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1、直角三角形的判定 -勾股定理的逆定理学习目标：学习目标：1 1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。否是直角三角形。 2 2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3 3进一步加深性质定理与判定定理之间关系进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识的认识 本节的重点是：勾股定理的逆定理 本节的难点是：用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是否直角 三角形 在中考中，很多问题常常要证明两条直线互相垂直，当题中给出线段的长度要证明它们互相垂直时，往往用到勾股定理的逆定理通过计算得到证明 二、重点、难点二、重点、难点一、复习回
2、顾一、复习回顾1、前面我们进一步学习了直角三角形的性质、前面我们进一步学习了直角三角形的性质 在直角三角形中在直角三角形中 角：有一个角是直角，两锐角互余角：有一个角是直角，两锐角互余 边：两直角边的平方和等于斜边的平方边：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.如何判定一个三角形是直角三角形如何判定一个三角形是直角三角形 ？角角：定义判定（有一个角是直角的三角形是直角三角形）定义判定（有一个角是直角的三角形是直角三角形） 有两个内角的和是有两个内角的和是 的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 90边：？边：？ 据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一根
3、长绳打上根长绳打上等距离等距离的的1313个结，然后以个结，然后以3 3个结、个结、4 4个结、个结、5 5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角你知道角形，他们认为其中一个角便是直角你知道为什么吗？为什么吗？二、探索勾股定理的逆定理二、探索勾股定理的逆定理345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+= 下面的三组数分别是一个三下面的三组数分别是一个三角形的三边长角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5； 6，8，10。（1）这三组数都满足）这三组数都满足222cba 吗？吗？（2）画出图形）画出图形,它们都
4、是直角三角形吗？它们都是直角三角形吗？动手画一画动手画一画由上面几个例子你发现了什么吗? 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2三角形的三边长三角形的三边长a、b、c满足：满足：a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形cabBCA说明：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；（
5、2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形：(1) a15 , b 8 , c17例题解析例题解析(2) a13 , b 15 , c14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条不是直角三角形，只要看两条较小边较小边的平方的平方和是否等于和是否等于最大边最大边的平方。的平方。解：解：1528222564289 172289 15282172 这个三角形是
6、直角三角形这个三角形是直角三角形 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3 像像15,20,25,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数. 像像15,20,25,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三
7、条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数. 若一组勾股数都扩大相同的倍数若一组勾股数都扩大相同的倍数,组成的组成的还是勾股数吗还是勾股数吗?例2、 试判断：三边长分别为2n22n，2n1，2n22n1(n 0)的三角形是否直角三角形. 【分析】先找到最大边，再验证三边是否符合勾股定理的逆定理. 解： 2n22n12n22n， 2n22n1 2n1， 2n22n1为三角形中的最大边.又 (2n22n1)24 n48n38n24n1， (2n1)2(2n22n)24n48n38n24n1， (2n22n1)2(2n1)2(2n22n)2 . 根据勾股定理的逆定理可知， 此三角
8、形为直角三角形. 例3 已知：如图，四边形ABCD中， B90，AB4，BC3， AD13，CD12.求：四边形ABCD的面积. 【分析】所给四边形是不规则图形，无面积公式，需转化为规则图形计算.又知ABC90，且四条边长已知，不妨连结AC，构成两个三角形，分别求面积. 3 4 12 13 A B C D S四边形ABCDSABCSACD36. 【解】连结AC在ABC中，B90， AB4，BC3， AC 5. 在ACD中，AC5，CD12，AD13 AC2CD225144169， AD2132169， AC2CD2AD2. ACD是直角三角形. SABC ABBC 346， SACD ACCD
9、 51230. ABBC2212121212 3 4 12 13 A B C D 例3 已知：如图，四边形ABCD中， B90，AB4，BC3， AD13，CD12. 求：四边形ABCD的面积. 例4 已知：如图，正方形ABCD中， F为DC 中点，E为BC上一点，且EC BC. 求证：EFA90. 41FDCEAB【证明】设正方形ABCD的边长为4a， 则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，由勾股定理得AE 2AB 2BE 2(4a)2(3a)225a2.在RtADF中，由勾股定理得AF 2AD2DF 2(4a)2(2a)220a2.在RtECF中，由勾股定理得 EF 2EC 2
10、CF 2a2(2a)25a2. AF 2EF 2AE 2.由勾股定理的逆定理可知，EFA90. 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2课堂小结B) (,2)(22则此三角形是满足条件、三角形三边长abcbacbaA、锐角三角形、锐角三角形 B、直角三角形、直角三角形C、钝角三角形、钝角三角形 D、等边三角形、等边三角形1.练一练练一练一、选择题2在已知下列三组长度的线段中，不能构 成直角三角形的是 ( ) (A)5、12、13 (B)2、3、 (C)4、7、5 (D)1、
11、 、 523C 3 3以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是 （ ）A A B B7 7，2424，2525C C4 4，7.57.5，8.5 D8.5 D3.53.5，4.54.5，5.55.522, 13, 13（4）将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍）将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数数,则得到的三角形是则得到的三角形是 ( )A.是直角三角形是直角三角形; B. 可能是锐角三角形可能是锐角三角形;C. 可能是钝角三角形可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形不可能是直角三角形.（5） 如果线段如果线段a,b,c能组成直角三
12、角形能组成直角三角形, 则它们则它们的比可能是的比可能是 ( ) A.3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.二、填空题：(1)直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm.(2)已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.(3)ABC中,AB=AC,BAC=120,AB=12cm,则BC边上的高AD= cm；AB边上的高CE= cm （4 4）请完成以下未完成的勾股数：）请完成以下未完成的勾股数： （1 1）8 8、1515、_；（；（2 2）1010、2626、_（5 5）AB
13、CABC中，中，a2+b2=25，a2-b-b2=7=7，又，又c=5c=5， 则最大边上的高是则最大边上的高是_ （7 7）如图，两个正方形的面积分别）如图，两个正方形的面积分别 为为6464，4949，则，则AC=AC= . .ADC644917（6）如果ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2b2c2506a8b10c， 则ABC的形状是 _ _。(8)已知已知ABC中中BC=41, AC=40, AB=9, 则此则此 三角形为三角形为_三角形三角形, _是最大角是最大角.直角直角 A（10）在）在RtABC中中,C=90,CD 是是高高,AB=1,则则 2 CD2 + AD2 +BD2
14、 =;（11）三角形的三边长）三角形的三边长 a, b, c 满足满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,此三角形为三角形此三角形为三角形.(9)以以ABC的三条边为边长向外作正方形的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的依次得到的面积是面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是则这个三角形是_三角形三角形.直角直角 吗?说明理由ABC是直角三角形 n是正整数)，m,n,(m且cb,a, 分别为ABC三角形的三边 1、已知 n nm m= =c c2 2m mn n, ,= =b b, ,n n- -m m = =a a2 22 22 22 2分析：分析
15、：先来判断先来判断a,b,c三边哪条最长，三边哪条最长，可以代可以代m,n为满足条件的特殊值来试，为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则则a=9,b=40,c=41,c最大。最大。2222222222)()2()(cnmmnnmba 解：ABC是直角三角形是直角三角形练一练练一练三、解答题：2、如图，有一块地，已知，、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。求这块地的面积。ABC341312D24平方米平方米32CD=cm, AD=2cm, ACAB。3、已知：在四边形、已知：在四边形ABCD中，中，AB=3cm, BC=5c
16、m,DCBA DC = 3.52 cm AD = 2.03 cm BC = 5.08 cmCA = 4.11 cmAB = 3.00 cm求：求：S四边形四边形ABCD13ABCDABCD345124、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中件中A和和DBC都应为直角。工人师傅量得这都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求零件符合要求吗？吗？波平如镜一湖面，半尺高处出红莲。波平如镜一湖面，半尺高处出红莲。亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边。亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边。离开原处两尺远，花贴湖面似睡莲。离开原处两尺远，花贴湖面似睡莲。请你动动脑筋看，池塘在此多深浅。请你动动脑筋看，池塘在此多深浅。21x21x2433解：AD为红莲，出水处为C，则CB=2，若湖水深为x尺，红莲高AD=AB=尺，在直角三角形ABC中由勾股定理得：答：湖水此处深21x222)21(2xx解得 433x（尺）尺5、作业 1、习题14.1 第6题 2、优化作业本 第5657页