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1、2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）2 sin(sin)22 sin(sin)22 sin(sin)2aaRAARbbRBBRccRCCR: :sin:sin:sina b cABC一、正弦定理及其变形：一、正弦定理及其变形：ABCabcB2R 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 正弦定理解决的题型正弦定理解决的题型：变形变形变形变形2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2c
2、os2bcaAbcacbBacabcCab二、余弦定理及其推论：二、余弦定理及其推论：推论推论三、角形的面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB111222ABCabcSahbhchABCabcha1、已知三边求三角、已知三边求三角.2、已知两边和他、已知两边和他们的夹角，求第们的夹角，求第三边和其他两角三边和其他两角.余弦定理解决的题型余弦定理解决的题型：练习：选择最佳方法求下列图形中的x103045x（1）512120 x（2）3014x13510（4）432x（5）57x60（6）68x（3）30 1.ABCA606,3,ABCab例 在中，则解得情况是.D.C
3、.B.A不能确定有两解，有一解，无解，练习：根据条件，确定下列判断中正确的有（ ） (1) 4,5,30abA有一解25,4,60abA（ ）有一解(3) 3,2,120abB有一解43,6,60abA（ ）无解 练习:题型二 判断三角形的形状例3在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=60,2b=a+c,判断ABC的形状.【分析】判断三角形的形状,可从角或边的角度去思考,于是可通过正弦定理将边转化为角,或通过余弦定理转化为边,这样可有两种基本解法.【解析】(法一)2b=a+c,2sin B=sin A+sin C,B=60,A+C =120,代入,得2sin 60=sin(1
4、20-C)+sin C,展开整理得,sin C+cos C=1,sin(C+30)=1,C=60,所以A=60,故ABC为正三角形.(法二)由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B,B=60,b= ,( )2=a2+c2-2accos 60,(a-c)2=0,a=c=b,故ABC为正三角形.32122ac2ac例例4等腰或直角三角形等腰或直角三角形解法一：角化为边解法二：边化为角22tanABCABCtanAaBb在中，若，判断的形状。分析：判断三角形的形状，通常是指等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形等特殊三角形，多会运用正、余弦定理将所给条件中的三角形的边角关系统一
5、转化为边的关系或角的关系。22ABC,sinsinsin,abcABC练习 、在中，已知2试判断其形状练习：在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,C=2A,cos A=.(1)求cos C,cos B的值;(2)若 = ,求边AC的长.34BABC272【分析】第(1)问是解三角形题,因此由C=2A及cos A=可利用和、差角公式,求出cos C与cos B;而第(2)问利用数量积可34得accos B=,结合正弦、余弦定理可求出AC.272【解析】(1)cos C=cos 2A=2cos2A-1=2()2-1=,sin C= ,sin A=.cos B=-cos(A+C)=sin
6、Asin C-cos Acos C34183 7874=-=.(2) =,accos B=,即ac=24.又 = ,C=2A,c=2acos A=a.由解得a=4,c=6.b2=a2+c2-2accos B=16+36-246=25,b=5,即边AC的长为5.743 783418916BABC272272sinaAsincC32916题型四解三角形在实际中的应用在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A处( -1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿
7、什么方向才能最快追上走私船?【解析】如图所示,注意到最快追上走私船且两船所用时间相等,若在D处相遇,则可先在ABC中求出BC,再在BCD中求BCD.33设缉私船用t小时在D处追上走私船,则有CD=10 t,BD=10t.在ABC中,AB= -1,AC=2,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos BAC=( -1)2+22-2( -1)2cos 120=6,BC= ,33336CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得sin BCD= =,BCD=30.sinBDCBDCD10 sin12010 3tt12即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.本章知识框架图 正弦定理 余弦定理 解 三 角 形 应 用 举 例小结与作业：小结与作业：作业：成才之路作业：成才之路 第三课时第三课时 感谢您的到来，请留下您宝贵的建议！