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1、2.12.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.12.1.1合情推理合情推理 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇的偶数都等于两个奇奇数之和奇数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach(Goldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼
2、得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach(Goldbach) )写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之
3、和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有
4、人作了些具都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . = 5 + 13, . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且
5、大过6 6之偶数之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但验格的数学证明都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。意。200200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪2020年代，才年代，才有人开始向它靠近。有人开始向它靠近。19201920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛年、挪威数学家
6、布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（9999）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9 9十十9 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫哥德巴赫”。 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661
7、966年年证明的，称为陈氏定理证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem) ? (Chens Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” ” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “ “1 + 1 + 2 ”2 ”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关於偶数可表示为在陈景润之前，关於偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之
8、和( (简称简称“s + t ”s + t ”问题问题) )之进展情况如下之进展情况如下: :19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun(Brun) )证明了证明了 “ “9 + 9 ”9 + 9 ”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher(Rademacher) )证明了证明了“7 + 7 ”7 + 7 ”。19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann(Estermann) )证明了证明了 “ “6 + 6 ”6 + 6 ”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei(Ricei) )先後证明了先後
9、证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”15 ”和和“2 + 366 ”2 + 366 ”。19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )证明了证明了“5 + 5 ”5 + 5 ”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )证明了证明了 “ “4 + 4 ”4 + 4 ”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi(Renyi) )证明了证明了“1 + c ”1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自
10、然是一很大的自然 数。数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “ “3 + 4 ”3 + 4 ”。19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “ “3 + 3 ”3 + 3 ”和和 “ “2 + 3 ”2 + 3 ”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH(BapoaH) )证明了证明了 “ “1 + 5 ”1 + 5 ”， 中中国的王元证明了国的王元证明了“1 + 4 ”1 + 4 ”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao(Byxwrao) )和小维诺格拉
11、多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB(BHHopappB) )，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri(Bombieri) )证明了证明了“1 + 3 ”1 + 3 ”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “ “1 + 2 ”1 + 2 ”。最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “ “1 + 1 ”1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇的偶数都等于两个奇奇
12、数之和奇数之和”即即: :偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,18 =7+11,， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
13、3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明例例1:1:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1=1且(n=1,2,3 (n=1,2,3 ),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式. .n nn+1n+1n na aa=a=1 + a1 + a 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：
14、例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66
15、68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式* *-.-.111111练习：f(n)=1+(nN )计算得练习：f(n)=1+(nN )计算得23n23n3535f(2)=,f(4
16、)2,f(8),f(16)3,f(2)=,f(4)2,f(8),f(16)3,2222推测当n2时,有推测当n2时,有7(32)2,fLL例例: :如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需
17、要移动多少次? ?解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2= = 3 3解解; ;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数. .当当n n=3=3时时,a,a3 3= = 7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4= = 1515猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1123作业作业:P:P93 93 1. 3. 41. 3. 4