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1、第4章向量空间和线性变换向量空间是线性代数的主要研究对象之一,是一个非常抽象的概念.受学时的限制,我们只能介绍一些基本内容.向量空间是一个代数系统,即由向量组成的集合以及定义在该集合上的运算组成.在向量空间中,只有两种运算:向量的加法(向量与向量的相加)与数乘(数与向量的数量乘法).有了这两种运算,我们引入了线性组合、线性表示以及向量组的线性相关性、最大线性无关组的概念.本章在此基础上,讨论的基以及向量的坐标的概念.一个向量空间可以有不同的基,不同的基之间有什么关系?这就是过渡矩阵的概念.基改变了,向量的坐标也跟着改变,这就是基变换与坐标变化的概念.进而我们在中引入向量的内积运算,在向量空间中
2、建立度量的性质,这里主要有两个:即向量的长度与向量的正交.我们希望构造一个长度为1的两两正交的基,即标准正交基.由此,我们引进一种特殊矩阵-正交矩阵.关于线性变换,主要介绍中的线性变换及其矩阵表示.定义定义4.1设有序向量组B 1,2,nRn，若B线性无关，且Rn中任意一个向量 均可以由B线性表示为 =a1 1+a2 2+an n则称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1,a2,an)是向量 关于基B（或在基B下）的一组坐标(坐标向量),记作 B=(a1,a2,an)T或 B=(a1,a2,an)T4.1 4.1 R Rn n 的基及向量关于基的坐标Rn的基不是唯一的，而 在给定基下的坐标
3、是唯一确定的Rn中n个单位向量组成的基称为自然基.;的一个基,是也是的一个基,向量向量可见,同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的.而求在基B 1,2,n下的坐标,相当于解方程组例例1Rn有一组基B=1,2,n，其中求=(a1,a2,an)在基B下的坐标.解解设=x11+x22+xnn=x1=a1,x2=a2 a1,xn=anan-1亦即所以，在基B下的坐标为 B=（a1,a2 a1,anan-1）T。即解这个方程组，得定理定理4.1 4.1 设 B1=1,2,n是R Rn的一组基,且则 1,2,线性无关的充要条件是 n的充要条件是由只有零解.证证:1,2,n线性无关及因 1,2,n线性无关，
4、i 的系数全为零,即(i=1,n)只有零解即只有零解|A|0.矩阵A A=(aij)nn叫做基B1变为基B2的变换矩阵(或称过渡矩阵).过渡矩阵A A是可逆的;A A 的第 j 列是 j 在基 1,2,n下的坐标.定义定义 4.24.2 两组基B1=(1,2,n)和B2=(1,2,n)的关系，用矩阵的形式表示为(1,2,n)(1,2,n)定理定理4.24.2 设基B1变为基B2的变换矩阵为A A，向量 在B1,B2下的坐标分别为则 =(1,n)AyAy=x x 或 y y=A A1x x=(1,n)=(1,n)A）其中(1,n)=(1,n)A由于 在基B1=(1,n)下的坐标是唯一的，所以x=
5、Ay 或y=A1x例例2已知B2=1,2,3是R3一组基，1=(1,2,1)T,2=(1,1,0)T,3=(1,0,1)T.求R3的自然基B1=e1,e2,e3到基B2的过渡矩阵A.解:由即得自然基B1到基B2的过渡矩阵注意:A是 1,2,3按列排成的矩阵例例3 3 已知R R3的两组基B1=1,2,3,B2=1,2,3 为 1=(1,1,1)T,2=(0,1,1)T,3=(0,0,1)T 1=(1,0,1)T,2=(0,1,1)T,3=(1,2,0)T (1)求基 B1到基 B2的过渡矩阵A A;(2)已知 在基 B1下的坐标为x x=(1,2,1)T，求 在基B2下的坐标y y。解(1)设
6、(1,2,3)=(1,2,3)为所求的过渡矩阵即 在基 B2下的坐标 y y，由定理定理 4.2 4.2得得解(2)方法1y=A1 x=求解即方法方法2 2 已知 在基 B1下的坐标为 x x=(1,2,1)T，即 =1 2 2 3=(1,1,2)T 在基 B2下的坐标为 y y，则 =y1 1+y2 2+y3 n在平面直角坐标系中，坐标轴旋转的坐标变换公式将将坐标系OxyOxy绕原点O按按逆时针方向旋转角,得,OxyOxy的自然基B B1 1=e e1 1,e,e2 2=(1,0),0,1=(1,0),0,1 变换为的基B B2 2=由图得即基B B1 1 变为基B B22的变换矩阵A A.
7、设点设点P P在基在基B B1 1和和B B2 2下的坐标分别为下的坐标分别为(x x,y y)和和()，则，则oxyxoP()P(x,y)y练习：设向量组 1,2,3为R3的基;（1）求 的值，使(2)此时,求 在该基下的坐标.（1）(2)4.2 Rn向量的内积 标准正交基和正交矩阵4.2.1n 维实向量的内积欧氏空间空间几何向量的运算中，讲过向量的长度、夹角都可由向量的内积表示，而且向量的内积满足4条运算规则.定定义义4.34.3 设 =(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T Rn,规定,的内积为(,)=a1b1+a2b2+anbn当 ,为列向量时，(,)=T=T 现在，推广到
8、n 维实向量.由定义易得内积有下列性质：,R Rn,R R（1 1）(,)(,)（对称性）；（2 2）(+,)=(,)+(,);（3 3）(,)=(,);(2)(3)称为线性性）（4 4）(,)0,等号成立当且仅当 =0 0（非负性）定义定义4.44.4 向量 的长度定义定义4.4.5 5 非零向量,的夹角定义为定义定义4.64.6 定义了内积运算的n维向量空间称为n维欧几里得空间（欧氏空间，Euclid空间）.定理4.3 向量 的内积满足（即Cauchy-Schwarz不等式）证：当 =0时，(,)=0，=0，结论成立；=4(,)2 4(,)(,)0即当 0时，令=+(R),则(,)0。(,
9、)=(+,+)=(,)+2(,)+(,)20由这个关于的二次三项式的非负性，即得其判别式上式等号成立当且仅当,线性相关（请同学自己证明）.=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T时，不等式为当 时，(,)=0，得勾股定理：+2=2+2由定义4.5可得:定理定理4.4.4 非零向量 ,正交(即 )当且仅当(,)=0.由于零向量与任何向量的内积为零，所以零向量与任何向量正交.该结论对n维空间也成立：R R3 3 中的三角不等式和中的三角不等式和勾股定理：例已知中两个向量正交,求非零向量,使两两正交.解:设则应满足即取(答案不唯一答案不唯一)定理定理4.5Rn中两两正交的不含零向量的向量组
10、（也称非零正交向量组）1,2,m 是线性无关的.证法证法1设1 1+2 2+m m=0则(1 1+j j+m m,j)=1(1,j)+j(j,j)+m(m,j)=j(j,j)=0而(j,j)0,故j=0(j=1,2,m),故 1,2,m线性无关.4.2.24.2.2标准正交基证法证法2反证法：设 1,2,m线性相关，于是其中有一个向量可由其余向量线性表示，不妨 1=2 2+m m则(1,j)=(2 2+j j+m m,j)（j1）=2(2,j)+j(j,j)+m(m,j)=j(j,j)=0而(j,j)0，故j=0(j=2,3,m)，从而 1=0与定理的假设矛盾，故 1,2,m线性无关.定义定义
11、4.7设 1,2,nRn，若则称 1,2,n为Rn的一组标准正交基（或单位正交基）。（每个基向量都是单位长，而且基向量两两正交）例如自然基e1,e2,en是一组单位正交基.解解设 =a1 1+ai i+an n,作内积(,i)=a1(1,i)+ai(i,i)+an(n,i)=ai(i,i)=ai ,i=1,2,n所以，=(,1)1+(,2)2+(,n)n例例1设B=1,2,n是Rn的一组标准正交基，求Rn中向量 关于基B的坐标.在标准正交基 1,2,n下的坐标的第i 个分量是(,i)，即 在 i上的投影.4.2.3 施密特（Schmidt）正交化方法由前面的定理知道,正交向量组必定是线性无关的
12、;反过来,则不一定.下面要介绍的施密特正交化方法,正是对中一组线性无关的向量组进行线性运算,构造一组标准正交向量组的方法.Rn我们先在R3中，直观地了解由一组基 1,2,3 如何构造出一组单位正交基。o2=2 12 1=1 12 2令 1=1,求 2在 1上的投影向量 12：取 2=2 12=2 k12 1则 2 1，由于 3与 1,2不共面，记 3在 1，2平面上的投影向量为 3，则 3，2，1两两正交,再单位化，得则 1,2,3为R3中的一组单位正交基.3=33 2 3 3 23 1 13o由Rn中的一组基1,2,n构造一组单位正交基的方法：取 1=1,2=2 +k12 1由于 1,2 线
13、性无关，所以 2 0，我们的目的是使 2 与 1正交,即 (2,1)=(2+k12 1,1)=(2,1)+k12(1,1)=0从而使 m 与 i(i=1,2,m1)正交，即(m,i)=(m,i)+kim(i,i)=0,得再令 3=3+k23 2+k13 1使 3与 2,1正交，即(3,2)=(3,1)=0,继续施行上述运算,令 m=m+km1,m m1+k2m 2+k1m 1(i=1,2,m1)同样可得 m=m+km1,m m 1+k2m 2+k1m 1当m=n时，即得两两正交的非零向量组（基）1,2,n.代入代入则 1,2,n为Rn中的一组标准正交基。称此法为施密特施密特施密特施密特（Sch
14、midt）正交化方法正交化方法。Rn中的标准正交基不是唯一的.将得得再将 1,2,n单位化，令例例2已知已知B=1,2,3是R3的一组基，其中 1=(1,1,0),2=(1,0,1),3=(1,1,1)。试用Schmidt正交化方法，由B构造R3的一组标准正交基.解解 取 1=1=(1,1,0)，则即得R3的一组单位正交基 1,2,3.再将 1,2,3单位化得标准正交基：4.2.4 正交矩阵及其性质定义定义4.8n阶实矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=I。定理定理4.6A为n阶正交矩阵的充要条件是:A的列向量组是Rn的一组标准正交基.即A的列向量组是Rn的一组标准正交基.证：设ATA=I的充要条
15、件是证证(1)由ATA=I，即得ATA=ATA=A2=1，故A=1;(2)由ATA=I，即得A1=AT;(3)因为(AT)TAT=AAT=AA1=I,故AT=A1也是正交矩阵，从而正交矩阵A的行向量组也是Rn的一组单位正交基;(4)由于(AB)T(AB)=(B TAT)(AB)=BT IB=BT B=I，所以，AB 也是正交矩阵.定理定理4.7设A,B都是为n阶正交矩阵，则(1)A=1或1;(2)A1=AT;(3)A1(即AT)也是正交矩阵；(4)AB也是正交矩阵.定理定理4.8若列向量x,yRn，在n阶正交矩阵A作用下变换（称为欧氏空间的正交变换）为Ax,Ay Rn，则向量的内积、长度及向量
16、间的夹角都保持不变，即(A x,Ay)=(x,y)Ax=x y=y Ax,Ay=x,y当x=y时，(Ax,A x)=(x,x),即Ax=x，同理Ay=y.证证(1)(Ax,Ay)=(Ax)TAy=xT(ATA)y=(x,y)(因ATA=I)2、在线性空间中,定义又由此出发,构造的一个标准正交基.1、设线性方程组（1）求方程组的解空间的一个标准正交基；（2）将该基扩充为的一个标准正交基.练习4.34.3线性空间的定义及简单性质线性空间的定义及简单性质 定定义义4.94.9设V是一个非空集合，F是一个域，在V中定义两种运算：一 是 加 法 运 算，对V任 意 元 素,有 唯 一 的 与之对应,记作
17、 ;二是数乘运算，对F中数和V中元素,有唯一的 与之对应,记作 .若对以上所定义的运算满足以下8条运算规则:,V,F有,（交换律）（结合律）（分配律）(1)+=+；(2)(+)+=+(+);(3)存在 V,使 +=，其中 称为V 的零元素;(4)存在 V,使 +()=，其中 称为 的负元素;(6)k(l )=(k l);(7)(k+l)=k +l ;(8)k(+)=k +k （分配律）（结合律）则称V为域F上的线性空间.(5)1 =;F为实(复)数域时，称为实(复)线性空间.V中的元素也称为向量，线性空间中的加法与数乘运算称为线性运算.为了研究线性方程组的解,我们定义了 维向量的加法与数乘运算
18、,讨论了向量关于线性运算的线性相关性,完整地阐明了线性方程组的解的结构.在全体 维向量组成的集合中,定义了向量的加法和数乘运算,就得到了实数域上的 维向量空间,记作 .可以验证,对两种运算封闭,且满足8条运算规则.除了 维向量组成的集合,还有很多其他类型的集合,也可以在其中定义加法和数乘运算,使得相应的集合对两种运算封闭,且满足8条运算规则.因此,撇开集合的具体内容和两种运算的具体含义,把集合对两种线性运算的封闭性以及运算规则抽象出来,就是线性空间概念产生的背景.数学的这种抽象,可以使得线性空间的理论在更广的范围内得到应用.可见,线性空间给出的是集合元素之间的线性关系,是一个很广泛的概念.例例
19、1数域F上的全体多项式组成的集合，对多项式的加法与数乘多项式运算在数域F上构成线性空间,记为Fx.因为 Fx关于两种运算封闭；Fx的零元素是零多项式;f(x)Fx的负元是(1)f(x);加法和数乘运算满足定义中的8条.同样，次数小于小于n的全体实系数多项式组成的集合是实数域R上的线性空间，记为Rxn数域F上的次数等于等于n的全体多项式组成的集合对多项式的加法与数乘多项式运算不构成线性空间.因为此集合对加法不封闭.例例2全体mn实矩阵对矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间，记为Rmn（或Mmn(R).其零元素是mn零矩阵;任一元素A的的负元是(1)A.例例3定义在区间a,b上的全体连续实函数
20、，对通常的函数加法和数与函数的乘法在实数域R上构成一个线性空间，记为Ca,b.其零元是零函数，即xa,b,f(x)=0;每个函数f(x)的负元是f(x).(a,b)上的全体k阶导数连续的实函数集合Ck(a,b)，对同样的加法和数乘运算也构成线性空间.线性空间的简单性质：1.线性空间V(F)的零元是唯一的。设 1,2 都是V(F)的零元，则 1 =1 +2=2 +1 =22.线性空间中每一个元的负元是唯一的。设 1,2都是 的负元，+1=+2=,1 =1 +=1 +(+2)=(1 +)+2 =+2 =2定义：=+()3.数乘运算的分配律对元素的减法和向量的减法也都成立，即 ,V，,F,则 (1)
21、()=；(2)()=。证证 (1)由 ()+=()+=+()+)=(+)=(2)()=由()+=()+=两边分别加()，得()=上式两边分别加()得()=由线性空间的性质知：线性空间V(F)中元素作线性运算所得的方程,如+1 1+2 2+r r=当0时,其解为=11 112 21r r5.若 =，则=0或=.如果0,则=(1)=1=1()=1 4.k =;(l)=(l )（简记为l ）k()=(k);0=;特别地，(1)=;线性空间V(F)的子集W关于V(F)的两种线性运算可能封闭，也可能不封闭。例如 R R3 的下列子集：W1=(x1,x2,x3)x1 x2+5x3=0W2=(x1,x2,x
22、3)x1 x2+5x3=1是起点在原点，终点在平面 x1 x2+5x3=0上的向量集合；是起点在原点，终点在平面 x1 x2+5x3=1上的向量集合.简称：W1 是过原点的平面 x1 x2+5x3=0上的全体向量；W2是不过原点的平面 x1 x2+5x3=1上的全体向量.W1关于向量的加法和数乘是封闭的，称之为R R3的子空间.而W2关于R R3的线性运算不封闭，不能构成线性空间.4.4线性子空间再证V(F)的零元 W，W中每个元 的负元()W。由于W对数乘封闭，W，F,均有 W。取=0和1，即得0=0W,(1)=W故W是V(F)的线性子空间。定义定义4.10设W是线性空间V(F)的非空子集，
23、如果W对V(F)中定义的线性运算也构成域F上的线性空间，则称W为V(F)的线性子空间(简称子空间)。定理定理4.9线性空间线性空间V(F)的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W对于V(F)的两种线性运算封闭。证必要性是显然的。充分性充分性：由于W是V(F)的子集，所以V(F)中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对W都成立。当S=1,k是有限集时，称L(1,k)为由 1,k生成的子空间。如齐次线性方程组Ax=0的解集合是由其基础解系生成的子空间;R3中过原点的平面上的全体向量所构成的子空间是平面上任意两个线性无关的向量生成的子空间。例设证明:是的线性子空间,并求的维数和一个基.是一组基
24、是一组基.例例1在线性空间在线性空间V中，仅含零元的子集 是V的一个子空间，叫做零子空间；V本身也是V的一个子空间。它们称为V的平凡子空间，V的其他子空间称为非平凡子空间。例例2AF mn,齐次线性方程组Ax=0的解集合S=x|Ax=0是Fn的一个子空间,叫做齐次线性方程组Ax=0的解空间(或矩阵A的零空间)记作N(A)。但Ax=b的解集合不构成线性空间，也不是Fn子空间。例例3全体n阶实矩阵，实对角矩阵，实对称矩阵，实上(下)三角矩阵分别组成的集合,都是Rnn的子空间。例例4R3 的下列子集W1=(x,y)x/3=y/2=z是过原点的直线是不过原点的直线则W1是R3的一个子空间，而W2不是子
25、空间W2=(x,y,z)x+y+z=1且xy+z=1定定理理4.10设S是线性空间V(F)的非空子集，则S中一切向量组的所有线性组合所组成的的集合是V中包含S的最小子空间。(称L(S)为S的线性扩张)L(S)=1 1+k k|1,kF,1,kS,kN 证证:L(S)显然包含S。设,L(S)，则存在 1,m,；1,2,m F,使得 =1 1+2 2+m m 存在 1,n S,1,n F，使得 =1 1+n n于是+=1 1+2 2+m m+1 1+n n L(S)加法封闭数乘封闭 F,也有=1 1+2 2+m mL(S)所以L(S)是V的一个子空间。再证L(S)是包含S的最小子空间.设W*是V(
26、F)中包含S的任一子空间，则=1 1+2 2+m m L(S)由于 1,2,mSW*，所以 W*，从而L(S)W*。因此L(S)是V(F)中包含S的最小子空间。定理定理4.11设W1,W2是数域F上线性空间V(F)的两个子空间,W1=L(1,m)；W2=L(1,n)则W1=W2的充分必要条件是 1,m,与 1,n可以相互线性表示（两向量组等价）。证证:必要性是显然的（证明留给读者）。充分性：设=1 1+2 2+m mW1，因为 i（i=1,2,m）可以由 1,n线性表示,所以,可以由 1,n线性表示,即存在1,n F，使得 =1 1+n n W2故W1W2。同理可证，W2W1。所以，W1=W2
27、。定义定义4.11设W1,W2是线性空间V(F)的两个子空间，则 W1W2=W1且 W2W1+W2=1+2,1W1,2W2分别称为W1,W2的交与和。如果W1W2=，则称W1+W2为直和，记作W1W2需要注意：W1,W2的和与W1,W2的并是不同的概念。证证：W1W2是V(F)的子空间是显然的。对W1+W2，设,W1+W2,即存在 1,1W1,2,2W2,使得=1+2,=1+2,，于是 +=(1+2)+(1+2)=(1+1)+(2+2)W1+W2加法封闭数乘封闭F;=(1+2)=1+2W1+W2故W1+W2是V(F)的一个子空间.定理定理4.124.12 线性空间V(F)的两个子空间W1,W2
28、 的交 与和都是V(F)的子空间。定义定义4.12矩阵A的列(或行)向量组生成的子空间，称为矩阵A的列(行)空间。记作R(A)(或R(AT)。若AM mn(R),A的列向量组 1,nRm,则R(A)=L(1,n)是Rm的子空间A的行向量组 1,m,Rn,则R(AT)=L(1,m)是Rn的子空间非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：b为A的列向量组的线性组合，即b属于A的列空间，bR(A)。定义定义4.13 设设 Rn,W是Rn 的一个子空间，如果 W，均有(,)=0，则称 与W正交,记作 W。定定义义4.14设设W1,W2是Rn的两个子空间。如果 W1,W2均有(,)=0,则称它们互相
29、正交，记作W1W2.如z轴上的全体向量构成R3的子空间W1,xOy平面上的全体向量构成R3的子空间W2，则W1W2。但两个互相垂直的平面上的全体向量构成R3的两个子空间V1和V2不是正交的子空间.的每一个解向量与系数矩阵A的每一个行向量都正交，所以解空间N(A)与A的行空间R(AT)正交。即。N(A)R(AT)齐次线性方程组Ax=0,即定理定理4.13Rn中与子空间V正交的全部向量所构成的集合W=|V，Rn是Rn的一个的子空间。证：因为零元 垂直任何向量，所以 W，故W。设 1,2W，V,(1,)=(2,)=0(1+2,)=0(k 1,)=0于是 1+2V,k 1V。所以，1+2W,k 1W。
30、故W是Rn的一个的子空间.定义定义4.15Rn中与子空间V正交的全体向量构成的子空间W，称为V的的正交补,记作W=V例如Ax=0的解空间N(A)是由与A的行向量都正交的全部向量构成,即N(A)=(R(AT)4.5线性空间的基、维数、向量的坐标由于Fn 中向量的线性运算和线性空间V(F)的线性运算满足同样的8条规则，所以Fn中向量的线性相关性的定义和基本结论也适用于线性空间V(F).V中的零元 对应Fn中x的零向量0.例例1证明:线性空间Rxn中元素f0=1,f1=x,f2=x2,fn1=xn 1是线性无关的.证证：设 k0f0+k1f1+k2f2+kn 1 fn1 =(x),即 k0+k1 x
31、+k2 x2+kn1 xn1 =(x)(x)是零多项式.所以，k0=k1=k2=kn1=0.故1,x,x2,xn 1 是线性无关的。称其为Rxn 的自然基.例例2证明:线性空间R22中的元素是线性无关的.证证：设k1A1+k2A2+k3A3+k4 A4 =022所以A1,A2,A3,A4是线性无关的.A=aE11+b E12+c E21+dE22 的表示法是的.定义定义4.16如果线性空间V(F)中存在线性无关的向量组B 1,2,n且任意一个向量 V均可以由B线性表示为 =x1 1+x2 2+xn n则称V是n维线性空间(dimV(F)=n）,B是V的一个基(基底)。线性无关.A,E11,E1
32、2,E21,E22是线性相关的.且有序数组(x1,x2,xn)是向量 关于基B（或在基B下）的坐标(向量),记作 B=(a1,a2,an)TFn1,x,x2,xn(n为任意正整数)是线性无关的,所以，Rx是无限维的;1,x,x2,xn1 是Rxn的基,dimRxn=n;E11,E12,E21,E22是R22的基，dimR22=4在n维线性空间V中，任一向量都可唯一地表示为基B=1,n的线性组合.由定理3.4可知，在n维线性空间V中，任何n+1个向量 1,2,n+1都是线性相关的.n维线性空间V中任何n个线性无关的向量组成的集合 B*=1,n都是V的一个基.有限维线性空间的基并不唯一，但任一组基
33、所含向量的个数是唯一确定的，即等于dimV(F).线性空间V的零子空间 的维数为零.生成子空间L(1,r)的维数dimL(1,r)=秩(1,r)L(1,r)的基是 1,r的极大线性无关组.齐次线性方程组Amnx=0的基础解系是解空间N(A)的基。dimN(A)=nr(A)所以dimN(A)+dim(R(AT)=n矩阵A的列空间R(A)和行空间R(AT)维数都等于r(A).定理定理4.14如果W是n维线性空间V的一个子空间，且B1=1,m是W的基，则W的基B1可以扩充为V的基.证：证：如果m=n,B1就是V的基。如果m n，则必存在 m+1V使 1,m，m+1线性无关，否则，dimV=m n,与
34、假设矛盾。如果m+1=n,定理已得证。如果，m+1 n,继续上述步骤，必存在 m+2,nV，使 1,m，m+1,n线性无关，这就是V的基。证证：设dimW1=s,dimW2=t,dim(W1W2)=r,W1W2=L(1,2,r)W1=L(1,2,r,1,s-r)W2=L(1,2,r,1,t-r)于是W1+W2=L(1,2,r 1,s-r,1,t-r如此，只要证明dim(W1+W2)=s+tr,即s+tr个向量 1,r,1,s-r,1,t-r是线性无关的。设 a1 1+ar r+b11 +bs-r s-r+c1 1+ct-r t-r=即a1 1+ar r+b1 1+bs-r s-r=c1 1ct
35、-r t-r 定理定理4.14.15(5(子空间的维数公式)设W1,W2是线性空间V的一个子空间，则 dim W1+dim W2=dim(W1+W2)+dim(W1W2)W1+W2=L(1,r,1,s-r,1,t-r)且dim(W1+W2)=s+tr=dimW1+dimW2dim(W1W2)代入，再由 1,r,1,s-r是W1的基，又得a1=ar=b1=bs-r=0所以式中的向量组线性无关。即式两端的向量分别属于W1,W2,所以它们都属于W1W2，于是可以用W1W2的基线性表示为 c1 1 ct-r t-r=d1 1+dr r即c1 1+ct-r t-r+d1 1+dr r=左端是W2的基的线
36、性组合，所以，c1=ct-r=0注意:(1)与Fn 中的情况类似，在V(F)中的基不是唯一的，而向量在给定基下的坐标是唯一确定的。(2)基B1变为基B2的变换矩阵(过渡矩阵）A A=(aij)nn是可逆的;(3)定义4.2和定理4.2 的坐标变换公式：A A y y=x x 或 y y=A A1x x成立;(4)给定了V(F)的基 B=1,2,n，当 =a1 1 +a2 2 +an n，=b1 1 +b2 2 +bn n 时，V中元素 与 Fn 中的向量(a1,a2,an)一一对应；而且保持元素间的线性运算关系不变，V(F)中的 对应 Fn 中的 B +BV(F)中的 对应 Fn 中的 B 即
37、 B(a1,a2,an),B(b1,b2,bn)(4)给定了V(F)的基 B=1,2,n，当 =a1 1 +a2 2 +an n，=b1 1 +b2 2 +bn n 时，V中元素 与 Fn 中的向量(a1,a2,an)一一对应；而且保持元素间的线性运算关系不变，V(F)中的 对应 Fn 中的 B +BV(F)中的 对应 Fn 中的 B 即 B(a1,a2,an),B(b1,b2,bn)则 ()B=(a1+b1,a2+b2,an+bn)=B +B()B=(a1,a2,an)=B (也称V(F)与Fn同构)由此，研究任何n维线性空间V(F)，都可以通过基和坐标，归结为研究n维向量空间Fn。这样我们
38、对各种各样的n维线性空间就有了统一的研究方法，统一到研究 Fn。如果把Fn的元素(a1,a2,an)看成是 n维几何向量(即以(e1,e2,en)为基的向量的坐标)，那么Fn又可以看成通常的几何向量空间Rn。因此，线性空间也称向量空间，线性空间中的元素也称向量。例例3证明:B=f0,f1,f2,fn1 是线性空间Rxn的基，其中 f0=1,f1=x,f2=x2,fn1=xn 1,并求p(x)=a0+a1 x+a2 x2+an 1 xn 1 在基B下的坐标。证证：例1已经证明1,x,x2,xn 1 是线性无关的.所以，(p(x)B=(a0,a1,a2,an1)例例3 3 已知B1=g1,g2,g
39、3 和 B2=h1,h2,h3，其中 g1=1h1=1 x x2 g2=1+xh2=3x 2x2 g3=1 x+x2,h3=1 2x2(1)证明 B1,B2 为Rx x3的两组基；(2)求基B1 变为基B2的变换（过渡）矩阵C C；(3)已知可以形式地表示为对B1证：证：(1)可以用Rx x3的自然基B0=f0,f1,f2=1,x,x2表示B1,B2。对B2根据定理4.1,B1,B2 都线性无关，都是Rx x3的基.记为其中由于(2)设基B1到基B2的过渡矩阵为C C，即(3)p(x)在基B2下的坐标y=C1x：得 P P=ACAC,所以基B1变为基B2的变换矩阵 C C=A A 1P P：4
40、.6向量空间的线性变换定定义义4.17 4.17 设X,Y是非空集，如果有一个法则,使X中每个元素 都有Y中唯一确定的元素 与之对应.就称 是X 到Y 的一个映射，记作 :X Y,并称 为 在 下的像，为 在 下的一个原像，记作 ：或 ()=注意：的像是唯一的，但 的原像不一定是唯一的.X 到它自身的映射，也称为X 的变换.(2)Y，都存在 X,使()=,则称 为满射;(1)1,2X,1 2，都有(1)(2)，就称为单射;(3)既是单射又是满射，则称 为双射(一一对应).例例1 1 f(x)=sinx 是 R R 1,1 的一个映射,是满射而不是单射。g(x)=ex 是 R R R R 的一个
41、映射,是单射而不是满射。y=f(x)=ax 是R RR R的一个线性映射,是双射(既是单射且是满射)，且有性质：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(a1x1)=a1f(x1)在n维线性空间中也有类似的例子：设ARmn，xRn,：x Ax 或(x)=Ax Rm是RnRm的一个线性映射(RnRn)的线性映射称为线性变换，满足：例如，二元线性函数 y=f(x1,x2)=a1x1+a2 x2=是R R2R R1的一个线性映射.(x1)=A(x1)=A x1=(x1)(x1+x2)=A(x1+x2)=A x1+A x2=(x1)+(x2)定义定义4.18 设V(F)是线性空间，若V(F)的一个变
42、换满足条件：,V和 F，都有(+)=()+()()=()称为V(F)上的线性变换。()为 的像，为()的原像。可等价地表述为：,V和,F都有(+)=()+()以下以黑体正字母或希腊字母表示线性变换.4.6.1线性变换的定义及其简单性质例例2旋转变换R2中每个向量绕原点按逆时针方向旋转角的变换R(如图)，是R2上的一个线性变换，即 =(x,y)R2,R()=即 R(x,y)=(x,y)x=rcos(+)=rcos cos rsin sin=x cos y siny=rsin(+)=rsin cos+rcos sin=y cos+x sinR()=R(x,y)=(x cos ysin,x sin+
43、y cos)y=(x,y)yx=(x,y)yxxrrO1=(x1,y1)，2=(x2,y2)R2 和,R，R(1+2)=R(x1+x2,y1+y2)=(x1+x2)cos (y1+y2)sin，(x1+x2)sin+(y1+y2)cos)=(x1cos y1sin,x1sin+y1cos)+(x2 cos y2sin,x2 sin+y2 cos)=R(x1,y1)+R(x2,y2）=R(1)+R(2)故R 是R2上的一个线性变换.证明:所以()=+2(,)是线性变换。因为,R2和,R,都有：(+)=(+)+2(+,)其中(,)为 与 的内积.=+2(,)+2(,)=()+()故 是线性变换.l
44、oyxBA C例例3 3 镜像变换(镜面反射)R2中每个向量关于过原点的直线L(看作镜面)相对称的变换，即 R2,()=(如图)也是R2上的一个线性变换。设直线L的一个方向的单位向量为，则证：=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)R3，有P(+)=P(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(a1+b1,a2+b2,0)=(a1,a2,0)+(b1,b2,0)=P()+P()同理，P(k)=kP()(R3,kR)yox(x1,x2,x3)z(x1,x2,0)如果把,的坐标用列向量的形式表示：=(x1,x2,x3)T,=(y1,y2,y3)T,则P()=可以用矩阵表示为例例4 4 把R R
45、3中的向量=(x1,x2,x3)投影到xoy平面上的向量=(x1,x2,0)(如图),则P()=是R3上的线性变换。例例5 5 线性空间Rn上的下列变换：恒等变换 ，()=,（Rn）零变换，()=0,(Rn，0是Rn的零元)数乘变换,()=（Rn，为实常数)都是Rn上的线性变换(读者自己验证)。例6R3中定义变换 (x1,x2,x3)=(x1+x2,x2 4x3，2 x3)=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)R3，有 (+)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(a1+a2+b1+b2，a2+b24 a3 4 b3,2a3+2b3)=(a1+a2，a24a3,2a3)+(b1+b
46、2，b24b3,2b3)=()+()同理，R3，R，有()=()。所以，是R3上的线性变换。例例7 7R3中定义变换(x1,x2,x3)=(x12,x2+x3，x2)则 不是线性的：因为=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)R3，(+)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=(a1+b1)2,a2+a3+b2+b3，a2+b2)(a12,a2+a3，a2)+(b12,b2+b3，b2)=()+()故 不是R3中的线性变换(也可以用()()来证明）.线性空间V(F)上的线性变换有以下性质：(1)(0)=0；()=()（V）;在式()=()中取=0和=1，立即可得.(2)(1+2 2+m
47、 m)=1(1)+2(2)+m(m)(其中 iV,iF,i=1,2,m)可用数学归纳法证之(线性 映 射 把 1,2,m的 线 性 组 合 映 射 为 (1),(2),(m)的同样的线性组合).（3）若V(F)中的向量组 1,2,m线性相关，则它们的像(1),(2),(m)也线性相关。证：由于存在不全为零的数1,2,mF,使得1 1+2 2+m m=0故(1 1+2 2+m m)=(0)即1(1)+2(2)+m(m)=0所以，(1),(2),(m)也线性相关。但(3)的逆命题不成立，即 1,2,m线性无关，其像(1),(2),(m)可能线性相关。如例4中的投影变换 P把 1=(x1,y1,z1
48、)和 2=(x1,y1,z2)（z1 z2)分别变换为P(1)=P(2)=(x1,y1,0)显然 1,2线性无关(因为z1 z2)，而其像线性相关。4.6.2 线性变换的矩阵表示有限维线性空间的线性映射不仅被它的基的像所确定，而且被基的像唯一确定。定理4.16设线性空间V(F)的基B=1,2,n，如果两个线性映射和关于B的像完全相同，即(i)=(i),i=1,2,n则=。证：V(F)，设=x1 1+x2 2+xn n,则()=x1(1)+x2(2)+xn(n)=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(x1 1+x2 2+xn n)=()故=即线性映射被它在基上的像唯一确定。(*)基的像(i)V(
49、F)(i=1,2,n)，可经V(F)的基B=1,2,n线性表示：则（则（*）可用矩阵形式表示为）可用矩阵形式表示为其中的A是（*）中系数矩阵的转置，A的第j列是(j)在基 1,2,n下的坐标:定理定理4.17设V(F)上的线性变换 关于基B=1,2,n的矩阵为A，如果 和()在基B下的坐标分别为x 和y,则y=Ax.定义定义4.19 设B=1,2,n为V(F)的基，为V(F)上的线性变换,把 (1),(2),(n)关于基B的坐标按列排成的矩阵称为 关于基B（对应）的矩阵。选定V的基之后，与矩阵A是一一对应的。注意：对V的不同的基，对应的矩阵一般是不同的。由(1),(3)得 y=Ax，其中()=
50、(1,n)A)x=(1,n)(Ax)(3)代入代入(2)()=(x1 1+x2 2+xn n)=x1(1)+x2(2)+xn(n)=(1),(2),(n)x(2)证：证：已知(在B下的坐标为x)()在B下的坐标为y）=x1 1+x2 2+xn n=(1,n)x ()=(1,n)y(1)例例8 求求例2中的旋转变换R 在标准正交基B=e1,e2(如图)下的矩阵。解：解：(见43页，见教材p191,式(4.24)R()=R(x,y)=(x cos ysin,x sin+y cos)将e1=（1,0），e2=(0,1)代入，得R就是R关于基e1,e2的矩阵y=(x,y)yx=(x,y)yxx11O