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1、ABCD复习：平面内两条直线的位置关系复习：平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线平行直线平行直线相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）两路相交两路相交立交桥立交桥立交桥中立交桥中, 两条路线两条路线AB, CDaboab既不平行，又不相交既不平行，又不相交 不同在不同在一个平面内的两一个平面内的两条直线叫做异面直线条直线叫做异面直线。没有没有只有一个只有一个没有没有共面共面不共面不共面共面共面平行平行相交相交异面异面位置关系位置关系公共点个数公共点个数是否共面是否共面1.异面直线的定义异面直线的定义2.异面直线的画法异面直线的画法说明说明:
2、 画异面直线时画异面直线时 , 为了为了体现体现 它们不共面的特点。它们不共面的特点。常借常借 助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)a a与与b b是是相交相交直线直线 a a与与b b是是平行平行直线直线a a与与b b是是异面异面直线直线a ab bM M答：答：不一定不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。它们可能异面，可能相交，也可能平行。 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？a ab ba ab b思考思考 按是否在按是否在同一平面内分同一平面内分同在一个平面内同在一个平面内相交直线平行直
3、线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无公共点无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系空间直线与直线之间的位置关系练习：正方体ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D11、与A1A是异面的有:2、与D1B异面的有：BC DC B1C1 D1C1AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD(1)(1)在如图所示的正方体中，指出哪些在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线棱所在的直线与直线BABA1 1是异面直线？是异面直线？ABCDA1B1D1C1ABCDA1B1C1D1解：与直线BA1
4、成异面直线有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D已知已知M M、N N分别是长方体的棱分别是长方体的棱C C1 1D D1 1与与CCCC1 1上的点，那么上的点，那么MNMN与与ABAB所在的直线相交吗？所在的直线相交吗？ABCDA1B1D1C1MN如图所示，如图所示，a，b是两条是两条异面直线，异面直线， 在空间中任选一点在空间中任选一点O，过过O点分别作点分别作 a,b的平行线的平行线 a和和 b,abPabO 则这两条线所成则这两条线所成的锐角的锐角（或直角），（或直角）， 称为称为异面直线异面直线a，b所成的角所成的角.？任选任选Oa平平移移4.两条异面直线所成的角两条异面
5、直线所成的角注注1:异面直线异面直线a、b所成角，只与所成角，只与a、b的相互位置有关，的相互位置有关， 而与点而与点O位置无关位置无关.一般常把点一般常把点O取在直线取在直线a或或b上上.abOa注注2:异面直线所成角的取值范围：异面直线所成角的取值范围：900注注3:求异面直线所成角的步骤：求异面直线所成角的步骤： 一作、二证、三求解一作、二证、三求解如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 相交垂直（有垂足）垂直 异面垂直（无垂足）OO因此，异面直线所成角的范围是（0， 特例：2异面直线a与b垂直也记作ab.例 3 在正方体ABCDA1B1C1D1中指出下列各对线段所
6、成的角：练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？1）AB与CC1；2）A1 B1与AC；3）A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与与CC1所成的角所成的角= 9 02）A1 B1与与AC所成的角所成的角= 4 53）A1B与与D1B1所成的角所成的角= 6 02）与棱BB1垂直的棱有：ABCDA1B1C1D1AD、A1D1、DC、D1C1、A1B1、 AB、 B1C1、 BC、相交垂直：异面垂直：垂直相交垂直异面垂直B1CC1ABDA1D11）直线AD1与B1C所成的夹角9 0不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面一个平面内的两
7、条直线叫做异面直线直线.异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系小结：小结：公理：公理： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线夹角的求法异面直线夹角的求法:一作一作(找找)、二证、三求解、二证、三求解空间中空间中,如果两个角的两边分别对应平行如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异面直线的画法辅助平面衬托法辅助平面衬托法异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交
8、直线所成的角例例3 如图，在长方体中，已知如图，在长方体中，已知AA1=AD=a,AB= a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.3CBADA1B1C1D1典例剖析典例剖析aaa3求异面直线所成角的步骤：求异面直线所成角的步骤： 一作、二证、三求解一作、二证、三求解公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行./a/b:abcc/bac即 、 、 为直线，则注：注：1.直线直线a，b，c 两两平行，可记为两两平行，可记为a / b / c .2.公理公理4所表述的性质，叫做所表述的性质，叫做空间平行线的传递性空间平行线的传递性.平行公理平行公理例例2 如图，空
9、间四边行如图，空间四边行ABCD中，中，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点的中点.求证：四边求证：四边形形EFGH是平行四边形是平行四边形.AHEFCBGD EH是是ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH = BD同理，同理，FG BD且且FG = BDEH FG且且EH =FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD2121变式：如果再加上条件变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形，那么四边形EFGH是什么图形？是什么图形？ 立体问题平面化立体问题平面化是解立体几何时是解立体几何时最主要、最最主要、最常用常用的一种方法。的一种方法。ABCA
10、1B1C1等角定理等角定理:空间中空间中如果两个角的如果两个角的两边分别对应平行两边分别对应平行, ,那么这两个那么这两个角相等或互补角相等或互补. .DD1EE1等角定理等角定理例例:如图表示一个正方体如图表示一个正方体:(1)求直线求直线BA1与CC1的夹角的度数的夹角的度数.(2)哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？垂直？BACDA1B1C1D1典例剖析典例剖析3.异面直线的判定方法：异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判定两直线不可能在定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内同一平面内.(借助反证法借助反证法)(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线面直线已知已知：aBBAa , 结论：结论：直线直线AB和和a是异面直线是异面直线 aAB