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1、级数求和公式级数求和公式1张金伟一、引言一、引言我们经常遇到诸如 1+2+3+. +100、1/2+1/4+1/8+1/1000 之类的对一列有规律的数求和的问题，即所谓的级数求和，但常常是这样的一列数太长，使我们畏怯于枯燥的计算，或者由于结果累计误差太大而失去计算的意义。级数求和曾给人带来麻烦事，有这样一个传说，古印度有个国王对印度象棋颇有兴趣，某日招象棋发明人进宫，欲予赏赐，国王问发明人所欲何物。发明人想得到一车稻谷，但为了显示自己的斯文与机智，便说：大王只须在棋盘的第格中放1 粒稻谷，在第格中放2 粒稻谷，在第格中放粒稻谷，在第格中放粒稻谷，以此类推放满整个棋盘的 64 格，卑人足已。国
2、王听罢大笑，说：智者索物的方式亦高人一筹，朕一定满足你的要求。便咐左右为其发赏不得马虎。可三天后库司才算出结果，贴耳告诉国王，把全国的所以库粮加在一起也不够发。国王觉得发明人当众愚弄了他，便使人暗中杀了发明人，奖赏兑现的事自然也就不了了之。 现在中学生都能很快计算这个问题了， 其稻谷数总和为lg2-110(粒)，这岂止是一车稻谷啊，至少是万亿吨！哎，发明人和国王不会计算，误会酿祸，聪明反被聪明误，实在可悲！或许你也碰到过奇特的级数求和问题，当然不会象上面提到的故事那么严重，不过我相信它会给你带来烦恼与喜悦那绝对是真的。这里给大家介绍一个级数求和公式，我在学泰勒级数时独立地发现并推导了它，当时很
3、让我高兴了一阵，现在将其要点列出，与各位共赏。二、推导二、推导设一级数的第 i 项为 f(i), S(i)是第 x 项之前包括第 x 项的所以各项之和，则有S(x)-S(0)=xf (x)= f(1)+f(2)+f(3)+f(i)+f(x).(1)i1所以对通项 f(t+1)有f(t+1)=S(t+1)-S(t).(2)用泰勒公展开 S(t+1)得：f(t+1)=S(t)+1/2!*S(t)+1/3!*S(t)+1/4!*S(t)+1/5!*S(t)+1/n!*S(n)(t+) .(3)其中 02 时，偶数的 n，kn都为零；奇数的 n，kn的正负号交替变化；kn绝对值逐次减小，当 n-时，k
4、n/kn+2-(2) 。现在将 kn代会（1） ，可以得到计算公式tn12t0111f (t) f (t 1)dt f (t 1) f (t 1) f(t 1).212720t1tntn1.(5)或tn1t0111f (t) f (t)dt f (t)f (t) f(t) .(6)212720t011 1f (t)dt ( f (n) f (0)f(t) f(t) .(7)272012t0tn等式两端同时加 f(n)整理得f (t) t0tnn0三、应用三、应用下面我们来应用所得公式（7）1.计算 S=04+14+24+34+n4.解：通项为 f(t)=t4,所以 f(-1)=1/5*t5,
5、f=4t3, f=12t2, f=24t, f(4) =24, f(5)=0, 代入（7）式得S=04+14+24+34+n4=1/5*n5+1/2n4+1/12*4n3-1/720*24n=1/5*n5+1/2*n4+1/3*n3-1/30*n=n(n2(6n2+15n+10)-1)/302.计算 I=100.1*100.2*100.3*(100+0.1i)*200.解：ln I=ln100.1+ln100.2+ln100.3+ln(100+0.1i)+ln200通项为 f(t)=ln(100+0.1t)所以 f(-1)=(100+0.1t)(ln(100+0.1t)-1), f=0.1/(
6、100+0.1t), f=-0.01/(100+0.1t)2, f=0.002/(100+0.1t)3, 取前三项代入（7）式得10.1lnI (100 0.1t)(ln(100 0.1t) 1) (ln(100 0.1t) 212(100 0.1t)100 4.99641624921758e 03该计算结果与精确计算结果的相对误差E 小于 1.0e-15.所以：I=10exp(ln10*4.99641624921758e03)=8.24150121404295*102169. 相对误差 E 小于 3.0e-11.200四、余项四、余项（7）式可以写成代余项的形式tnt0f (t) n011
7、1f (t)dt ( f (n) f (0)f(t) f(t). knf(n)(n)272012t0.(8)tn其中0 1.这就是著名的“欧拉马克劳林求和公式” ，更多知识，感兴趣者只有查阅级数专著了。五、系数五、系数 k kn n表表k1= 1.00000000000000e+00k3= 8.33333333333333e-02k5=-1.38888888888889e-03k7= 3.30687830687830e-05k9=-8.26719576719585e-07k11= 2.08767569878681e-08k13=-5.28419013868749e-10k15= 1.33825
8、365306847e-11k17=-3.38968029632260e-13k19= 8.58606205627782e-15k21=-2.17486869855807e-16k23= 5.50900282836021e-18k25=-1.39544646858125e-19k27= 3.53470703962946e-21k29=-8.95351742703749e-23k31= 2.26795245233766e-24k33=-5.74479066887214e-26k35= 1.45517247561486e-27k37=-3.68599494066528e-29k39= 9.33673
9、425709499e-31k41=-2.36502241570062e-32k43= 5.99067176248211e-34k45=-1.51745488446828e-35k47= 3.84375812545416e-37k49=-9.73635307264657e-39k2=-5.00000000000000e-01k4= 0.00000000000000e+00k6= 2.16840434497101e-19k8= 3.04931861011548e-20k10= 9.52912065661088e-22k12=-3.30872245021211e-24k14=-1.550963648
10、53693e-25k16=-1.61558713389263e-27k18= 3.78653234506086e-28k20=-1.57772181044202e-30k22= 3.82104500966428e-31k24=-6.54816181091660e-33k26= 2.04630056591144e-34k28=-6.39468926847324e-36k30= 1.58691737361009e-37k32=-2.57139389242375e-39k34= 5.73971850987445e-42k36=-1.16588032231825e-42k38= 1.401298464
11、32482e-44k40=-2.62743462060903e-46k42= 1.36845553156720e-47k44=-5.55935059699177e-49k46= 6.68191177523049e-51k48=-2.92333640166334e-52k50=-1.95759134039956e-541.20000000000000e+01-6.00000000000000e+01-4.20000000000001e+01-3.99999999999995e+01-3.96000000000004e+01-3.95079594790159e+01-3.9485714285714
12、1e+01-3.94802322366602e+01-3.94788702213512e+01-3.94785306440354e+01-3.94784458516140e+01-3.94784246647685e+01-3.94784193693046e+01-3.94784180455771e+01-3.94784177146606e+01-3.94784176319330e+01-3.94784176112510e+01-3.94784176060810e+01-3.94784176047882e+01-3.94784176044651e+01-3.94784176043844e+01-
13、3.94784176043643e+01-3.94784176043591e+01-3.94784176043581e+01-3.94784176043573e+01六、附系数六、附系数 k kn n计算程序计算程序/* programed by zhang jinwei 2003/6/30 */#includestdio.h#includedouble multi(int n);main()int i,j,max=50;double k300,klk;FILE *fp;k0=1;k1=1;fp=fopen(d:kk.txt,w);for(i=2;i=150;i+)ki=0;for(j=1;j
14、i;j+)printf(nk%d=tbbb%21.15e,i,ki);printf(tbbbk%d=tbbbb%21.15e,i+1,ki+1);printf( %21.15e,ki/ki+2);fprintf(fp,nk%d=t%21.15e,i,ki);fprintf(fp,tk%d=%21.15e,i+1,ki+1);fprintf(fp,t %21.15e,ki/ki+2);ki=ki-kj/multi(i-j+1);if(ki!=0) klk=ki-2/ki; else klk=1;for(i=1;i=50;i+=2)close(fp);getch();double multi(int n)int i;double m=1;for(i=1;i=n;i+)m=m*i;return m;