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1、栏目索引课标版课标版 理理数数 2.4指数函数与对数函数指数函数与对数函数栏目索引1.根式(1)根式的概念知识梳理知识梳理根式符号表示备注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数(a0)负数没有偶次方根anan栏目索引(2)两个重要公式=()n=a(a必须使有意义).2.分数指数幂的意义(1)=(a0,m、nN*,n1);(2)=(a0,m、nN*,n1).3.有理数指数幂的运算性质nna,21(Z),|,2 (Z).ankkank k naanmnamna
2、mna1mna1mna栏目索引(1)aras=ar+s(a0,r、sQ);(2)(ar)s=ars(a0,r、sQ);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用.4.指数函数的图象与性质栏目索引y=axa10a0时,y1;当x0时,0y0时,0y1;当x1在R上是单调增函数在R上是单调减函数栏目索引5.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a0且a1),那么指数x叫做以a为底的N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见对数特点记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数
3、底数为elnN栏目索引6.对数的性质与运算法则(1)对数的性质a.=N(a0,且a1);b.logaaN=N(a0且a1).(2)对数的重要公式a.换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1);b.logab=(a,b均大于零且不等于1).推广:logablogbclogcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零).logaNaloglogaaNb1logba栏目索引(3)对数的运算法则如果a0且a1,M0,N0,那么a.loga(MN)=logaM+logaN;b.loga=logaM-logaN;c.logaMn=nlogaM(nR);d.loMn=logaM(m0,n
4、R).7.对数函数的图象与性质MNgmanm栏目索引a10a1时,y0;当0 x1时,y1时,y0;当0 x0是(0,+)上的增函数是(0,+)上的减函数8.反函数指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数y=logax(a0且a1)互为反函数.栏目索引1.三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为()A.0.76log0.7660.7B.0.7660.7log0.76C.log0.7660.70.76D.log0.760.7660.7答案D00.7660=1,log0.760,且a1)在1,2上的最大值比最小值大,则a的值是.答案或解析当a1时,y=ax在1,2上单调递增,依题意得a
5、2-a=,解得a=.当0a0,即x-,而y=log5u为(0,+)上的增函数,当x-时,u=2x+1也为增函数,故原函数的单调增区间是.1,212121,2栏目索引典例1(1)(2014辽宁,3,5分)已知a=,b=log2,c=lo,则()A.abcB.acbC.cabD.cba(2)(2014北京朝阳二模)如果ab0,那么下列不等式一定成立的是()A.log3aC.D.a2b2答案(1)C(2)C解析(1)由指数函数及对数函数的性质易知01,log2lo=1,故选C.1321312g1314a14b1a1b1321312g1312g12典例题组典例题组指数式、对数式的求值及大小比较栏目索引
6、(2)ab0,log3alog3b,排除A;b2,排除D.故选C.14a14b栏目索引2.指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数,同指数不同底,底和指数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同底数后利用相应函数的单调性,(2)作差或作商法,(3)利用中间量(0或1等)分段.1.指数式的求值、估值通常要用整体代换的思想,并注意区分使用的是幂函数,还是指数函数.3.对数的运算主要是运用对数运算法则及换底公式进行化简计算.对数值的大小比较的主要方法:(1)化为同底数后利用相应函数的单调性;(2)化为同真数后利用相应函数图象比较;(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.栏
7、目索引1-1计算:(1)(0.027-+-(-1)0;(2)log2+log212-log242-log22.解析(1)原式=-(-1)-2+-1=-49+-1=-45.(2)原式=log2+log212-log2-log22=log2=log2=log2=-.13)21712729274812132710002171225910353748427 124842212 232232栏目索引1-2(2014北京朝阳期中,4)若0mlogm(1-m)B.logm(1+m)0C.1-m(1+m)2D.(1-m(1-m答案D解析0m1,01-m1,那么指数函数y=(1-m)x为减函数.(1-m,故选D
8、.13)12)131213)12)栏目索引典例2(1)(2014福建,4,5分)若函数y=logax(a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()指数函数、对数函数的图象与性质栏目索引(2)(2013北京,5,5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1答案(1)B(2)D解析(1)由题图可知y=logax的图象过点(3,1),栏目索引loga3=1,即a=3.A项,y=在R上为减函数,错误;B项,y=x3符合;C项,y=(-x)3=-x3在R上为减函数,错误;D项,y=log
9、3(-x)在(-,0)上为减函数,错误.(2)与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的函数为y=e-x,将函数y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,y=f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故选D.13x栏目索引1.解决与对数有关的问题时:(1)务必先研究函数的定义域;(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值范围.2.指数函数与对数函数的图象特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降,即a1时,图象上升;0a1时,图象下降.(2)底数的大小决定了图象的高低,如在y轴右边,指数函数y=ax的图象“底大图高”.在x轴上方,对数函数y=logax的图象“底大图低”.
10、栏目索引2-1已知函数y=.(1)作出函数的图象(简图);(2)由图象指出其单调区间;(3)若曲线y=与直线y=b没有公共点,求b的取值范围.解析(1)解法一:y=其图象由两部分组成.一部分是y=(x0)y=(x-1),|1|13x|1|13x|1|13x111,1,33,1,xxxx 13x113x栏目索引另一部分是y=3x(x0)y=3x+1(xf(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)答案C解析由题意可得或解得a1或-1a0.212log,0,log (),0,xxxx220,loglogaaa 1220,log ()log (),aaa