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1、12.1.2椭圆的简椭圆的简单几何性质（单几何性质（2）高二数学高二数学 选修选修1-1 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程212516. 1251611625. 11625. 1169.2222222222 yxDyxyxCyxByxA或或复习练习：复习练习：1.1.椭圆的长短轴之和为椭圆的长短轴之和为1818，焦距为，焦距为6 6，则椭圆，则椭圆的标准方程为（的标准方程为（ ）2、下列方程所表示的曲线中，关于、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和轴和y 轴轴都对称的是（都对称的是（ ）A、x2=4y B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=xD、9x2+y2=4CD3练习练习1、
2、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为为 。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为形，则其离心率为 。3、若椭圆的、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为离心率为 。22213144、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 则其离心率则其离心率e=_5322221111yxabPPPOPPFPFPF-点 是椭圆上的动点，当 的坐标为时，到原点 的最大距离为；当 的坐标为时，到原点O的最小距离
3、为；设 （c,0),则当P的坐标为时，的最大值为；则当P的坐标为时，的最小值为。(a,0)a(0, b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c6、5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 。315例例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口其对称轴旋转一周形成的曲面）
4、的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一上，片门位于另一个焦点个焦点F2上上,由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反射出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点后集中到另一个焦点F2.所在椭圆的方程。求截口已知BACcmFFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解：建立如图所示的直角坐标系，解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由椭圆的性质知，,221
5、aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab222214.13.4xy所求的椭圆方程为A6例例1 如图如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地是以地心心(地球的中心地球的中心)F2为一个焦点的椭圆为一个焦点的椭圆,已知它的近地点已知它的近地点A(离离地面最近的点地面最近的点)距地面距地面439km,远地点远地点B距地面距地面2384km.并且并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运求卫星运行的轨
6、道方程（精确到行的轨道方程（精确到1km).22| | 6371.F CF DXOF1F2ABX XY12222 byax设设所所求求的的方方程程为为,0 ba解：以直线解：以直线ABAB为为x x轴轴, ,线段线段ABAB的中垂线为的中垂线为y y轴建立如图轴建立如图所示的直角坐标系，所示的直角坐标系，ABAB与地球交与与地球交与C,DC,D两点。两点。由题意知：由题意知：|AC|=439,|BD|=2384,AFOFOAca22: 则则87552384637122 BFOFOBca5 .972, 5 .7782 ca解得解得68104396371 DCb7722.1772277832222
7、yx7,21、一个中截面为椭圆形工艺品的短轴长为8cm，离心率e=2要将这个工艺品平放在一圆形盒中邮寄，则盒子底面圆的直径至少为。8 2cm2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（ ）A. mn(km) B. 2mn(km)()Ckm(m+R)(n+R) (km) D2 (m+R)(n+R)D8的轨迹。，求点的距离的比是常数的距离和它到直线与定点点例MxlFyxM54425:)0 , 4(),(6
8、,54425:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.54425)4(2xyx由此得,22525922yx简，得将上式两边平方，并化192522yx即所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。的椭圆。FlxoyMHdca2ac)0 ,(cca2accca2ac22222222caayaxca)0( 12222babyax425435169252222cacbacba9的的距距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点若若点点)0(),(cFyxM思考上面探究问题，并回答下列问题：思考上面探究问题，并回答下列问题：的的距
9、距离离和和它它到到定定直直线线，与与定定点点）若若点点（)0(),(3cFyxM 的的，此此时时点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 ？轨轨迹迹还还是是同同一一个个椭椭圆圆吗吗时时，对对应应，定定直直线线改改为为，）当当定定点点改改为为（caylcF2:)0(4 ？的的轨轨迹迹方方程程又又是是怎怎样样呢呢探究：的的轨轨迹迹。，求求点点的的距距离离的的比比是是常常数数Mcaaccaxl)0(:2 （1）用坐标法如何求出其）用坐标法如何求出其轨迹方程轨迹方程，并说出轨迹，并说出轨迹（2）给椭圆下一个新的定义）给椭圆下一个新的定义10探究探究、点、点M（x,y)与定点与定
10、点F （c,0)的距离和它到定直线的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比是常数的距离的比是常数c/a（ac0),求点求点M 的轨迹。的轨迹。yFFlIxoP=M| acdMF由此得由此得acxcaycx222将上式两边平方，并化简，得将上式两边平方，并化简，得22222222caayaxca设设 a2-c2=b2,就可化成就可化成)0( 12222babyax这是椭圆的标准方程，所以点这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、的轨迹是长轴、短轴分别为短轴分别为2a,2b 的椭圆的椭圆M解：设解：设 d是是M到直线到直线l 的距离，根的距离，根据题意，所求轨迹就是集合据题意，所求轨迹就是
11、集合11FFlIxoy 由探究可知，当点由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直与一个定点的距离和它到一条定直线的距离线的距离 的比是常数的比是常数 时，这个点的轨时，这个点的轨迹迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线椭圆的准线，常，常数数e是椭圆的离心率。是椭圆的离心率。 此为此为椭圆的第二定义椭圆的第二定义. 10eace 对于椭圆对于椭圆 ，相应于焦点，相应于焦点F（c,0)准线方程是准线方程是 , 根据椭圆的对称性，相应于根据椭圆的对称性，相应于焦点焦点F(-c.0) 准线方程是准线方程是 ,所以椭圆有两条准线。所以椭圆有两条
12、准线。12222byaxcax2cax212椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。定义定义 1图图 形形定义定义 2平面内与平面内与一个定点的距一个定点的距离和它到一条离和它到一条定直线的距离定直线的距离的比是常数的比是常数)10( eace的的点点的的轨轨迹迹。)0 ,()0 ,(21cFcF、焦点：焦点： ),0(),0(21cFcF、焦焦点点： cax2 准线：准线：cay2 准线：准线：、两两个个定定点点1F的距离的和的距离的和2F等于常数（大等于常数（大）的点）的点于于21FF的轨迹。的轨迹。平面内与平面内与13由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如
13、下：由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：22222(1)1(0)xyaabxabc 椭圆的准线方程为222221(0)yxaabyabc 椭圆的准线方程为222abcc(2)两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为(3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，否则其轨迹不存在。(4)椭圆离心率的几何意义：由椭圆的第二定义得，“椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”14练练 习习,)0(102222xPbabyax的的横横坐坐标标是是上上一一点点已已知知椭椭圆圆 为为离离心心率率，则则点点，且且分分别别是是椭椭圆圆的的左左、右右焦焦、eFF21。 21, PFPF0exa 0ex
14、a 12222byax （ab0）左焦点为）左焦点为F1，右焦点为，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，）为椭圆上一点，则则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径叫焦半径.12222bxay （ab0）下焦点为）下焦点为F1，上焦点为，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点，）为椭圆上一点，则则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径叫焦半径.说明：说明：PF1F2XYO)(第二定义第二定义accaxPF 2010201)(exacaxacPF acxcaPF 022:同理同理00
15、22)(exaxcaacPF 15焦半径公式焦半径公式 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为左加右减左加右减”，即在，即在a与与ex0之之间，间，如果是左焦半径则用加号如果是左焦半径则用加号“+连接，如果是右焦半径用连接，如果是右焦半径用“”号连接号连接焦点在焦点在x轴上时：轴上时： PF1=a+exo，PF2=a-exo；焦点在焦点在y轴上时：轴上时： PF1=a+eyo,PF2=a-eyo。 该公式的记忆方法为该公式的记忆方法为下加上减下加上减”，即在，即在a与与ey0之之间，间，如果是下焦半径则用加号如果是下焦半径则用加号“+连接，如果是上焦半径用连接，如果是上焦半径用“”号连接号连接焦
16、半径的最大值为：焦半径的最大值为：a+c焦半径的最小值为：焦半径的最小值为：a-c16例例7.解：解：17课堂练习课堂练习1、椭圆、椭圆 上一点到准线上一点到准线 与到焦与到焦点（点（-2，0）的距离的比是）的距离的比是 （ ）171122yx211x11112)(A211)(B112)(C117)( DB2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是的离心率是( ) 3A23B 33C43DC183.若一个椭圆的离心率若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是准线方程是 x=4, 对应的焦点对应的焦点F（2，0），则椭圆的方程是）
17、，则椭圆的方程是 _3x2-8x+4y2=0 4：已知椭圆：已知椭圆 P为椭圆在第一象限内的点，它为椭圆在第一象限内的点，它与两焦点的连线互相垂直，求与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。点的坐标。221,4520 xy5:3 5,2 5,5,.3abce解0000(,),0,0.P xyxy设102012,2 .PFaexPFaexFFc12PFPF2221212PFPFFF22200()()4aexaexc222202ae xc209x20:16y代入椭圆方程得(3,4)P(3,4)P19变式:1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( )A.圆 B.椭
18、圆 C.直线 D.无法确定B20例例8：求椭圆：求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆两焦点连线互相垂直两焦点连线互相垂直.14922 yx:3,2,5abc解法112(5,0),( 5,0)FF00(,)P xy设12PFPF120PF PF 2000(5)(5)0 xxy22005xy2200194xy又000033554455xxyy 解得：或3434,)5555P(,)或P(21引申引申:当点当点P与两焦点连线成钝角时与两焦点连线成钝角时,求求P点的横坐标点的横坐标 的取值范围的取值范围.例例8：求椭圆：求椭圆 上一点上一点P,使得点使得点P与椭圆与椭圆两焦点连线互相垂直两
19、焦点连线互相垂直.14922 yx5:3,2,5,3abce解法2( , )P x y设3434,)5555P(,)或P(|1533则：，PFaexx | 2533PFaexx|cos| |222121212122PFPFFFF PFPFPF ()2251952 99xx 0 35x 45y 代入椭圆方程得22:( , ),P x y解 设|1533则：，PFaexx | 2533PFaexx|cos| |222121212122PFPFFFF PFPFPF ()2251952 99xx 12FPF为钝角121cos0，F PF 225191052(9)9即xx 3 53 555x解之得2312，PPPxxx 2222125P ,P194而的坐标可由xyxy 123 53 555解得，PPxx3 53 555x24小结小结1. 椭圆的第二定义椭圆的第二定义 2.焦半径：焦半径： 焦点在焦点在x轴上时：轴上时： PF1=a+ex0，PF2=a-ex0； 焦点在焦点在y轴上时：轴上时： PF1=a+ey0,PF2=a-ey0。