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1、2.3幂幂函函数数 (1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P = _w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V = _ (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_是是_的函数的函数a a V是是a的函数的函数t km/s v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的
2、边长长_12Sa是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?Pwa y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1_是是_的函数的函数Sa（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为）幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。(1)y=x (2)y=x2 (3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-1yx一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function)(power func
3、tion) ，其中其中x x为自变量，为常数。为自变量，为常数。定义：定义：例例1 下列函数中，哪几个函下列函数中，哪几个函数是幂函数？数是幂函数？（1）y = （2）y=2x2（3）y=2x （4）y=1 (5) y=x2 +2 (6) y=-x321x答案答案:(1):(1)2121223,mnm n例已知y=(m +2m-2)x是幂函数求ayxxay你能说出幂函数与指数函数的区你能说出幂函数与指数函数的区别吗别吗? ?指数函数：指数函数：解析式解析式 ，底数为常数，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量，指数为自变量x；幂函数：幂函数：解析式解析式 ，底数为自变量，底数为自变量x，指数为
4、常数指数为常数， R；下面研究幂函数下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究研究 y=x2yx3yx12yx1yx4321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1) x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x-3 -2 -1 0 1 2 34321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1) x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x29410 1
5、4 94321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x-3-2 -1 0 1 2 3y=x3-27 -8 -1 0 1 8 274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x 0 1 2 4 0 1 212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)
6、4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1 1 23-1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/31y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3
7、y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内在第一象限内,函数图象的单调函数图象的单调性与指数有什么性与指数有什么关系关系?不管指数是多少不管指数是多少,图象都经过哪个图象都经过哪个定点定点?4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)图象都经过点（图象都经过点（1 1，1 1）y=x0 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)
8、RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在在R R上上增增在在0 0，+）上增，上增，在（在（-，00上减上减, ,在在0 0，+）上增，上增，在在(0(0，+)+)上减上减例例3如果函数如果函数 是幂函数，且在区间（是幂函数，且在区间（0 0，+）内是减函数，求）内是减函数，求满足条件的实数满足条件的实数m m的集合。的集合。32221mmxmmxf)()(解解:依题意依题意,得得112mm解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时
9、时,函数为函数为3)( xxf符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为1)(0 xxf不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=2讲义讲义2 2、7 7例例4. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3) 2.5-25与 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.
10、52.7-2/5练习练习1）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232讲义讲义8 8练习练习: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象在第一象限内的图象，已知限内的图象，已知 k分别取分别取 四个四个值，则相应图象依次为值，则相应图象依次为:_ 11,1, 22一般地，幂函数的图象在直线一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，的右侧，大指数在上，小指数在下，在在Y轴与直线轴与直线x =1之间正好相反。之间正好相反。 C4C2C3C11则x且xxx,), 0,2121证明幂函数证明幂函数
11、 在在0，+）上是增函数）上是增函数.复习用定义证明函数的单调性的步骤复习用定义证明函数的单调性的步骤:(1). 设设x1, x2是某个区间上任意二值，且是某个区间上任意二值，且x1x2;(2). 作差作差 f(x1)f(x2)，变形，变形 ;(3). 判断判断 f(x1)f(x2) 的符号；的符号；(4). 下结论下结论.例例5证明证明: :任取任取xxf)(2121212121)()()(xxxxxxxxxfxf,2121xxxx).()(, 0, 0212121xfxfxxxx所以幂函数所以幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.xxf)( 证法二证法二: 任取任取x1 ,x2 0，
12、+）,且且x1 x2 ； 证明幂函数证明幂函数 在在0，+）上是增函数）上是增函数.1)()(212121xxxxxfxf)()(21xfxf为增函数，在0)(xxf(1)(1)作差法作差法: :若给出的函数是有根号的式子若给出的函数是有根号的式子, ,往往采用有往往采用有理化的方式。理化的方式。(2)(2)作商法作商法: :证明时要注意分子和分母均为正数证明时要注意分子和分母均为正数, ,否则不否则不一定能推出一定能推出(x(x1 1)1或或xg(x)；当当x1或或x1时，时，f(x)g(x)；当当1x1且且x0时，时，f(x)g(x)；当当x1时，时，f(x)g(x)；当当x(0,1)时，
13、时，f(x)g(x)对于幂函数、根据幂的运算性质，转化为常对于幂函数、根据幂的运算性质，转化为常见函数的解析式形式求定义域、值域见函数的解析式形式求定义域、值域幂函数的定义域、值域幂函数的定义域、值域【思路点拨思路点拨】先将分数指数幂转化为根式，先将分数指数幂转化为根式，然后根据根式有意义求解然后根据根式有意义求解【名师点拨】【名师点拨】幂函数的定义域要根据解析幂函数的定义域要根据解析式来确定，当幂函数的指数为分数形式时，式来确定，当幂函数的指数为分数形式时，需将其转化为熟悉的根式形式，利用根式的需将其转化为熟悉的根式形式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围有关要求求出自变量的取值范围ayx