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1、11.2与三角形有关的角教学目标教学目标了解三角形内角和定理的证明，掌握三角形内角和了解三角形内角和定理的证明，掌握三角形内角和定理的应用定理的应用.重点难点重点难点三角形内角和定理及其运用三角形内角和定理及其运用. 在一个在一个直角直角三角形里住着三个内角，平三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能这是不可能的，否则，我们这个家
2、就再也围不起来的，否则，我们这个家就再也围不起来了了”“”“为什么？为什么？” 老二很纳闷。老二很纳闷。 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？ 从刚才拼角的过程你从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗能想出证明的办法吗? ?验证验证ABCBBCACABABC我们已经知道我们已经知道,任意一个三角形的内角和等于任意一个三角形的内角和等于180.怎么证明这个结论呢怎么证明这个结论呢?l方法一:通过具体的度量l方法二:剪拼法.想一想想一想三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形内角和等于三角形内角和等于180.已知已知:ABC(如图所示如图所示)求证求证:A+B+C=180证明
3、证明:过点过点C作作AB的平行线的平行线l.ABlA=1 (两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)同理同理,B=2.1+ 2+3=180 (平角的定义平角的定义)A+B+C=180 (等量代换等量代换)ABCl123三角形内角和定理三角形内角和定理:三角形内角和等于三角形内角和等于180.ABCED 则则A=ACE两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等 B=ECD（两直线平行，同位角相等（两直线平行，同位角相等 BCA+ACE +ECD=180平角定义平角定义 BCA+A+B=180等量代换等量代换 证明：延长证明：延长BC至至D ，过，过C作作CEBA. 三角形内角和定理三角形内
4、角和定理: 三角形内角和等于三角形内角和等于180.C=CAE (两直线平行,内错角相等)EAC+BAC+B=180(两直线平行,同旁内角互补)B+C+BAC=180 (等量代换)ABC证明证明:过过A作作AEBC，仅供参考三角形内角和定理三角形内角和定理: 三角形内角和等于三角形内角和等于180.证明证明: :过过ABCABC的两个锐角作的两个锐角作BCBC的垂线的垂线BDBD和和CE,CE,过点过点A A作作BDBD的平行线的平行线AF.AF.由图可知由图可知BDAFCE.BDAFCE.BAF=ABDBAF=ABD ECA=FAC ECA=FAC ( (两条直线平行两条直线平行, ,内错角
5、相等内错角相等.).) ABC ABC的三个内角的三个内角 A+B+C=ABC+ACB+ BAF+ FAC=A+B+C=ABC+ACB+ BAF+ FAC=DBA+ABC+ACB+ACE=90=DBA+ABC+ACB+ACE=90+90+90=180=180ABCEFD仅供参考 在这里，为了证明的需要，在原来的图在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做形上添画的线叫做辅助线辅助线。在平面几何里，。在平面几何里，辅助线通常画成辅助线通常画成虚线虚线。 为了为了证明三个角的和为证明三个角的和为180180, ,利用逆向思利用逆向思考的方法考的方法, ,把问题转化为一个平角把问题转化为一个
6、平角, ,同旁内角同旁内角互补互补, ,或者两个直角之和或者两个直角之和, ,或者其它方法或者其它方法. .这种这种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法. .归纳归纳三角形的内角和等三角形的内角和等1800例1 如图：在ABC中，BAC=400，B=750，AD是ABC 角平分线，求ADB的度数。解：由BAC=400，AD是ABC 角平分线，得：BAD= BAC=200在ADB中，ADB=1800-B-BAD =1800-750-200=850 例例2： 如图如图,C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向方向,B岛在岛在A岛的北偏岛的北偏东东80方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏
7、西岛的北偏西40方向方向.从从C岛看岛看A、B两岛两岛的视角的视角ABC是多少度？从是多少度？从C岛看岛看A、B两岛的视角两岛的视角ACB是是多少度？多少度？北北北北DECAB解：解：CABCAB BADBADCAD CAD 808050503030508040？由由ADADBEBE，可得，可得 BADBADABEABE180180所以所以ABEABE180180BAD BAD 1801808080100100， ABCABCABEABEEBCEBC10010040406060在在ABCABC中，中， ACBACB180180ABCABCCABCAB 180180606030309090答：答
8、：从从C岛看岛看A、B两岛的视角两岛的视角ABC是是600， 从从C C岛看岛看A A、B B两岛的视角两岛的视角ACBACB是是9090. .直角三角形的两个锐角互余。直角三角形的两个锐角互余。 结结 论论 在直角三角形中，在直角三角形中， CC是直角，则是直角，则AA与与BB的和是多少？的和是多少？900 两个锐角互余的三角形是直两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？角三角形吗？ 例例3：如图，：如图，C C=DD=900，AD，BC相交于点相交于点E，CAECAE与与DBEDBE有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？解：在RtACE中， CAE=900-AEC在RtBDE中， DBE=9
9、00- BED AEC = BED CAE =DBE一 、选择题 在ABC中，A =500, B =800,则C =（ ） A. 400 B. 500 C. 100 D. 1100二、填空（1）A:B:C=3:4:5，则B =（2）B =800，A =3C，则A = 600750B3. 在ABC中，已知A-C =250，B -A =100，求B的度数.分析：根据三角形内角和定理可知： A+B+C= 1800，然后结合已知条件便可以求出.解：在ABC 中， A +B +C =1800（三角形內角和定理） 联立A-C =250，B-A=100可得， A=650，B =750，C=400答：B的度数是750. CDAB4、如图、如图,A=800,B=250,C=300,求求1的度数的度数.1分析：连接分析：连接AD两个三角形的两个三角形的6个内个内角之和为角之和为3600所以所以1=3600-800-250-300=2250小结（一）三角形内角和定理；（二）借助辅助线解题时，辅助线应画虚线；（三）利用代数中列方程的方法可以求角的度数；（四）直角三角形两锐角互余。这节课你有怎样的收获？