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1、专题专题 2020 全等三角形的辅助线问题全等三角形的辅助线问题【考查题型】【考查题型】考查题型一考查题型一 连接两点做辅助线连接两点做辅助线典例 1把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边 FG 与 BC 交于点 H（如图） 试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想【解析】试题分析：要证明HG 与 HB 是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形试题解析：HG=HB，证法 1：连接 AH，四边形 ABCD，AEFG 都是
2、正方形，B=G=90，由题意知 AG=AB，又 AH=AH，RtAGHRtABH（HL） ，HG=HB证法 2：连接 GB，四边形 ABCD，AEFG 都是正方形，ABC=AGF=90，由题意知 AB=AG，AGB=ABG，HGB=HBG，HG=HB1 1 /1818变式 1-1已知:三角形 ABC中,A=90,AB=AC,D为 BC的中点.(1)如图,E、F分别是 AB、AC 上的点,且 BE=AF,求证:DEF为等腰直角三角形.(2)若 E、F分别为 AB,CA延长线上的点,仍有 BE=AF,其他条件不变,那么,DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】 （1）见解析
3、； （2）见解析【分析】(1)先连接 AD，构造全等三角形：BED和AFDAD是等腰直角三角形 ABC底边上的中线，所以有CAD=BAD=45，AD=BD=CD，而B=C=45，所以B=DAF，再加上 BE=AF，AD=BD，可证出：BEDAFD，从而得出 DE=DF，BDE=ADF，从而得出EDF=90，即DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接 AD,构造DAFDBE.得出 FD=ED ,FDA=EDB,再算出EDF=90,即可得出DEF是等腰直角三角形.【详解】解： （1）连结 AD ,AB=AC ,BAC=90 ,D 为 BC 中点 ,ADBC ,BD=AD ,B=BAD=
4、DAC=45,又BE=AF ,BDEADF（SAS）,ED=FD ,BDE=ADF,EDF=EDA+ADF=EDA+BDE=BDA=90,DEF为等腰直角三角形.（2）连结 AD AB=AC ,BAC=90 ,D为 BC 中点 ,AD=BD ,ADBC ,DAC=ABD=45 ,DAF=DBE=135,又AF=BE ,DAFDBE（SAS）,FD=ED ,FDA=EDB,EDF=EDB+FDB=FDA+FDB=ADB=90.DEF为等腰直角三角形.2 2 /1818变式 12 如图，以O为直角顶点作两个等腰直角三角形Rt OAB和RtOCD，且点C在线段AB上（A，求证：AC2 BC2CD2、
5、B除外）【答案】证明见解析【分析】连接 BD，证明AOCBOD（SAS） ，得到CBD为直角三角形，再由勾股定理即可证明【详解】解：连接 BD，AOB与COD为等腰直角三角形，AO=BO，CO=DO，AOB=COD=90，A=ABO=45，AOC+BOC=BOD+BOCAO BOAOC=BOD，在AOC与BOD中，AOC BOD，CO DOAOCBOD（SAS）A=OBD=45，AC=BD，ABO+OBD=90，即CBD=90，在 RtCBD中，BD2 BC2 CD2即AC2 BC2CD2考查题型二考查题型二 全等三角形全等三角形 - - 倍长中线模型倍长中线模型典例 2已知，在RtABC中，
6、BAC90，点D为边AB的中点，AE CD分别交CD，BC于点F，E（1）如图 1，若AB AC，请直接写出EACBCD_；连接DE，若AE 2DE，求证：DEBAEC；（2）如图 2，连接FB，若FB AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由【答案】 （1）45；见解析； （2）CF 2DF，理由见解析【分析】 （1）利用直角三角形两个锐角相加得90和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合3 3 /1818题干已知即可解题延长ED至点G，使得DG DE，连接AG，从而可证明ADGBDE（SAS） ，再利用全等的性质，可知DGADEB，即可知道AG/BC，所以GAEAEC，根
7、据题干又可得到AE EG，所以DGAGAE，从而得出结论（2）延长CD至点H，使得DH DF，连接BH，从而可证明，再利用全等HDBFDA（SAS）的性质，可知BH AF，H AFDAFC 90，根据题干即可证明RtHBFRtFAC（HL） ，即得出结论【详解】 （1）EACACD90，AECBCD90EACBCDAECACDEACBAE 90ACDBAE又AEC BBAEEACBCDBBAEACDEACBCDB 45故答案为45如图，延长ED至点G，使得DG DE，连接AG，点D为AB的中点，BD AD，又ADGBDE，ADGBDE，DGADEB，AG/BC，GAEAEC，又AE 2DE，A
8、E EG，DGAGAE，DEBAEC（2）CF 2DF如图，延长CD至点H，使得DH DF，连接BH，AD BD，ADF BDH，HDBFDA，BH AF，H AFDAFC 90，BF ACRtHBFRtFAC，CF HF 2DF变式 21 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入（探究与发现）（1）如图 1，AD 是ABC的中线，延长 AD 至点 E，使ED AD，连接 BE，证明：4 4 /1818ACDEBD（理解与应用）（2）如图 2，EP 是DEF的中线，若EF 5，DE 3，设EP x，则 x的取值范围是_（3）如图 3，AD 是ABC的中线，E、F 分别在 AB、
9、AC上，且DEDF，求证：BECF EF【答案】 （1）见解析； （2）1 x 4； （3）见解析【分析】 （1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ DE 3，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长 FD至 G，使得GD DF，连接 BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可【详解】 （1）证明：CD BD，ADC EDB，AD ED， ACD EBD，（2）1 x 4；如图，延长EP至点Q，使PQ PE，连接FQ，PE PQ在PDE与PQF中，EPD QPF，PEP QFP，FQ DE 3，PD
10、 PF在EFQ中，EF FQQE EF FQ，即53 2x 53，x的取值范围是1 x 4；故答案为：1 x 4；（3）延长 FD至 G，使得GD DF，连接 BG，EG，在DFC和DGB中，DF DG，CDF BDG，DC DB， DFC DGB(SAS)，BGCF，在EDF和EDG中，DF DG，FDE GDE 90，DE DE， EDF EDG(SAS)，EF EG，在BEG中，两边之和大于第三边，BG BE EG，又EF EG，BGCF，BECF EF5 5 /1818变式 2-2倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a要满足两个条件：线段a一个端点是图中一条线段b的中点；线段a
11、与这条线段b不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题（应用举例）如图（1） ，已知：AD为ABC的中线，求证：AB AC 2AD简证：如图（2） ，延长AD到E，使得DE AD，连接CE，易证ABD ECD，得AB，在ACE中，ACCE ，AB AC 2AD（问题解决）（1）如图（3） ，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC，延长BE交AC于F，求证：AF EF6 6 /1818（2）如图（4） ，在ABC中，A 90,D是BC边的中点，E、F分别在边AB、AC上，DEDF，若BE 3,CF 4，求E
12、F的长（3）如图（5） ，AD是ABC的中线，AB AE, AC AF，且BAE FAC 90，请直接写出AD与EF的数量关系_及位置关系_【答案】CE, AE； （1）详见解析； （2）5； （3）EF 2AD，EF AD【问题解决】 （1）由题意不难得到ACD GBD,所以BGD=BED=AEF=DAC，有 AF=EF；（2）延长 ED 到 G，使 DG=ED，连结 CG、FG，不难得到 EF=FG，另同（1）有BDECDG，所以FCG=FCD+GCD=FCD+EBD=90，CG=BE=3，由勾股定理可得 FG 即 EF 的长；7 7 /1818（3）由全等三角形的性质可以得到解答【详解】
13、 【应用举例】CE, AE【问题解决】1如图1延长AD到G，使得DG AD,连接BG,易证ACD GBD,得BG AC,G DAC，BE AC,BE BG,G BEG,BEG AEF,AEF EAC,AF EF2如图2，延长ED到G，使得DG ED,连接CG、FG,易证BDE CDG,得CG BE,ED GD,B DCG，DE DF,DF垂直平分EG,FE FG,A 90,B ACB 90, DCG ACB 90,即FCG 90,在RtFCG中，CG BE 3,CF 4，FG 5,EF 5,3EF 2AD，EF AD，理由如下：如图 3，延长 AD 到 G，使 AD=DG，延长 DA 交 EF
14、 于 P，连结 BG，则不难得到BGDCAD，BG=AC，GBD=ACD，DGB=DAC，又 AF=AC，BG=AF，ABG=ABD+GBD=ABD+ACD=180- BAC=EAF，AB AE在ABG 和EAF 中，ABG EAF，BG AFABGEAF，EF=AG=2AD，EFA=DGB=DAC，8 8 /1818DAC+PAF=180-FAC=180-90=90，EFA+PAF=90，APF=90，EFAD 考查题型三考查题型三 全等三角形全等三角形 旋转模型旋转模型典例 3在 RtABC中，ABC=90，BAC30，将ABC绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到AED，点 B、C 的对应点
15、分别是 E、D.(1)如图 1，当点 E 恰好在 AC 上时，求CDE的度数；(2)如图 2，若=60时，点 F 是边 AC 中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】 （1）15； （2）证明见解析.【分析】 （1）如图 1，利用旋转的性质得 CADA，CADBAC30，DEAABC90，再根据等腰三角形的性质求出ADC，从而计算出CDE的度数；（2）如图 2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF得到 BC1AC，利用含 30度的直角三角形三边的关系21AC，则 BFBC，再根据旋转的性质得到BAECAD60，ABAE，ACAD ，DE2BC，从而得到 DEBF，ACD和BAE为等边
16、三角形，接着由AFDCBA得到 DFBA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论【详解】解： （1）如图 1，ABC绕点 A顺时针旋转 得到AED，点 E恰好在 AC上，CADBAC30，DEAABC90，CADA，ACDADCCDE756015；（2）证明：如图 2，点 F是边 AC 中点，BF1（18030）75，ADE=90-30=60，211AC，BAC30，BCAC，BFBC，22ABC绕点 A 顺时针旋转 60得到AED，BAECAD60，ABAE，ACAD，DEBC，DEBF，ACD和BAE为等边三角形，BEAB，点 F为ACD的边 AC的中点，DFAC，易证得AFDCBA，DFB
17、A，DFBE，而 BFDE，9 9 /1818四边形 BEDF是平行四边形变式 31 给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将ABC绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60得到DBE，连接 AD，DC，CE，已知DCB=30求证：BCE是等边三角形；求证：DC2+BC2=AC2，即四边形 ABCD是勾股四边形【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)证明见解析证明见解析【分析】 （1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）首先证明ABCDBE，得出 A
18、C=DE，BC=BE，连接 CE，进一步得出BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出DCE是直角三角形，问题得解【详解】解： （1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）ABCDBE，BC=BE，CBE=60，BCE是等边三角形；ABCDBE，BE=BC，AC=ED；BCE为等边三角形，BC=CE，BCE=60，DCB=30，DCE=90，在 RtDCE中，DC2+CE2=DE2，DC2+BC2=AC2变式 32 如图，在ABC中，BAC 90，E为边BC上的点，且AB AE，D为线段BE的中点，过点E作EF AE，过点A作AFBC，且AF、EF相交于点F.1010 /1818（1）求
19、证：C BAD（2）求证：AC EF【答案】 （1）见解析； （2）见解析【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得ADBC，由余角的性质可得C=BAD；（2）由“ASA”可证 ABCEAF，可得 AC=EF【详解】 （1）如图AB AE，ABE是等腰三角形又D为BE的中点，AD BE（等腰三角形三线合一）在RtABC和RtDBA中，B为公共角，BAC BDA90，C BAD.另解：D为BE的中点，BD ED，又AB AE，AD AD，ADB ADE，ADB ADE，又ADBADE 180，ADBADE 90ADBC，在RtABC和RtDBA中，B为公共角，BAC BDA90，C BAD.（2）A
20、FBC，EAF AEB，AB AE，ABE AEB，EAF ABC，又BAC AEF 90，BAC AEF，AC EF.考查题型四考查题型四 全等三角形全等三角形 垂线模型垂线模型典例 4在ABC中，ACB90，ACBC，直线 MN经过点 C，且 ADMN于 D， BEMN于 E(1)当直线 MN绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；(2)当直线 MN绕点 C 旋转到图 2 的位置时，试问 DE、AD、BE 的等量关系?并说明理由【答案】 （1）见解析； （2）DE=AD-BE，理由见解析1111 /1818【分析】 （1）由已知推出ADC=BEC=90，因为ACD+BCE=9
21、0，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据 AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到 AD=CE，CD=BE，即可得到答案 【详解】解： （1）证明：如图 1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，CDA BECDAC=BCE，在ADC和CEB中，DAC ECB，ADCCEB（AAS） ；AC BC（2）结论：DE=ADBE 理由：如图 2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90，EBC+ECB=90，ACB=90，ECB+ACE=90，ACD CBEACD=EBC，在ADC
22、和CEB中，ADC BEC，ADCCEB（AAS） ，AC BCAD=CE，CD=BE，DE=ECCD=ADBE 变式 41 在直角三角形 ABC中，ACB 90 ,BAC 30，分别以 AB、AC为边在ABC外侧作等边ABE和等边ACD，DE交 AB 于点 F，求证：EF FD.【答案】详见解析【分析】过点 E作EGAB于点 G，则有AG BG 11AE AB，再证22ACB EGASAS，得到EG AC.从而得到DAF DACCAB90，所以ADF GEF(AAS)，即可完成证明。.【详解】证明：过点E 作EGAB于点 G.ABE是等边三角形，AG BG 111AE AB，又RtABC中B
23、C AB（直角三角形30的角所对的边等于斜边的2221212 /1818一半） ，ACB EGASAS，EG AC.DAF DACCAB90，ADF GEF(AAS)，EF FD.变式 42 如图，在ABC中，ABC 90，AB BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点，点C的横坐标为3，求点B的坐标.【答案】B（0，3 ） 【分析】如图，作 CDy轴于 M，则 CD=3，证明BCDABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作 CDy轴于 M，则 CD=3，ABC=AOB=90，CBD+ABO=90，ABO+OAB=90，CBD=BAO，又BDCAOB=90，BCAB，BCDABO(AAS)
24、，OB=CD=3，B(0，3) 考查题型五考查题型五 线段之间存在的数量关系线段之间存在的数量关系典例 5在ABC中，ACB=2B， （1）如图，当C=90，AD 为ABC的角平分线时，在 AB上截取 AE=AC，连接 DE，易证 AB=AC+CD请证明 AB=AC+CD；（2）如图，当C90，AD 为BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；如图，当C90，AD为ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明1313 /1818【答案】 （1）证明见解析； （2）AB=AC+CD；AC+AB=CD，证明见
25、解析【详解】解： （1）AD为ABC的角平分线，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS） ，ED=CD，C=AED=90，ACB=2B，C=90，B=45，BDE=45，BE=ED=CD，AB=AE+BE=AC+CD；（2）AB=AC+CD理由：在 AB上截取 AE=AC，连接 DE，AD为ABC的角平分线，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS） ，ED=CD，C=AED，ACB=2B，AED=2B，B+BDE=AED，B=BDE，BE=ED=CD，AB=AE+BE=AC+CD
26、；AC+AB=CD理由：在射线 BA上截取 AE=AC，连接 DE，AD为EAC的角平分线，EAD=CAD，在AED和ACD中，AE=AC，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD（SAS） ，ED=CD，ACD=AED，ACB=2B，设B=x，则ACB=2x，EAC=3x，EAD=CAD=1.5x，ADC+CAD=ACB=2x，ADC=0.5x，EDC=x，B=EDC，BE=ED=CD，AB+AE=BE=AC+AB=CD变式 51 如图，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC AB CD.1414 /1818【答案】详见解析【分析】在 BC上取点 F，使 BF=B
27、A，连接 EF，由角平分线的性质可以得出1=2，从而可以得出ABEFBE，可以得出A=5，进而可以得出CDECFE，就可以得出 CD=CF，即可得出结论【详解】在 BC上取点 F，使 BF=BA，连接 EF，BE、CE 分别是ABC和BCD的平分线，AB FB1=2，3=4，在ABE和FBE中，1 2，ABEFBE(SAS)，BE BEA=5，ABCD，A+D=180，5+D=180，5+6=180，6=D，6 D在CDE和CFE中，3 4，CDECFE(AAS)，CF=CDCE CEBC=BF+CF，BC=AB+CD变式 52 如图，在ABC中，CACB,ACB90，O为AB的中点，D，E
28、分别在AC,BC上，且OD OE求证：CE CD AC【答案】证明见解析【分析】如图（见解析） ，先根据等腰三角形的三线合一可得CO AB，ACO BCO 1ACB，2从而可得A B ACO BCO 45，再根据等腰三角形的定义可得OC OA，然后根据角的和差、等量代换可得AODCOE，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得ADCE，据此根据线段的和差即可得证【详解】如图，连接OC，AC BC，O 为AB的中点，1515 /1818CO AB，ACO BCO 1ACB（等腰三角形的三线合一） ，ACB90，2A B ACO BCO 45，OC OA，OD OE，DOE90，DOC COE 90
29、，又CO AB，DOCAODAOC 90，AODCOE，A ECO在OAD和OCE中，OA OC，OAD OCE(ASA)，AOD COEADCE，ADCD AC，CE CD AC变式 5-3如图，在ABC中，ACB90，BC 2AC.(1)如图 1，点D在边BC上，CD 1，AD 5，求ABD的面积.(2)如图 2，点F在边AC上，过点B作BE BC，BE BC，连结EF交BC于点M，过点C作CG EF，垂足为G，连结BG.求证：EG 2BGCG.【答案】 （1）3； （2）见解析【分析】 （1）根据勾股定理可得 AC，进而可得 BC与 BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点 B
30、作 BHBG交 EF于点 H，如图 3，则根据余角的性质可得CBG=EBH，由已知易得BEAC，于是E=EFC，由于CG EF，ACB90，则根据余角的性质得EFC=BCG，于是可得E=BCG，然后根据 ASA可证BCGBEH，可得 BG=BH，CG=EH，从而BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论【详解】解： （1）在ACD中，ACB90，CD 1，AD BC 2AC，BC=4，BD=3，SABD5，AC AD2CD2 2，11BD AC 32 3；22（2）过点 B作 BHBG交 EF于点 H，如图 3，则CBG+CBH=90，BE BC，EBH+CBH=90，CBG=EBH，BE B
31、C，ACB90，BEAC，E=EFC，1616 /1818CG EF，ACB90，EFC+FCG=90，BCG+FCG=90，EFC=BCG，E=BCG，在BCG和BEH中，CBG=EBH，BC=BE，BCG=E，BCGBEH（ASA） ，BG=BH，CG=EH，GH BG2BH22BG，EG GH EH 2BGCG变式 54 如图，等腰ABC中，ABAC，点 D是 AC 上一动点，点 E 在 BD的延长线上，且 ABAE，AF 平分CAE交 DE 于 F（1）如图 1，连 CF，求证：ABEACF；（2）如图 2，当ABC60时，求证：AF+EFFB；（3）如图 3，当ABC45时，若 BD
32、平分ABC，求证：BD2EF【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析； （3）详见解析【分析】 （1）先根据 SAS证得ACFAEF，推出EACF，再根据等腰三角形性质推出EABF，即可得出结论；（2）在 FB上截取 BMCF，连接 AM，证ABMACF，推出 EFFCBM，AFAM，再证得AMF是等边三角形，于是可得MFAF，即可证得结论；（3）连接 CF，延长 BA、CF 交 N，根据 ASA证BFCBFN，推出 CN2CF2EF，再根据 ASA证明BADCAN，推出 BDCN，即可得出答案【详解】证明： （1）AF平分CAE，EAFCAF，AC AEABAC，ABAE，AEAC，在AC
33、F和AEF中，CAF EAF，AF AF1717 /1818ACFAEF（SAS） ，EACF，ABAE，EABE，ABEACF（2）ACFAEF，EFCF，EACFABM，在 FB 上截取 BMCF，连接 AM，如图 2，AB AC在ABM和ACF中，ABM ACF，ABMACF（SAS） ，AMAF，BAMCAF，BM CFABAC，ABC60，ABC是等边三角形，BAC60，MAFMAC+CAFMAC+BAMBAC60，AMAF，AMF为等边三角形，AFAMMF，AF+EFBM+MFFB，即 AF+EFFB（3）连接 CF，延长 BA、CF 交于点 N，如图 3，ABC45，BD 平分ABC，ABAC，ABFCBF22.5，ACB45，BAC180454590，由（1）的结论得：ACFABF22.5，BFC18022.54522.590，BFNBFC90，NBF CBF在BFN和BFC中，BF BF，BFNBFC（ASA） ，CFFN，BFN BFC由（2）题得：CFEF，则 CN2CF2EF，BAC90，NACBAD90，ABD ACN在BAD和CAN中，AB AC，BADCAN（ASA） ，BDCN2CF2EFBAD CAN1818 /1818