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1、七年级数学（人教版上）同步练习第三章七年级数学（人教版上）同步练习第三章 第三节第三节 解一元一次方程解一元一次方程( (二二) )一. 本周教学内容：一元一次方程（二）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以 列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题， 可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。 列方程解应用题的主要步骤：列方程解应用题的主要步骤： 1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系； 2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一
2、起组成表示各数量关系的代数式； 3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）； 4. 求出所列方程的解； 5. 检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。【学习提示】 一一. 数字问题数字问题： （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a10bc。 （2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2N 表示，连 续的偶数用 2N2 或 2N2 表示；奇数用 2N1 或 2N1 表示
3、。 例例 1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上 的数的 3 倍，求这个三位数 分析分析由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 X7，个 位上的数是 3X，等量关系为三个数位上的数字和为 17。 解：解：设这个三位数十位上的数为 X，则百位上的数为 X7，个位上的数是 3X XX73X17 解得 X2 X79，3X6 答：这个三位数是 926例例 2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位 数比原两位数大 36，求原来的两位数 等量关系：原两位数3
4、6对调后新两位数 解：解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2X，102XX（10X2X）36 解得 X4，2X8，答：原来的两位数是 48。二. 工程问题工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例例 3. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成，两人合作几天完成？ 分析分析甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/8 等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间1 解：解：设合作 X 天完成 （1/101/8）X1 解得 X40/9 答：两人合作 40/9 天完成 例例 4.
5、 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务， 剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量乙完成工作量工作总量。 解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，()31， 解这个方程，1 12155x60 5x33 x6答：乙还需 6天才能完成全部工程。例例 5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，
6、 问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析分析等量关系为：甲注水量乙注水量丙排水量1。 解解：设打开丙管后 x 小时可注满水池， 由题意得，()(x2)1 解这个方程，(x2)1 21x428x7213x30 x2答：打开丙管后 2小时可注满水池。 三三. 行程问题：行程问题： 解题指导解题指导 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程速度时间。 （2）基本类型有1）相遇问题；2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃 而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。 例例 6. 甲、乙
7、两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出， 每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：分
8、析：相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程快车走的路程480 公里。 解：解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x90(x1)480 解这个方程，230x390 x1答：快车开出 1小时两车相遇分析分析：相背而行，画图表示为： 600 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和480 公里600 公里。 解：解：设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得，(14090)x480600 解这个方程，230x120 x答：小时后两车相距 600 公里。 （3）分析：分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程480 公里600 公里。 解：解：设 x 小时后两车相距
9、600 公里，由题意得，(14090)x480600 50x120 x2.4 答：2.4 小时后两车相距 600 公里。 分析：分析：追及问题，画图表示为：甲 乙 等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。 解：解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，140x90x480 解这个方程，50x480 x9.6 答：9.6 小时后快车追上慢车。分析：分析：追及问题，等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。 解：解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x90(x1)480 50x570 x11.4 答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。 例例 7. 甲乙两人在同一道路
10、上从相距 5 千米的 A、B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度 为 3 千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复， 直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 分析分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总 路程它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间 解：解：设甲用 X 小时追上乙，根据题意列方程5X3X5 解得 X2.5，狗的总路程：152.537.5 答：狗的总路程是 37.5 千米。例例 8. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后
11、逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小 时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，水流速度为 2 千米/时。A、C 两地之间的路程为 10 千米，求 A、B 两地之间的路程。 分析分析这属于行船问题，这类问题中要弄清： （1）顺水速度船在静水中的速度水流速度； （2）逆水速度船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间逆流航行的时间 7 小时。 解：解：设 A、B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、C 间的航程为(x10)千米， 由题意得，X/（82） （X10）/（82）7 解这个方程，X/10 （X10）/67， x32.5 答：A、B 两地之间的路程
12、为 32.5 千米。 四四. 利润赢亏问题利润赢亏问题 1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等2）有关关系式： 商品利润商品售价商品进价商品标价折扣率商品进价 商品利润率商品利润/商品进价 商品售价商品标价折扣率例例 9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价 60 元一双，八 折出售后商家获利润率为 40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？分析分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价折扣率标价 优惠价利润率60 元8 折x 元80%x40%等量关系：商品利润率商品利润/商品进价 解：解：设标价是 x 元，10040 6060%80x
13、解之：x105优惠价为 80%x8410510080 （元）例例 10. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种 服装每件的进价是多少？ 分析分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元进价折扣率标价优惠价利润 X 元8 折（140%）X 元80%（140%）X 15 元等量关系：（利润折扣后价格进价）折扣后价格进价15 解：解：设进价为 X 元，80%X（140%）X15，X125 答：进价是 125 元。五五. 储蓄问题储蓄问题 1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的 时
14、间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 2）利息本金利率期数 本息和本金利息 利息税利息税率（20%） 例例 11. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元，求银行半年 期的年利率是多少？（不计利息税） 分析分析等量关系：本息和本金（1利率） 解：解：设半年期的实际利率为 X，250（1X）252.7 X0.0108 所以年利率为 0.010820.0216 答：银行的年利率是 2.16%例例 12. 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教 育储蓄方式： 1）直接存入一个
15、 6 年期； 2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期； 3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本 金比较少？分析分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行 比较。 解：解：1）设存入一个 6 年的本金是 X 元 X（162.88%）20000， X17053 2）设存入两个三年期开始的本金为 Y 元， Y（12.7%3）（12.7%3）20000，X17115 3）设存入一年期本金为 Z 元 ， Z（12.25%）620000，Z17894 所以存入一个 6 年期的本金最少。 六六.
16、 日历中的方程日历中的方程 例例 13. 1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的 四个数的和为 58，这四天分别是几号？ 2）如果用一个正方形所圈出的 4 个数的和为 76，这四天分别是几号？ 分析分析观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数 解：解：1）设竖列的四个数中最小的一个是 X，其余三数分别为 X7，X14，X21 XX7X14X2158，X4。所以这四个数是 4 号，11 号，18 号，25 号 2）设四个数中最大的一个数 Y，其余三个数是 Y1，Y7，Y8 YY1Y7Y876，Y23，所以这四个数是 15、16、22、23
17、注意：注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这 几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题， 如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关 系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。【模拟试题模拟试题】（答题时间：40 分钟）1. 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的 3 倍大 1，它的十位上的数比百位上的数的 4 倍小 3， 如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换，得到的三位数比原来的三位数大 270，求原来的三位 数。 2. 一个四位数，左边第一
18、位数字是 7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少 864，求原 来的数。 3. 一件工作，甲独作 20 小时完成，乙独作 12 小时完成，现在先由甲独作 4 小时，剩下的部分由甲乙 合作，剩下的部分需几小时完成？ 4. 一轮船从重庆到上海要 5 昼夜，而从上海到重庆要 7 个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要 多少天？ 5. 一个水池共有 A、B 两个进水管和一个排水管 C，单开 A 管 6 小时注满水池，单开 B 管 10 小时注 满全池，单开 C 管 9 小时把水池中的水排完。若先同时打开 A、B 两管，向空池内注水，2.5 小时后，打 开 C 管，则打开 C 管几小时后可
19、将水池中注满水？ 设 X 小时以后可以注满， 6. 甲乙两站之间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出， 每小时行驶 85 千米 （1）两车同时开出相向而行，几小时相遇？ （2）快车先开出 30 分钟后，两车相向而行，慢车行驶几小时两车相遇？ 7. A、B 两地的路程为 100 千米，小王骑车从 A 地到 B 地，小李跑步从 B 地到 A 地，小李出发三个半 小时后，小王才出发，已知小王骑车的速度为 10 千米/小时，小李跑步的速度为 8 千米/小时，问两人各 走几小时相遇？ 8. 一队学生去校外郊游，以 5 千米/小时的速度行进，走了 18 分
20、后学校将一重要通知传给队长，通讯 员从学校出发，骑车以 14 千米/小时的速度按原路追上去，几小时可以追上队伍？ 9. 一列快车长 200 米，速度为 50 千米/小时，一列慢车长 250 米，速度为 30 千米/小时，两车从相遇到 分开共需几秒？ 10. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按 8 折优惠出售，已知某种皮鞋进价是 60 元，8 折以 后商家仍获利利润率为 40%，这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？ 11. 某商店先在甲地以每件 15 元的价格购进商品 10 件，后来又以每件 12.5 元的价格在乙地购进同样 的商品 40 件，如果商店销售这些商品时，获得 12%利润率，商
21、品售价应定为多少元？ 12. 商品的进价为 200 元，标价为 300 元，折价销售时的利润率为 5%，商品打了几折？ 14. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，募得票款 6950 元，成人票每 张 8 元，学生票每张 5 元，问成人票和学生票各卖了多少张？ 希望工程委员会决定把募捐款作为助学金发给山区的 65 名学生，其中每个初中生的助学金是 150 元， 每个小学生的助学金为 80 元，问发给初中生和小学生各多少人？ 15. 将若干支铅笔分给几个同学，若每人 5 支还剩 3 支；若每人 7 支还差 5 支，问有多少学生，有多少 铅笔？ 16. 有一些分别标
22、有 3、6、9、12的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 3，小明拿到了 相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数字之和是 342， （1）小明拿到了哪三张卡片？ （2）小明拿到相邻的 3 张卡片上的数字和能是 95 吗？17. 在 3 点钟和 4 点钟之间，时钟上的分针和时针什么时候重合？ 18. 某厂第一月和第二月共生产化肥 848 吨，已知增长率为 12%，求一月的产量是多少吨？ 【试题答案试题答案】1. 设百位上的数字为 X，257 2. 设后三个数字组成的三位数 X，7681 3. 设 X 小时完成 ，6 小时 4. 设竹排静水中的速度为 A，水流速度为 B，则 AB1/5，AB
23、1/7，解得 A1/35，再用 1/（1/35）35 小时 5. 设 X 小时以后可以注满，（2.5/6）（2.5/10）X/6X/10X/91 X15/7 6. （1）设 X 小时相遇，65X85X450，X3 （2）设 X 小时，65X850.585X450，X163/20 7. 设小王出发 X 小时后相遇，10X8（X3.5）100 X4 8.设 X 小时追上，14X50.35X，X1/6 9.设 X 秒，50X30X200250，X45/8 10. 105 元，84 元 11.设售价 X 元，X（1040）（151012.540）（112%），X14.56 12. 7 折 14.成人票
24、 650 张，学生票 350 张，初中生有 25 人，小学生有 40 人 15.有学生 4 人，铅笔 23 支 16.（1）小明拿到了 111，114，117 （2）X95/3，小明不可能拿到这样的三张 17.分析：分析：这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是 60 个单位长度，分针与时针相距 15 个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时分针追上时针。 解：解：设在 3 点过 x 分钟后，两针重合， 由题意得：xx15 解这个方程得：x16答：两针在 3 点过 16分时重合。 18. 解：解：设一月的产量是 x 吨，由题意得 x(
25、112%)x848 2.12x848 x400 答：一月的产量是 400 吨。【励志故事励志故事】永远做一个勤奋的人永远做一个勤奋的人在美国，有一个人在一年之中的每一天里，几乎都做着同一件事：天刚放亮，就伏在打字机前开始一天的写作。这个男人名叫斯蒂芬金，是国际上著名的小说大师。斯蒂芬金的经历十分坎坷，他曾经潦倒得连电话费都交不出，电话公司因此而掐断了他的电话线。后来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，整天稿约不断，常常是一部小说还在他的大脑中储存着，出版社高额的定金就支付给了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奋的创作中度过的。斯蒂芬金的秘诀很简单，只有两个字：勤奋。一年之中，他只有三天时间是例外的，不写作。这三天是：生日，圣诞节，美国独立日（国庆节）。勤奋给他带来的好处是，永不枯竭的灵感。学术大师季羡林老先生曾经说过：“勤奋出灵感。”