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1、2.3幂函数幂函数学习目标学习目标1.掌握幂函数的概念；2.熟悉常见的五个具体幂函数的图 象和性质；3.掌握数形结合思想。重重 点点幂函数的概念和性质 难难 点点幂函数的性质 (1)如果张红购买了每千克如果张红购买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜w千克千克,那么她那么她需要支付需要支付P = _w 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积S = _(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积V = _ (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均那么他骑车的平均速度速度v=_P是是w的的函数
2、函数a a V是是a的函数的函数v是是t 的函数的函数(4)如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边那么正方形的边长长 _12Sa是是S的函数的函数以上问题中的函数具有什么共同特征以上问题中的函数具有什么共同特征?a =y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1ayx=S是是a的的函数函数他们有以下共同特点：他们有以下共同特点：(1) 指数为常数指数为常数.(2) 均是以自变量为底的幂均是以自变量为底的幂.km/s 1t-ayx=a一般地，函数一般地，函数 叫做叫做幂函数幂函数(power function) ，其中其中x x为自变量，为常数。为自变量，为常数。
3、注意注意: :幂函数的解析式必须是幂函数的解析式必须是 的形式，的形式， 其特征可归纳为其特征可归纳为“系数为，只有项系数为，只有项”例：判断下列函数是否为幂函数例：判断下列函数是否为幂函数.(1) y=x4 21(2)yx=(3) y= -x2 12(4)yx=(5) y=2x2 (6) y=x3+2 ayx=你能说出幂函数与指数函数的区别吗你能说出幂函数与指数函数的区别吗?指数函数：指数函数：解析式解析式 ，底数为常数，底数为常数a，a0，a1，指数为自变量，指数为自变量x；幂函数：幂函数：解析式解析式 ，底数为自变量，底数为自变量x，指数为常数指数为常数a， aR；xya=ayx=判断一
4、个函数是幂函数还是指数函数切入点：判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：看看未自变量看看未自变量x是是 指数指数 还是还是 底数底数幂函数幂函数函数函数下面研究幂函数下面研究幂函数.ayx=在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这五五个幂函数的图象个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。 y=x2yx=3yx=12yx=1yx-=4321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)yx= x-2 -1 0 12 y=x-2 -1 0 12 幂函数的图像幂函
5、数的图像幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)2yx= x-2-1-1/20 1/212y=x2411/40 1/414幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x-2-1-1/20 1/212y=x2411/40 1/4144321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x-3/2-1-1/2 01/213/2y=x3-27/8-1-1/
6、8 01/8 127/8幂函数的图像幂函数的图像3yx=4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x-3/2-1-1/2 01/213/2y=x3-27/8-1-1/8 01/8 127/8幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)yx=x01/9 1/41 4901/3 1/21 2312y xx=幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4
7、,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)yx=x01/9 1/41 4901/3 1/21 2312y xx=幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)1y x-=x-3-2-1-1/2-1/31/3 1/21 23-1/3 -1/2-1-2-3321 1/21/3幂函数的图像幂函数的图像1y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x
8、-3-2-1-1/2-1/31/3 1/21 23-1/3 -1/2-1-2-3321 1/21/31y x幂函数的图像幂函数的图像4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)函数函数 y=x y=x2y=x3 y=x y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性 公共点公共点奇奇偶偶奇奇非奇非奇非偶非偶奇奇(1,1)RRRx|x00,+）RRy|y00,+）0,+）在在R R上增上增在（在（-，0)0)上减，上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表观察幂函数图象，将你发现
9、的结论写在下表:12在在R R上上增增在在0 0，+）上增，上增，在（在（-，00上减上减, ,在在0 0，+）上增上增在在(0(0，+)+)上减上减4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内在第一象限内,函数图象的变化函数图象的变化趋势与指数有什趋势与指数有什么关系么关系?在第一象限内，在第一象限内，当当a0时，图象随时，图象随x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时，图象随时，图象随x x增大而上升。增大而上升。当当a0a0时时,图象还都过点图象还都过点(0,0)(1)
10、幂函数的幂函数的图象都通过点图象都通过点(2) 如果如果， 在区间在区间0,+)上是上是 如果如果 ， 在区间在区间(0,+)上是上是 当当为奇数时，为奇数时， 幂函数为幂函数为幂函数的性质幂函数的性质增函数增函数减函数减函数(3) 当当为偶数时，为偶数时， 幂函数为幂函数为偶函数偶函数奇函数；奇函数；(1,1)2yx=3yx=21xy 1yx-=yx 例例1如果函数如果函数 是幂函数，是幂函数，且在区间（且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的）内是减函数，求满足条件的实数实数m。2223( )(1)mmf xmmx-=-解解:依题意依题意,得得21 1mm- =解方程解方程,得得 m=2
11、或或m=-1 当当 m=2时时,函数为函数为3( )f xx-=当当m=-1时时,函数为函数为0( )1f xx=所以所以m=2220mm即即符合题意符合题意.不合题意不合题意,舍去舍去.例例. .证明幂函数证明幂函数 在在0,+)0,+)上是增上是增函数函数( )f xx=证明：任取证明：任取x1,x2 0,+)，且，且x1x2，则则1212()() f xf xxx-=-12120,0,xxxx-因为1212xxxx-=+121212()()xxxxxx-+=+12( )( ),( )0,).f xf xf xx=+即所以幂函数在上是增函数12()()0f xf x-所以幂函数幂函数定义定
12、义五个特殊幂函数五个特殊幂函数图象图象基本性质基本性质本节知识结构本节知识结构:课堂小结：课堂小结：P79习题习题2.3： 1练习练习3: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象在第一象限内的图象，已知限内的图象，已知 k分别取分别取 四个四个值，则相应图象依次为值，则相应图象依次为:_ 11,1, 22-一般地，幂函数的图象在直线一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，的右侧，大指数在上，小指数在下，在在Y轴与直线轴与直线x =1之间正好相反。之间正好相反。 C4C2C3C11例例3. 利用单调性判断下列各值的大小。利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3) 2.5-25与 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,+)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,+)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0,+)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5练习练习21）0.51.30.51.525.1-25.09-2）3）141.79-141.81-4）223(2)a-+232-