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1、24.4 24.4 解直角三角形（解直角三角形（1 1）21212222332323333311cottancossin6 045 3 0角 度三角函数09001001不存在不存在0特殊的三角函数值特殊的三角函数值对于对于sinsin与与tantan，角度越大，函数值也越大；，角度越大，函数值也越大；对于对于coscos与与cota cota 角度越大，函数值越小。角度越大，函数值越小。1cossin22AA平方关系：平方关系：AAAAAAsincoscotcossintan商数关系：商数关系：同角同角三角函数三角函数的基本关系式的基本关系式倒数关系：倒数关系：1cottanAA 复习互余两角
2、互余两角三角函数之间的关系三角函数之间的关系)90sin(cos)90cos(sinAAAA)90tan(cot)90cot(tanAAAA 复习（1）在直角三角形中，除直角外共有几个）在直角三角形中，除直角外共有几个 元素？元素？ （2）如图，在）如图，在RtABC 中中C=90，a、b、c、A、B这五个这五个元素间有哪些等量关系呢？元素间有哪些等量关系呢？ ABCacba 直角三角形中元素间的三种关系：直角三角形中元素间的三种关系： (1)两锐角关系两锐角关系 ： (2)三边关系：三边关系： (3)边与角关系：边与角关系：ABCcbaa2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；ac A B 9
3、0sinAbccosAtanAab1、在在RtABC中中,C=90：（1）已知）已知a=4，c=8，求，求b, A ,B（2）已知）已知b=10，B=60,求求 A ,a，c（3）已知）已知c=20，A=60，求，求 B, a，b （4）已知）已知a=1，b= ，求，求c, A， B 3定义：定义：由直角三角形中的已知由直角三角形中的已知元素，求出所有末知元素的元素，求出所有末知元素的过程，叫做过程，叫做解直角三角形解直角三角形.事实上，在直角三角形的六个元素中，事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有中至少有一个是边一个是边）
4、，这个三角形就），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素两个元素求出其余的三个元素ABabcC解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形解直角三角形（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanab
5、BBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cba（勾股定理）（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：问题：问题：1、解直角三角形需要、解直角三角形需要什么条件？什么条件？ 2、解直角三角形的条、解直角三角形的条件可分为哪几类？件可分为哪几类？ 2、解直角三角形的条件可分为两大类：、解直角三角形的条件可分为两大类： 、已知一锐角、一边、已知一锐角、一边 （一锐角、一直角边或一斜边）（一锐角、一直角边或一斜边） 、已知两边、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）（一直角边，一斜边或者两条
6、直角边）1、解直角三角形除直角外，至少要知道、解直角三角形除直角外，至少要知道两个元素（两个元素（这两个元素中至少有一条边）这两个元素中至少有一条边）3、注意（1）若没有直角三角形则要构造直角三角形（作垂线） （2） 要选择合适的三角函数 （3）求一个角的三角函数可以转换成求与它相等角的三角函数例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90， 解这个直角三角形解这个直角三角形6,2BCAC解：解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，B45，b=20，解这个直角三角形，解这个直角三角形解：解：A90B904545ab
7、B tan2012045tan20tanBbacbB sin2202045sin20sin22BbcABCabc2045你还有其他你还有其他方法求出方法求出c吗？吗？例例3 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC=6， BAC的平分线的平分线 ，解这个直角三角形。，解这个直角三角形。4 3AD DABC64 3解：解：63cos24 3ACCADAD30CAD因为因为AD平分平分BAC60 ,30CABB 12,6 3ABBC1 1、如图，在、如图，在ABCABC中中,A=30,A=30, ,tanB= ,AC=2 ,tanB= ,AC=2 ,求求AB. AB. 2 23 3ACBD3
8、2、如图所示，已知：在、如图所示，已知：在ABC中，中，A=60，B=45，AB=8.求：求：ABC的面积的面积(结果可结果可保留根号保留根号). CABDABCE解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造常通过作辅助线构造直角三角形直角三角形来解来解.温馨提示温馨提示DCADB3、已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，ACB90
9、，CDAB，垂足为，垂足为D， 若若B30，CD6，求，求AB的长的长4. 如图如图,太阳光与地面成太阳光与地面成60度角度角,一棵倾斜的大树一棵倾斜的大树AB与地面成与地面成30度角度角,这时测得大树在地面上的影长这时测得大树在地面上的影长为为10m,请你求出大树的高请你求出大树的高.ABC30地面地面太阳光线太阳光线6030AB的长的长D 5、如图：、如图：RtABC中，中，C=90,A=30，BDC=45 求：（求：（1）若）若BC=2,求求AD ( 2 ) 若若AD=4,求求BC 的长，求线的平分，中，如图，在BCABADAACCABCRt34690. 2BACD34612233461
10、cos0301030B12sinBACAB的长，求的面积为，边上一点，为中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ABCDE，的延长线于，交解：如图，作ECBCBAE 12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在61412355ABC例例3 .如图，如图，ABC中，中， B=45， C=30， AB=2，求，求AC的长的长.解：过A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，222D45302AD= sinB =ABAD在RtACD中
11、，C=30ABsinB=22sin45=2AC=2AD=22 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？解：过点解：过点C C作作CD AB,CD AB,垂足为垂足为D D北A A B BC CD D21052210F灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45的方向的方
12、向 B=45sinB =CBCDCD=BCsinB=10sin45=10 =22在在RtDAC中，中， sin DAC=ACCD2102521 DAC=30CAF=BAF -DAC=45-30=154545灯塔灯塔C处在观察站处在观察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向25 例例2 2： 虎门威远的东西两炮台虎门威远的东西两炮台A、B相相距距2000米，同时发现入侵敌舰米，同时发现入侵敌舰C，炮台炮台A测测得敌舰得敌舰C在它的南偏东在它的南偏东40的方向，炮台的方向，炮台B测得敌舰测得敌舰C在它的正南方，试求在它的正南方，试求: :(1)(1)敌舰敌舰C C与炮台与炮台A A的距离的距离;(2
13、)(2)敌舰敌舰C C与炮台与炮台B B的距离的距离.(精确到精确到1米）米）tan40tan40=0.839=0.839 cot40 cot40=1.192=1.192 图 25.3.2 东南西北练习练习1：海船以：海船以32.6海里海里/时的速度向正北方时的速度向正北方向航行，在向航行，在A处看灯塔处看灯塔Q在海船的北偏东在海船的北偏东30处，半小时后航行到处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求与海船的距离最短，求(1)(1)从从A A处到处到B处的距离处的距离;(2)灯塔灯塔Q到到B处的距离处的距离（画出图形后计算，（画出图形后计算，精确到精确到 0.
14、1 海里）海里） 东南西北AQB306030SBA北南西东w 4. (2010 四川省内江市四川省内江市) 为建设为建设“宜居宜业宜游宜居宜业宜游”山水山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造景观打造.如图，某施工单位为测得某河段的宽度，如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点测量员先在河对岸边取一点A再在河这边沿河取两点再在河这边沿河取两点B,C,在点在点B处测得点处测得点A在北偏东在北偏东30方向上，在点方向上，在点C处处测得点测得点A在西北方向上，量得在西北方向上，量得BC长为长为200米米.请你求出请你求出该河段的宽度（结果保留根号）该河段的宽度（结果保留根号）.