费为39 元/月的套餐800 x 1500用户选择月基本费为9元/月的套餐x 1500用户选择月基本费为99 元/月的套餐根据上海用户通话时间的不同,来选择不同的套餐。所选套餐的基本情况如下表:0 x 694用户选择月基本费为
11、 68 元月的套餐694 x 1069用户选择月基本费为 128 元月的套餐x 1069用户选择月基本费为88 元/月的套餐问题）:根据附件 1 可以得到移动电话用户 4610万户；移动通话总量为:188 7 亿分钟。 其中本地通话时长588 7 亿分钟、 国内长途通话时长 977.8亿分钟、国际长途撕长 4.2 亿分钟、港澳台时长 4.0 亿分钟。P 电话通话总量为：1488亿分钟。其中国内长途通话时长465.亿分钟、国际长途通话时长 12.3 亿分钟、港澳台通话时长 10亿分钟。16868.7移动通话占的比重为91.89%。IP 长途电话在通话中占的比重为18357.31488.68.11
12、%。18357.3移动一个月的平均t 16868.7亿分钟 305分钟/月46108.2万户*12月I一个月的平均t 7769.3亿分钟81分钟/月8亿*12月通过附件 1,求出了移动通话中的本地通话、国内长途、国际长途、港澳台在通话的比重分别为a194.15%,a25.976%,a30.0249%0，a40.0231%P 中的国内长途、国际长途、港澳台依次为a198.455%、a2 0.862%、a3 0.719%图:移动通话各种资费占的比重图在建立模型前。我们引入一个概念折合单价。其定义 :是将客户的通话行为进行分解,按照每种通话行为在总通话量中的比例赋予权重，该权重与每种通话行为的单价相
13、乘后累加，得到的数值即位折合单价。将引用“折合单价模型”对“全球通” 、 “神州行” 、 “动感地带”三种资费方案进行评价。对于“全球通”,因为其有月租，折合单价要包括月租。其算法如下:移动电话的折合单价其比重+P 电话的折合单价*其比重移动:R(x) A x* p*aaiii1折合单价iR(x)x ：折合单价 p*aiai1根据上面折合单价公式求出三种方案的资费标准如下：1全球通移动通话资费标准:本地通话 ：国内长途:国际长途：港澳台：全球通 IP 通话:2.神州行移动通话：本地通话：国内长途 :p11 0.48元/分钟p12 0.72元/分钟 3.68元/分钟 2元/分钟pp1314p1j
14、1.98元/分钟p21 0.68元/分钟1.38元/分钟p22国际长途 ：港澳台：神州行 IP 通话：国内长途:p238.68元/分钟p24 2.68元/分钟p22 0.3元/分钟国际长途 ：港澳台:3动感地带移动通话:本地通话：p23 3.6元/分钟p241.5元/分钟p31 0.39元/分钟32国内长途 :p 0.66元/分钟动感地带 I通话:国内长途：1p3 j 0.1元/分钟于是求出全球通的折合单价为*“神州行”折合单价*2p(x)* p*ai 0.7683元/分钟。ixpi*ai*ipi*ai 0.6914元/分钟i动感地带“折合单价*3p*a* p*aii 0.3807元/分钟由上
15、述三种资费方案的折合单价大小的比较，可以看出 ,“动感地带”套餐最为优惠,“神州行”套餐次之,“全球通”最贵。可以看出对于北京推出的“畅听 99”套餐,其折合单价介于 0.250.4元/分钟之间，与现行“全球通” 、 “神州行”套餐资费标准相比， “畅听 9”套餐更优惠。如图；图:全球通（红)与畅听 9(蓝)话费时间图由 1）题中知：上海“全球通 6”套餐在绝大部分时间范围内比北京“畅听 9”套餐便宜，进而得知：上海“全球通68”套餐比现行“全球通” 、 “神州行”套餐资费标准便宜。对于问题 3)北京移动公司推出的 “被叫全免费计划” 方案。 分别与现行全球通资费标准,以及北京移动公司推出的“
16、畅听 99 套餐”方案进行。进而对这个“被叫全免费计划”进行评价。11）与北京“畅听 9套餐”进行比较：全球通折合单价为 0.7230 元分钟 。而“畅听 99 套餐”中“9 元/月基本费”中的折合单价最多为 0.45 元/分钟对于全球通:0.7230* x50 99x 68也就是说当全球通“被叫全免费计划”主叫时间低于 6分钟时。用全球通“被叫全免费计划”更划算。当全球通“被叫全免费计划”高于 68 分钟时,由于“畅听”的折合单价比全球通“被叫全免费计划”折合单价要小，所以用“畅听99”更优惠。2）与现行“全球通”资费标准进行比较：在 2)问题已求出移动用户每月平均使用时间为 30分钟。折合
17、单价为030 元/分钟。以一年为周期进行比较。“被叫全免费计划”的计费方式是:(t A)* n现行“全球通”资费标准的计费方式是：(t A)* n(12n)*20设H (t A)* n(t A)* n(12n)*20通过得到H值的正负来判断哪种资费更优惠。化简 H代入数据得:H (240.5220.5*)* n240为方便比较不妨设 60%,H 0即:240.5*n240 220.5*n*因为是以一年为计算周期(其中 n 为月数),所以我们得出以下结果:n 3因此 “被叫全免费计划” 方案的用户使用时间多于三个月就处于劣势;不在超过三个月的情况下就处于优势，所以，从一年的角度来讲“被叫全免费计
18、划”处于劣势。问题)在设计一个全球通手机的资费方案，我们所考虑的因素有地区人均收入情况、人们对不同的业务的需求、运营商的收入情况及市场竞争因素。在设计过程中，我们要考虑以下几个原则:“双方共赢”的原则“双方共赢”的原则一个成功的业务套餐一定是用户与运营商双赢的套餐,在让用户获得优惠的同时，运营商也必须能够从套餐活动中增加业务收入或者提高用户忠诚度“有效区隔”的原则“有效区隔”的原则在市场细分的基础上， 要确定能够享受业务套餐的条件，以达到有效区隔目标用户的目的“品牌优化”的原则“品牌优化”的原则用户不可能同时去理解和接受许多套餐,这就要求套餐必须方便用户的记忆和理解。套餐设计的六个主要步骤St
19、p1:假设用户参与套餐的概率分布用户选择套餐除了受本身的消费弹性影响之外,还有两个重要的影响因素,一个是用户的历史消费水平与套餐要求最低消费值之间的差额，差额越少，用户参加套餐的概率越高；如果历史消费高于套餐的保底额,那么可以假设理性的用户参加的概率为100。 另一个因素是可以消费的倍数,可消费的倍数越高,用户参加套餐的动力越大，概率越高。 St：为高档套餐设计保底值与封顶值保底值与封顶值是套餐设计的两个重要元素。保底值设定应该遵循两个原则:首先，取值在该区间的相对波峰之前， 否则容易使大量的用户参加套餐后,电信企业的总体收入下滑。其次,保底值考虑在整十整百的后面取值如88，9,199 元等，
20、 让用户觉得所支付的保底收入和封顶值有较大差距， 获得的免费通话时间较长。 在封顶值设定上也有三个原则：一是高档优惠的倍数应该高于中档套餐优惠的倍数， 这样才能鼓励用户尽量选择高档套餐,从而增加收入。二是取值在该区间的相对波峰之后，同样也是为了减少收入的流失。三是考虑为整十整百,能够提高用户的消费价值感。 Se3： 计算高档套餐的增量、 减量况， 评价套餐的收益性就单个用户而言，他可能选择高于自己历史APU 的套餐,也有可能选择低于自己APU 的套餐。前者给电信公司带来收入的增加,而后者则带来收入的下滑。作为套餐的设计者需要做的最重要的工作就是，观察总体上套餐可能获得的收益。增量=单用户增加收
21、入用户参加概率用户数减量=单用户减少收入用户参加概率用户数净增量=增量-减量如果净增量为正数,那么该套餐能给运营商增加收入。通过多方案比较，选择增量最大的套餐为最优方案。但在竞争环境比较恶劣的时候,可选择净增为负的套餐设计，其中损失最少的套餐为最优方案Stp4:执行套餐并分析用户的通话行为变化套餐对用户之所以有吸引力,在于用户选择套餐之后可以获得部分免费通话时间,这样用户的消费潜力将得到释放。当用户选择套餐、释放出消费潜力的时候，原有的合账后用户消费数据可能发生变化,并且稳定在高于历史消费ARP 的水平上。此时要观察用户参加套餐的概率是否基本上符合我们前期假设的概率。 如果有较大的偏差应该及时
22、修改这些概率假设，以便下次更新套餐时使用。Step：依次设计中、低档套餐套餐设计的基本目标就是增量增收,原则上我们鼓励用户优先选择高档套餐与多元素组合套餐。 在多数高端用户稳定较高档套餐的基础上，可循环Step25,设计并推出中低档套餐。tp6:套餐之间的对比检验套餐的设计其实也是电信组合资费个性化的一个过程， 为了使运营商利润最大化，同时又能满足不同用户对电信资费个性化的需求,在这个过程中需要做充分的对比检验。主要包括以下三方面：横向检验:相当资费水平单业务与组合业务比较，组合业务优惠水平应该高于单业务的优惠水平;同样,相当资费水平业务多功能组合套餐的优惠水平要低于单功能或少功能套餐的优惠水
23、平。比如： 相当资费水平小灵通单业务套餐的优惠应该低于小灵通固定电话的套餐优惠;本地网长途的优惠应该高于本地网套餐的优惠。纵向检验：相同的组合业务形式（如都是有灵通固定电话），相同的组合功能形式(如组合的功能都是月租费本地通话费),高ARP 比低ARPU 用户享受的优惠水平更高。比如“99 元”可以消费“180 元”,那么”150 元”可以消费”400元”,通过高RPU 高优惠吸引用户使用高档套餐。延续性检验：保持新旧套餐的可比性。同时避免客户频繁变更套餐类型,或新套餐冲击旧套餐带来没有必要的损失。套餐实施要点与风险规稳定高端用户是关键就用户的消费弹性而言， 高端用户的消费弹性往往低于中低端用
24、户。 这主要是因为高端用户与中低端用户的消费原则不同。中低端用户的消费基本上还停留在“按额度消费”水平上，他们往往通过自己的收入结构来控制通信消费预算,只有当用户日常收入增加后才有可能提高通信消费额度。所以用户的潜在消费需求还是比较大的,在套餐的优惠吸引下消费潜力可能会积极地释放出来。但是，高端用户的RPU本来就比较高，多数用户的通信费用可以报销,或者其他原因使得用户对价格已经不敏感，基本上实现了“按需消费”目标。 即使套餐的优惠再大,用户也已经没有多大的消费需求可以释放,如果这些高端用户使用套餐,必然会带来运营商收入的下降。但是在竞争环境下，竞争对手对高端用户的争夺十分激烈,所以运营商在发展
25、高档套餐用户时，应该将注意力放在用户忠诚度的培育上，通过提升用户忠诚度与扩大高端用户群来增加收入。 组合套餐给用户市场细分带来困难，分析用户消费结构是关键市场细分是电信运营商市场营销工作的基础。首先通过用户特征、消费习惯等细分维度将总体用户市场划分成为具有明显特征的若干细分市场,然后结合不同的细分市场特征制订针对性策略,有效开发并满足特定市场的消费需求。组合套餐首先是多元业务的组合,多元业务的组合造成原有单业务的细分市场之间产生复杂的交叉关系。比如：用户在移动电话、小灵通等语音方面需求量很大,但可能没有宽带需求或者宽带需求比较小,这时用户选择“移动电话+ 小灵通+宽带”的组合套餐之后,原有的细
26、分市场之间就产生了交叉,电信运营商制定统一的针对性营销策略的困难程度就增加了。所以， 研究组合套餐用户的消费行为不仅要观察用户的总消费量,还必须关注用户在不同业务上的消费结构变化，这样制定出的营销策略才可能更加准确。套餐也难以应对竞争者的“直接降价”,用户忠诚度管理是关键设计套餐是为了满足用户消费的个性化需求， 套餐之所以能对用户产生吸引力,最基础的假设就是用户对价格的需求弹性。在恶劣的竞争环境中，竞争对手可能采取简单的降价或者其他恶性竞争手段。 套餐在恶性竞争的环境下可能难以发挥应有的作用,所以运营商在实施套餐的时候应该加强对用户忠诚度的管理，包括用户协议的签订等 。我们对原有的套餐进行设计
27、之后,月租费为I,但我们可以通过调整本地主叫及国内长途的使费用比先前的低， 且本地主叫及国内长途的标准资费为i，wi表示拨打不同业务所花费的时间,则对于北京移动”畅听99套餐”的目标函数为:min w2*r2 I K *(305 w1)M表示通讯的一年成本 ,mi表示不同套餐超过套餐部分本地主叫的计费标准 ,q为移动所使用的用户则w2*r2 I K *(305 w1) 90%* Ami*(wi Bi)同样,我们对上海的现有套餐进行比较 , 月租费为I, 本地主叫及国内长途的标准资费为i,wi表示拨打不同业务所花费的时间,则对于上海套餐的目标函数为minr2*w2 Ik(305w1)M表示通讯的
28、一年成本,mi表示不同套餐超过套餐部分本地主叫的计费标准,q为移动所使用的用户则i1ni*wi I 90%* Ami*(wi Bi)以北京为例:按照品牌优势，假设月基本费为 88 得到“8套餐”方案。以移动通话平均时间 30分钟为例。88 套餐”方案与“畅听9”套餐相比较。min w2*r288 K *(305 w1)r2*w288 K *(305 w1) 90%* Ami*(w1 Bi)0.1*w2运用 lgo 程序得出结果:Localptimal soution fon at ieri:3bjie vue：997500Variableleduced Cs2 1 231550.000 W2
29、0.000000.90019E-1 02000.0000 W1 269 02.0000SlackorSurusDualric 1 96.975001.0000 2.0001.0000最后,可以得出拨打本地主叫费用计算在月基本费里面， 通话时间 26 02分钟。超出套餐本地主叫基本费用为.200元分钟。增加一些短信套餐等业务，按照上述模型，可以得到类似的结论。七七 模型的优缺点模型的优缺点1 1对于评价三个套餐资费方案时使用了折合单价模型， 这样可以直观的比较哪个方案更优惠。2在假设漫游和非漫游比重上,漫游假设的比重为 0.4，可能与实际相差较大,以至我们算出的折合单价较高。3.按照品牌优势,我
30、们得到了“8 套餐”的费用，只是适用打电话较少的用户。八八 参考文献参考文献1孙祥，徐流美，吴清， Matlb7.0 版教程,北京：清华大学出版社，20052.姜启源等,数学建模,北京:高等教育出版社，2033.赵静等，数学建模与数学实验,北京：高等教育出版社,2004姚庭宝,语言及编程技巧,长沙：国防科技大学，203附:1:以下是图MATLA编写程序%北京月租元通话时间x 与费用 y 关系的图形x=：0.1：28;y=99;lot(x,y,)hld onx=20:20:0;9+5*(-80);ot(,y， )hold on%北京月租 139 元通话时间 x 与费用 y 关系的图形=1:01：
31、390；y=13;lot（,y，)holo=390:2:250;y=19+0*(x-39） ；plo(x，y,b)hod on%北京月租 199 元通话时间 x 与费用 y 关系的图形=:01:1000;y=19;lt(x,y，)oldonx=000:0:250;199+02*(x-10);plot(x，y，b ）holdon北京月租 29元通话时间 x 与费用 y 关系的图形x:0.1：2000;y299;pt(，,b）ol ox=2000：0:2500;y299+.15*(x000);lot(x,y,b）d on上海移动月租 6元套餐的通话时间 x 与话费 y 函数关系x0:40:30;y
32、=68;plot（,y，-)hold nx36:20：200 ;y618*(x-)；plot（,-r)ol o%上海移动月租8 元套餐的通话时间 x 与话费 y 函数关系=0:4:0；y=128;plo(x,y,-r)od on=800:2:2500；y=128+0.1*(x00） ；plt(x,y,- ）old o%上海移动月租88 元套餐的通话时间 x 与话费 y 函数关系x=0:0:1200;y18；plot(,y,-r)h onx=200:0:50；=8+0.3*(x-1200);lt（,y， -)2:以下图 2 移动通话各资费占的比重图的编写程序pie3(0.0249 5.9645
33、.021,01 01 ）;colormap(col)3:以下是图 3 的 MTAB 编写程序%北京月租 9元通话时间 x 与费用 y 关系的图形x=1:01:28;y=；plot(x,y， )hod nx=20:20:00;90.35*（x-280);plo（,y，b)holdon%北京月租 139 元通话时间与费用 y 关系的图形x=：0.1:39;=13;plot(,y,b)holdonx=30:0：250;y=130.25*(x-30);plot(x，y,)hod o北京月租 199 元通话时间 x 与费用 y 关系的图形x=1:000;y=199;plot(x,y，b)hold onx=1000:250;y=199+0.2(x-100)；pot(x,，b)holdon%北京月租 299 元通话时间 x 与费用 y 关系的图形1:.1:2000；y=299;plt（,y,b)hld x2000:0:25;y=2+15*（x-);po(x，y，b)holdx=:0.1:20;y=0.78*x；lot(x,y,-r)lngo编写程序如下：model:min=r2*w2K*（-w1）+88;*2+*(05w1)=0.9*(99+0.35*(35-280)+0.1*w );w130;w20；K0.3;ed