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1、高考卷高考卷,07,07 普通高等学校招生考试全国普通高等学校招生考试全国 2,2,理科数学（必修理科数学（必修+ +选修选修 II II）全解全析）全解全析 2022 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 理科数学(必修+选修II)全解全析 注意事项: 1 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.共 4 页,总分 150 分考试时间 120 分钟. 2 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。 3 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题
2、卷上。 4 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。 5 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。 6 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。球的表面积公式 S=4 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式 V=， 其中 R表示球的半径 参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件 A、B 相互独立，
3、那么 P（AB）=P（A）P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=CPk(1P)nk 一选择题 1sin2100 = (A) (B) -(C) (D) - 2函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)（， ） (B) （， ）第 1页 共 6页 (C) （p， ） (D) （，2p） 3设复数 z 满足=i，则 z = (A) -2+i (B) -2-i (C) 2-i (D) 2+i 4以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2 5在ABC中，已知
4、D 是 AB 边上一点，若=2，=,则 l= (A) (B) (C) - (D) - 6不等式:0 的解集为 (A)( -2, 1) (B) ( 2, +) (C) ( -2, 1) ( 2, +) (D) ( -, -2) ( 1, +) 7已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则 AB1 与侧面 ACC1A1 所成角的正弦等于 (A) (B) (C) (D) 8已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 (A)3 (B) 2 (C) 1 (D) 9把函数 y=ex的图象按向量 a=(2,3)平移，得到 y=f(x)的图象，则 f(x)= (A) ex-3+2 (B)e
5、x+32 (C) ex-2+3 (D) ex+23 10从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有 (A)40 种 (B) 60 种 (C) 100 种(D) 120 种 11设 F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 (A) (B) (C) (D)12设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4
6、(D) 3 第 II 卷（非选择题）本卷共 10 题，共 90 分。二填空题 13 （1+2x2）(x)8 的展开式中常数项为 。 （用数字作答） 14在某项测量中，测量结果 x 服从正态分布 N（1，s2） （s 0） ，若 x 在（0，1）内取值的概率为 0.4，则 x 在（0，2）内取值的概率为 。 15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2. 16已知数列的通项 an=5n+2,其前 n 项和为 Sn, 则= 。三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.在 A
7、BC 中，已知内角 A=,边 BC=2,设内角 B=x, 周长为 y （1）求函数y=f(x)的解析式和定义域；第 2页 共 6页 A B C D P E F （2）求 y 的最大值 18. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P（A）=0.96 (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p;（2）若该批产品共有 100 件，从中任意抽取 2 件，x 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 x 的分布列 19.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD 底面 ABCD，E
8、、F 分别是 AB、SC 的中点 （1）求证：EF 平面 SAD （2）设 SD = 2CD，求二面角 AEFD 的大小 20在直角坐标系 xOy 中，以 O为圆心的圆与直线：x-y=4 相切 （1）求圆 O 的方程 （2）圆 O 与 x 轴相交于A、B 两点，圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。 21设数列an的首项 a1 (0,1), an=，n=2,3,4 （1）求an的通项公式；（2）设，求证 ，其中 n 为正整数。 22.已知函数 f(x)=x3x （1）求曲线 y=f(x)在点 M(t, f(t)处的切线方程 （2）设 a 0,如果过点（a, b
9、）可作曲线 y=f(x)的三条切线，证明：a bf(a) 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修）参考答案 评分说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题 题号 1
10、2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DC C D A C A A C B B B 1sin2100 =，选 D。 2函数 f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是(p，)，选 C。 3设复数 z=, (a，bR)满足=i， ， ， z =，选 C。第 3页 共 6页 4 ， ln(ln2) 0，(ln2)2 ln2，而 ln=ln2 ln2， 最大的数是ln2，选 D。 5在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若=2，=，则 =， l=，选 A。 6不等式: 0， ，原不等式的解集为(-2, 1)(2, +)，选 C。 7已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长
11、与底面边长相等，取 A1C1 的中点D1，连接 BD1，AD1，B1AD1 是 AB1 与侧面 ACC1A1 所成的角， ，选 A。 8已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得 x=3 或 x=2，由选择项知，只能选 A。 9把函数 y=ex 的图象按向量=(2,3)平移，即向右平移 2 个单位，向上平移 3 个单位，平移后得到 y=f(x)的图象，f(x)= ，选 C。 10从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有种，选 B。 11设 F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点。若双曲
12、线上存在点 A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， ， 离心率，选 B。 12设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，A、B、C 为该抛物线上三点，若=0，则 F为ABC 的重心， A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍，即等于3， |FA|+|FB|+|FC|=，选 B。二、填空题 题号 13 14 15 16 答案 13(1+2x2)(x)8 的展开式中常数项为=42。 14在某项测量中，测量结果 x 服从正态分布 N（1，s2） （s 0） ，正态分布图象的对称轴为 x=1，x 在（0，1）内取值的概率为 0.4，可
13、知，随机变量 在(1，2)内取值的概率于 x 在(0，1)内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机变量 在(0，2)内取值的概率为 0.8。 15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为 1cm，设正四棱柱的高为 h，2R=2=，解得 h=，那么该棱柱的表面积为 2+4cm2. 16已知数列的通项 an=第 4页 共 6页5n+2，其前 n 项和为 Sn，则=。三、解答题 17解： （1）的内角和，由得 应用正弦定理，知 ， 因为， 所以， （2）因为 ， 所以，当，即时，取得最大值 18解： （1）记表示事件“取出的 2 件产
14、品中无二等品”， 表示事件“取出的 2 件产品中恰有1 件二等品” 则互斥，且，故 于是 解得（舍去） （2）的可能取值为 若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有件，故 所以的分布列为 0 1 2 A E B C F S D H G M 19解法一：（1）作交于点，则为的中点 连结，又， 故为平行四边形 ，又平面平面 所以平面 （2）不妨设，则为等 腰直角三角形 取中点，连结，则 又平面，所以，而， 所以面 取中点，连结，则 连结，则 故为二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x 所以二面角的大小为 解法二： （1）如图，建立空间直角坐标系 设，则 ， 取的中
15、点，则 平面平面， 所以平面 （2）不妨设，则 中点 又， ， 所以向量和的夹角等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 20解： （1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即 得圆的方程为 （2）不妨设由即得 设，由成等比数列，得 ， 即 由于点在圆内，故 由此得 所以的取值范围为 21解： （1）由 整理得 又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故 那么， 又由（1）知且，故， 因此 为正整数 方法二：由（1）可知， 因为， 所以 由可得， 即 两边开平方得 即 为正整数 22解： （1）求函数的导数； 曲线在点处的切线方程为：， 即 （2）如果有一条切线过点，则存在，使 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程 有三个相异的实数根 记 ， 则 当变化时，变化情况如下表： 0 0 0 极大值 极小值 由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；第 5页 共 6页当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即 第 6页 共页 6