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1、 4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中的对应 线段之比（1）什么叫相似三角形？）什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做叫做相似三角形相似三角形.（2）如何判定两个三角形相似？）如何判定两个三角形相似？两个角对应相等；两个角对应相等；两边对应成比例，且夹角相等；两边对应成比例，且夹角相等；三边对应成比例三边对应成比例.回顾与复习回顾与复习ABCA/B/C/ 相似三角形的对应角相似三角形的对应角_ 相似三角形的对应边相似三角形的对应边_想一想想一想: 它们还有哪些性质呢它们还有哪些性质呢?（3）相似三角形有何性质？）相似三角形有何性质
2、？这一节重点研究这一节重点研究相似三角形相似三角形的性质。的性质。 一个三角形有三条重要线段一个三角形有三条重要线段：_ _如果如果两个三角形相似两个三角形相似，那么那么这些对应线段有什么关系呢？这些对应线段有什么关系呢？情境引入情境引入高、中线、角平分线高、中线、角平分线F 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题类问题.如图，小王依据图纸上的如图，小王依据图纸上的ABC， 以以1：2的比例建造了模型房梁的比例建造了模型房梁ABC， CD和和CD分别是它们的立柱。分别是它们的立柱。探究活动：探究活动：探究相似三角形对应高的比探究相似三角形对应高的
3、比. . (1)试写出试写出ABC与与ABC的的对应边对应边之间的之间的关系，关系，对应角对应角之间的关系。之间的关系。 (2)ACD与与ACD相似吗？为什么？如果相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。相似，指出它们的相似比。探究活动：探究活动：探究相似三角形对应高的比探究相似三角形对应高的比. . (3)如果如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？探究活动：探究活动：探究相似三角形对应高的比探究相似三角形对应高的比. .结论：相似三角形对应高的比等于相似比结论：相
4、似三角形对应高的比等于相似比.ACBA B C DDCBAABC 21相似比为相似比为_DAAD 对应高的比对应高的比21（1 1）ACBA B C DDCBAABC 21相似比为相似比为_DAAD 对应中线的比对应中线的比21（2 2）ACBA B C DDCBAABC 21相似比为相似比为_DAAD 对应角平分线的比对应角平分线的比21（3 3）18.3.9 18.3.9 探索新知探索新知？DBAABD,CBBC、DAAD、,k,CBAABC,:1相似吗相似吗与与边上的高边上的高分别为分别为其中其中相似比为相似比为如图如图问题问题 相似三角形的性质相似三角形的性质类似结论类似结论DCBAD
5、CBAk._DAAD,CBBC、DAAD、,k,CBAABC, 则则边上的中线边上的中线分别为分别为其中其中相似比为相似比为如图如图自主思考自主思考-:2问问题题结论：相似三角形对应中线的比等于相似比结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.ACBCBAEEk._,EBBECBAABC、EBBE、kCBAABC则的角平分线分别为其中相似比为如图类似类似结论结论自主思考自主思考-3问问题题结论：相似三角形对应结论：相似三角形对应角的角平分线角的角平分线的比等于相似比的比等于相似比.对应对应高高的比的比对应对应中线中线的比的比对应对应角平分线角平分线的比的比 相相似似三三角角形形都等于都等于相似比相
6、似比.相似三角形的性质相似三角形的性质定理定理 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比应中线的比都等于相似比.议一议议一议解：解： SR AD，BC AD， SRBC ASR = B， ARS = C ASR ABC BCSRADAE 变式变式1 1第四章图形的相似如图如图 4-7-6 4-7-6 所所 示示, , 在等腰三角形在等腰三角形ABCABC中中, , 底边底边 BC=60 cm, BC=60 cm, 高高AD=40 AD=40 cm, cm, 四四 边形边形PQRSPQRS是正方形是正方形. .(1)(1)ASRA
7、SR与与ABCABC相似吗？为什么？相似吗？为什么？(2)(2)求正方形求正方形PQRSPQRS的边长的边长第四章图形的相似解解 (1)(1)相似相似. .理由：理由：四边形四边形PQRSPQRS是正方形是正方形, SRPQ, SRPQASR=ABC,ARS=ACB,ASR=ABC,ARS=ACB,ASRASRABC.ABC.第四章图形的相似解解 (2)(2)设正方形设正方形PQRSPQRS的边长为的边长为xcm,xcm, 则则 S R = x c m , S P = D E = x c m , A E = ( 4 0 - x ) c m . S R = x c m , S P = D E =
8、 x c m , A E = ( 4 0 - x ) c m . ASRASRABC,ABC,AEAD=SRBC. BC=60 cm, AD=40 cm,AEAD=SRBC. BC=60 cm, AD=40 cm,(40-x)40=x60, x=24, (40-x)40=x60, x=24, 即正方形即正方形PQRSPQRS的的 边长为边长为24 cm24 cm8.如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片AD是边BC上的高，BC=40，AD=30从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上AD与HG的交点为M（1）求证： ；（2）求这个
9、矩形EFGH的周长 BCHGADAMDABCHGEFM变式2第四章图形的相似6 6或或8 8例题例题2 2 在在ABCABC中中, AB=9, AC=12, BC=18,D, AB=9, AC=12, BC=18,D为为ACAC上一点上一点, DC= AC, , DC= AC, 在在ABAB上取一点上取一点E, E, 得得到到ADE, ADE, 若若ABC ABC 和和ADE ADE 相似相似 , , 则则 DE DE 的的长为长为. .第四章图形的相似第四章图形的相似总结：总结：分类讨论思想分类讨论思想在相似三角形问题中的应用在相似三角形问题中的应用对于未给出图形的问题对于未给出图形的问题,
10、 , 要注意根据要注意根据边或边或 角角 的不同对应情况分类讨论的不同对应情况分类讨论, , 根据对应边根据对应边成比例得成比例得 到不同情况下的方程到不同情况下的方程, , 全面解答全面解答问题问题. . 1、已知、已知ABC A B C ，BD和和B D 分别是分别是ABC和和A B C 中线中线，且，且AB10，A B 2，BD6。求。求B D 的长。的长。答：答：B D 的长为的长为1.2。ABCDA B C D 课堂训练课堂训练2、已知、已知ABCDEF，BG、EH分别是分别是ABC和和 DEF的的角平分线角平分线，BC6cm,EF4cm,BG4.8cm.求求EH的长。的长。答：答：
11、EH的长为的长为3.2cm。AGBCDEFH课堂训练课堂训练2 2已知两三角形的相似比是已知两三角形的相似比是2 2：5 5，较大三角形一边，较大三角形一边上的高为上的高为 ，则较小三角形对应边上的高为，则较小三角形对应边上的高为1 1两个相似三角形对应高的比为两个相似三角形对应高的比为 ，则对应角平分线的比为则对应角平分线的比为_ _ ，对应中线的比为对应中线的比为_ 14414123 .3 .如图，在如图，在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90， A=30 A=30 ，CDABCDAB于点于点D D，则，则Rt Rt BCDBCD与与 RtRtABCABC斜边上斜边上的中
12、线之比为（的中线之比为（ ）ABCD2 25A. 1:2 B 1:3C. 1:4 D 1:5A随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习1.已知已知ABC ABC，BD 和和 BD是它们的对应是它们的对应 中线，中线， 23CAAC ，BD= 4 cm， 求求 BD 的长的长. 2如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm他准备了一支长为他准备了一支长为 20 cm 的蜡烛，想要得到高度为的蜡烛，想要得到高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？问题解决问题解决问题解决问题解决3.如图，在如图，在ABC中，中，AB，D、E分别是边分别是边AC和和AB上上的点，且的点，且ADEB，DE，求，求ADBC的值。的值。ABCDE