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1、一、和差问题说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会！”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：大数=（和+差）2小数=（和-差）2会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.先看几个简单的例子.例 1 张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95 分，数学比语文多得 8 分，张明这两门功课的成绩各是多少分？解：95 乘以 2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是 8.因此数学得分=（9528）299.语文得分=(952-8）2 91.答：张明数学得 99 分，语文得 91 分.注：也可以从 952-9991 求
2、出语文得分.例 2 有 A，B，C 三个数，A 加 B 等于 252，B 加 C 等于 197， C加 A 等于 149，求这三个数.解：从 B+C197 与 A+C149，就知道 B 与 A 的差是 197-149，题目又告诉我们，B 与 A 之和是 252.因此B=（252 197-149） 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C 三数分别是 102，150，47.注：还有一种更简单的方法（A+B）（BC）（CA）2（ABC）.上面式子说明，三数相加再除以 2，就是三数之和.ABC（252197149）2299.因此C299-25247，B299-1491
3、50，A299-197102.例 3 甲、 乙两筐共装苹果 75 千克， 从甲筐取出 5 千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多 7 千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？解：画一张简单的示意图，就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙两数之和是 75，差为 17.甲筐苹果数=（7517）2 46（千克）.乙筐苹果数=75-4629（千克）.答：原来甲筐有苹果 46 千克，乙筐有苹果 29 千克.例 4 张强用 270 元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140 元，买外衣和鞋比帽子多花 210 元，张强买这双鞋花多少钱？解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与
4、帽子的价格和是 270 元，差是 210 元.外衣和鞋价之和=（270 210）2 240（元）.外衣价与鞋价之差是 140，因此鞋价=（240-140）250（元）.答：买这双鞋花 50 元.再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.例 5 李叔叔要在下午 3 点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在 12 点 10 分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有 10 分钟.夜里 11 点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才 9 点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家
5、的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？解：到厂时看钟是 2 点 50 分，离家看钟是 12 点 10 分，相差 2 小时40 分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）.晚上下班时，厂里钟是 11 点，到家看钟是 9 点，相差 2 小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）.现在已把问题转化成标准的和差问题了.钟停的时间=（160120） 2 140（分钟）.路上用的时间=160-14020（ 分钟）.答：李叔叔的钟停了 2 小时 20 分.还有一种解法，可以很快算出李
6、叔叔路上所用时间：以李叔叔家的钟计算，他在 12 点 10 分出门，晚上 9 点到家，在外共 8小时 50 分钟，其中 8 小时上班，10 分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以上班路上所用时间= （8 小时 50 分钟-8 小时-10 分钟） 220 （分钟） .钟停时间=2 小时 40 分钟-20 分钟=2 小时 20 分钟.例 6 小明用 21.4 元去买两种贺卡， 甲卡每张 1.5 元， 乙卡每张 0.7 元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明 3.2 元.问小明买甲、乙卡各几张？解：甲卡与乙卡每张相差 1.5-0.7 0.
7、 8（元），售货员错找还小明3.2 元，就知小明买的甲卡比乙卡多 3.20.84（张）.现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢？请注意1.5甲卡张数+0.7乙卡张数=21.4.1.5乙卡张数+0.7甲卡张数=21.4-3.2.从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是21.4（21.4-3.2）（1.5 0.7） 18（张）.因此，甲卡张数是（18 4） 2 11（张）.乙卡张数是 18-11 7（张）.答：小明买甲卡 11 张、乙卡 7 张.注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.例 7 有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形（A）的周长是
8、 240 厘米，大长形（B）的周长是 258 厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米？解：大长方形（A）的周长是原长方形的长2+宽4.大长方形（B）的周长是原长方形的长4+宽2.因此，240+258 是原长方形的长6+宽6.原长方形的长与宽之和是（240258）683（厘米）.原长方形的长与宽之差是（258-240）29（厘米）.因此，原长方形的长与宽是长：（83 9）2 46（厘米）.宽：（83-9）237（厘米）.答：原长方形的长是 46 厘米、宽是 37 厘米二、倍数问题当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的 “年龄问题” 是这类问题
9、的典型.先看几个基础性的例子.例 8 有两堆棋子，第一堆有 87 个，第二堆有 69 个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的 3 倍.解：两堆棋子共有 8769156（个）.为了使第二堆棋子数是第一堆的 3 倍， 就要把 156 个棋子分成 134（份），即每份有棋子156 （13）39（个）.第一堆应留下棋子 39 个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是87-3948（个）.答：应从第一堆拿 48 个棋子到第二堆去.例 9 有两层书架，共有书 173 本.从第一层拿走 38 本书后，第二层的书比第一层的 2 倍还多 6 本.问第二层有多少本
10、书？解：我们画出下列示意图：我们把第一层（拿走 38 本后）余下的书算作 1“份”，那么第二层的书是 2 份还多 6 本.再去掉这 6 本，即173-38-6129（本）恰好是 3 份，每一份是1293=43（本）.因此，第二层的书共有432 + 692（本）.答：书架的第二层有 92 本书.说明：我们先设立“1 份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法， 特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.例10 某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的 4倍少 23 人，全校女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人.问全校有男、女生各多少人？解：设
11、六年级学生人数是“1 份”.男生是 4 份-23 人.女生是 3 份+11 人.全校是 7 份-（23-11）人.每份是（975+12）7141（人）.男生人数=1414-23541（人）.女生人数=975-541434（人）.答：有男生 541 人、女生 434 人.例 9 与例 10 是一个类型的问题， 但稍有差别.请读者想一想， “差别”在哪里？70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的 2倍.问原来两种鞋各有几双？解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作 4 份，售出 1 份，还有 3份.那么原有皮鞋增加 70 双后将是 32=6（份）.40070 将是 3+1610（份）.每份是（40070）
12、1047（双）.原有旅游鞋 474=188（双）.原有皮鞋 476-70212 （双）.答：原有旅游鞋 188 双，皮鞋 212 双.设整数的份数， 使计算简单方便.小学算术中小数、 分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.下面例子将是本节的主要内容年龄问题.年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数” 这一条件.解年龄问题最关键的一点是： 两个人的年龄差总保持不变.例 12 父亲现年 50 岁，女儿现年 14 岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的 5 倍？解：父女相差 36 岁，这个差是不变的.几年前还是相差 36 岁.当父亲的年
13、龄恰好是女儿年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大 36 岁.这 36岁是女儿年龄的（5-1）倍.36（5-1）9.当时女儿是 9 岁，14-95，也就是 5 年前.答：5 年前，父亲年龄是女儿年龄的 5 倍.例 13 有大、小两个水池，大水池里已有水 300 立方米.小水池里已有水 70 立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的 3 倍.问每个水池注入了多少立方米的水.解：画出下面示意图：我们把小水池注入水后的水量算作 1 份， 大水池注入水后的水量就是 3 份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是 2 份.因此每份是（
14、300-70）2 115（立方米）.要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每个水池要注入 45 立方米的水.例 13 与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.例 14 今年哥俩的岁数加起来是 55 岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同， 那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的 2 倍时，我们设那时弟弟的岁数是 1 份， 哥哥的岁数是 2 份， 那么哥哥与弟弟的岁数之差是 1 份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差 1 份.题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数
15、也是 2 份，而哥哥今年的岁数应是 213（份）.今年，哥弟俩年龄之和是32=5（份）.每份是 555 11（岁）.哥哥今年的岁数是 11333（岁）.答：哥哥今年 33 岁.作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.例 15 父年 38 岁，母年 36 岁，儿子年龄为 11 岁.问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的 4 倍？解：现在父母年龄之和是38 36 74.现在儿子年龄的 4 倍是 11444.相差74-44 30.从 4 倍来考虑，以后每年长 144，而父母年龄之和每年长 112.为追上相差的 30，要30（4-2）15（年）答：15 年后，父母年龄之和是儿子年龄的 4 倍.
16、请读者用例 15 的解题思路，解习题二的第 7 题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.请读者想一想，例 15 的解法，与例 12 的解法，是否不一样？各有什么特点？我们也可以用例 15 解法来解例 12.具体做法有下面算式：（14 5-50）（5-1） 5（年）.不过要注意 145 比 50 多，因此是 5 年前.三、盈不足问题在我国古代的算书中，九章算术是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.例 16 有一些人共同买一些东西，每人出 8 元，就多了 3元；每人出 7 元，就少了 4 元。那么有多少人？物价是多少？解：“多 3 元
17、”与“少 4 元”两者相差347（元）.每个人要多出 8-71（元）.因此就知道，共有 717（人），物价是87-353（元）.答：共有 7 个人一起买，物价是 53 元.上面的 34 可以说是两个总数的相差数.而 8-7 是每份的相差数.计算公式是总数相差数每份相差数=份数这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.例 17 把一袋糖分给小朋友们，每人分 10 粒，正好分完；如果每人分16粒， 就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒？解一： 3 位小朋友本来每人可以分到 10 粒， 他们共有的 103 30（粒），分给其余小朋友，每人就可以增加 1
18、6-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10） 5（人）.再加上这 3 位小朋友，共有小朋友 53 8（人）.这袋糖有10（5 3） 80（粒）.解二：如果我们再增加 163 粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）这袋糖有 80 粒.答：这袋糖有 80 粒.这里， 163 是总差，（16-10）是每份差， 8 是份数.例 18 有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐 6 人；如果减少一条船，每条船正好坐9 人.这个班共有多少名同学？解：如果每条船坐 6 人，就要增加一条船，也就是现在有6 个人无船坐；如果每条船坐 9
19、 人，可以减少一条船，也就是还可以多来 9 个人坐船.可以坐船的人数，两者相差 6 915（人）.这是由于每条船多坐（9-6）人产生的，因此共有船（6 9）(9-6） 5（条）这个班的同学有 65 6 36（人）.答：这个班有 36 人.例 19 小明从家去学校，如果每分钟走 80 米，能在上课前 6 分钟到校，如果每分钟走 50 米，就要迟到 3 分钟，那么小明的家到学校的路程有多远？解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走 80 米，就可以多走 806（米）；如果每分钟走 50 米，就要少走 503（米）.请看如下示意图：
20、因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是（806 503） （80- 50） 21（分钟）.家至学校距离是800（21-6） 1200（米）或 50 （21+3） 1200（米）.答：小明家到学校的路程是 1200 米.解二：以每分钟 80 米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.用每分钟 50 米速度，就要多用 63= 9（分种）.这 9 分钟所走的 509（米），恰好补上前面少走的.因此每分钟 80米所需时间是50（63）（80- 50） 15（分钟）再看两个稍复杂的例子.例 20 一些桔子分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个桔子.如果人数增加到 3 倍还少 5 个人
21、， 那么每人分 2 个桔子还缺少 8 个，问有桔子多少个？解：使人感到困难的是条件“3 倍还少 5 人”.先要转化这一条件.假设还有 10 个桔子， 10 25，就可以多有 5 个人，把“少 5 人”这一条件暂时搁置一边，只考虑 3 倍人数，也相当于按原人数每人给 23=6（个）.每人给 5 个与给 6 个，总数相差10 10 8 28 (个）.所以原有人数 28（6-5)=28（人）.桔子总数是 5 28 10 150（个）.答：有桔子 150 个.例 21 有一些苹果和梨.如果按每 1 个苹果 2 个梨分堆， 梨分完时还剩 5 个苹果，如果按每 3 个苹果 5 个梨分堆，苹果分完了还剩 5
22、 个梨.问苹果和梨各多少？解一：我们设想再有 10 个梨，与剩下 5 个苹果一起，按“1个苹果、2 个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3 个苹果、5个梨” 分堆来看， 苹果总数能被 3 整除.因此可以把前一种分堆，每 3 堆并成一大堆，每堆有 3 个苹果，236（个）梨.与后一种分堆比较：每堆苹果都是 3 个.而梨多 1 个（6-51）.梨的总数相差设想增加 10 个+剩下 5 个=15 个.（10 5）（6- 5） 15.就知有 15 个大堆，苹果总数是153 45（个）.梨的总数是（455）280（个）.答：有苹果 45 个、梨 80 个.解二：用图解法.前一种分堆，在图上用梨 2 份，
23、苹果 1 份多 5 个来表示.后一种分堆，只要添上 3 个苹果，就可与剩的 5 个梨又组成一堆.梨算作 5 份，苹果恰好是 3 份.将上、下两图对照比较，就可看出， 5 3 8（个）是下图中“半份”，即 1 份是 16.梨是 5 份，共有 165 80（个）.苹果有 162.5 5 45（个）.北京家教网化学-一对一辅导老师 NO.1:本人是首都师范大学家教， 2010级化学系研究生，性格温和，有责任心，有耐心，从本科期间一直从事家教，经验丰富。北京家教网化学-一对一辅导老师 NO.2:本人从事多年初三化学的教学工作，每年都获得优异成绩。从事化学家教也有多年，每一个学生都在原有的基础上有较大提高。北京家教网化学-一对一辅导老师 NO.3:我很喜爱化学，高中曾拿过北京市化学竞赛一等奖。如何把握理综试卷也有一定的经验，理综考试一般在270以上。我对高中理综家教比较有自信，而且思路明确清晰，在校期间经常为同学讲解问题，大家都说我讲的非常透彻。文章来源：