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1、1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?直接开平方法直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p0)配方法配方法:(x+m)2=n (n0)公式法公式法.042422acbaacbbx.293x.30或这个数是:小颖是这样解的. 03:2 xx解. 3x. 3这个数是:小明是这样解的得边都同时约去两方程解,3:2xxx 你能解决这个问题吗w 一个数的平方与这个数的一个数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果相倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？等，这个数是几？你是怎样求出来的？.32xx w 小颖小颖, ,小明小明, ,
2、小亮都设这个数为小亮都设这个数为x, x,根据题意得根据题意得小颖做得对吗?小明做得对吗?你能解决这个问题吗w 一个数的平方与这个数的一个数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果相倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？等，这个数是几？你是怎样求出来的？.32xx w 小颖小颖, ,小明小明, ,小亮都设这个数为小亮都设这个数为x,x,根据题意得根据题意得. 03 xx.30或这个数是:小亮是这样解的得由方程解,3:2xx.032xx. 03, 0 xx或. 3, 021xx小亮做得对吗小亮做得对吗?. 0, 0,个为那么这两个数至少有一如果两个因式的积等于即:小亮是这样想
3、的.000baba或或那么, 0ba如果小亮解方程的过程中对方小亮解方程的过程中对方程作了怎样的变换程作了怎样的变换什么叫分解因式什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个把一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形的形式叫做分解因式式叫做分解因式.分解因式法w 当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分解成两而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时个一次因式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法我们就可以用分解因式的方法求解求解. .这种用分解因式解一元二次方程的方法称为这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分分解因式法解因式法. .w老师提示老师提示:w1.1.用用分解
4、因式法分解因式法的的条件条件是是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而右而右边等于零边等于零; ;w2. 2. 关键关键是把一个一元二次方程左边化为两个一次式是把一个一元二次方程左边化为两个一次式的积，而右边是零的积，而右边是零. .w3.3.理论理论是是“如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零, ,那么至少有一那么至少有一个因式等于零个因式等于零.”.”, 0ba如果你能根据你能根据 说出下列方程的解吗？说出下列方程的解吗？00ba或那么(1)(x-2)(x-5)=0_(2)(x+1)(x-4)=0_(3)(y+2)(2y-1)=0_(4)(x-a)(x-b)=0_(5)(2t
5、-7)2=0_(6)x(x+9)=10_x1=2,x2=5x1=-1,x2=4y1=-2,y2=0.5x1=a,x2=bt1=t2=72x1=0,x2=-9因式分解法解一元二次方程：w 用分解因式法解方程用分解因式法解方程: (1): (1)5x5x2 2=4x;(2)y-2=y(y-2).=4x;(2)y-2=y(y-2).w分解因式法解一元二次方程的步骤是分解因式法解一元二次方程的步骤是:w2. 将方程左边因式分解将方程左边因式分解;w 3. 根据根据“至少有一个因式为至少有一个因式为零零”,转化为两个一元一次方程转化为两个一元一次方程.w 4. 分别解两个一元一次方程，分别解两个一元一次
6、方程，它们的根就是原方程的根它们的根就是原方程的根.w1.化方程为一般形式化方程为一般形式;4324125)3(22xxxx1 .x1 .x2 2-4=0; 2.(x+1)-4=0; 2.(x+1)2 2-25=0.-25=0.解：解：1.(x+2)(x-2)=0,1.(x+2)(x-2)=0,x+2=0,x+2=0,或或x-2=0.x-2=0.xx1 1=-2, x=-2, x2 2=2.=2.学习是件很愉快的事v你能用你能用分解因式法分解因式法解下列方程吗？解下列方程吗？2.(x+1)+5(x+1)-5=0,2.(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0,x+6=0,或或x-4=0.x-
7、4=0.xx1 1=-6, x=-6, x2 2=4.=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其他方法来解?. 4; 22x1 1x x .123124 .2, 0 xxx4 4- -x x2 2x x. .1 1v1.解下列方程解下列方程: , 0314 .1 12 2x x2 2x x2 2x, 013 3- -4 4x x2 2x x. 034, 012xx或.43,2121xx，或）解：（04, 021xx1.用分解因式法解下列方程2(3).(31)50;x 2(5)()1 0 xxx 22(4).2(3)9 .xx(1).);2(5)2(3xxx(2);3)3(2 .2
8、yyy22(6).21(31)xxx (7).(3)(2)6xx 2.请写出分别以下列两数为两根的一元二请写出分别以下列两数为两根的一元二次方程：次方程：以以2，5为两根的一元二次方程是为两根的一元二次方程是:_以以2，1为两根的一元二次方程是：为两根的一元二次方程是：写出有一个根为零的三个一元二次方程：写出有一个根为零的三个一元二次方程：x2-7x+10=0 x2-x=0，x2-3x=0， x24x=0，等，等.x2-x2=0133、解方程：、解方程：x3-2x2-3x=04、已知、已知m是关于是关于x的方程的方程mx2-2x+m=0的一个根，试确定的一个根，试确定m的值。的值。5、已知（、
9、已知（2x+y）2+3（2x+y）=4，求代数式求代数式2x+y的值。的值。请选择适当的方法解一元二次方程请选择适当的方法解一元二次方程（1）x2-2x=8（2）x2-3x+1=0（3）(x-2)(x+3)=(x+3)（4）(2y-3)2=5在在直接开平方法、直接开平方法、配方法、配方法、公式法、公式法、因式分解法这四种解一元二次方程的方法因式分解法这四种解一元二次方程的方法中，哪些方法适合于所有的一元二次方程，中，哪些方法适合于所有的一元二次方程，哪些方法适合于形式特殊的一元二次方程？哪些方法适合于形式特殊的一元二次方程？问题问题 根据物理学规律，如果把一个物体从根据物理学规律，如果把一个物
10、体从地面以地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度物体离地面的高度(单位：单位：m)为为你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗地面吗(精确到精确到0.01s)?设物体经过设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高落回地面，这时它离地面的高度为度为0，即，即2104.9xx2104.90 xx方程方程的右边为的右边为0，左边可因式分解，得，左边可因式分解，得104.90.xx于是得于是得0104.90,xx或上述解中，上述解中，x22.04表示物体约在表示物体约在2.04s时落回地面，时落回地面，而而x1=0表
11、示物体被上抛时离开地面的时刻，即在表示物体被上抛时离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是时物体被抛出，此刻物体的高度是0m121000,2.04.49xx 如果如果ab=0，那，那么么a=0或或b=0可以发现，上述解法中，由可以发现，上述解法中，由到到的过程，不是用开的过程，不是用开方降次方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法实现降次，这种解法叫做因式分解法以上解方程以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次
12、的？的方法是如何使二次方程降为一次的？09.410 xx09.410 xx0104.90,xx或例例3 解下列方程：解下列方程： 221220;132522.44x xxxxxx解：（解：（1）因式分解，得）因式分解，得于是得于是得x20或或x1=0,x1=2，x2=1.(2)(2)移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得2410.x 因式分解，得因式分解，得 ( 2x1)( 2x1 )=0.于是得于是得2x1=0或或2x1=0,1211,.22xx (x2)(x1)=0. 可以试用可以试用多种方法解多种方法解本例中的两本例中的两个方程个方程 .配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出配方法
13、要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为为0，再分别使各一次因式等于，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程总之，解一元二次方程的基本思一元二次方程总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次路是：将二次方程化为一次方程，即降次1.解下列方程：解下列方程： 222221022 30; 33634 4
14、 21210; 5 32142;6 452.xxxxxxxxxxxx ； ； 解解： 因式分解，得因式分解，得（1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0.得得 x = 0 或或 x + 1 =0，x1=0 , x2=1. 222 30 xx解解：因式分解，得：因式分解，得2 30.x x02 30,xx得或 120,2 3.xx练习练习 223363,441210 xxx 解解：化为一般式为：化为一般式为因式分解，得因式分解，得x22x+1 = 0.( x1 )( x1 ) = 0.有有 x 1 = 0 或或 x 1 = 0，x1=x2=1.解解：因式分解，得：因式分解，得( 2x +
15、11 )( 2x 11 ) = 0.有有 2x + 11 = 0 或或 2x 11= 0，121111,.22xx 225321426452xxxxx 解解：化为一般式为：化为一般式为因式分解，得因式分解，得6x2 x 2 = 0.( 3x 2 )( 2x + 1 ) = 0.有有 3x 2 = 0 或或 2x + 1 = 0，1221,.32xx 解解：变形有：变形有因式分解，得因式分解，得( x 4 ) 2 ( 5 2x )2=0.( x 4 5 + 2x )( x 4 + 5 2x ) = 0.( 3x 9 )( 1 x ) = 0.有有 3x 9 = 0 或或 1 x = 0，x1 = 3 , x2 = 1.2.把小圆形场地的半径增加把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径加了一倍，求小圆形场地的半径解：设小圆形场地的半径为解：设小圆形场地的半径为r根据题意根据题意 ( r + 5 )2=2r2.因式分解，得因式分解，得52520.rrrr 于是得于是得250250.rrrr或1255,().2112rr舍去答：小圆形场地的半径是答：小圆形场地的半径是5.21m结束寄语配方法和公式法是解一元二次方程的重要方法,要作为一种基本技能来掌握.而某些方程可以用直接开平方法和分解因式法简便快捷地求解.下课了!