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1、2.4 平面向量的数量积平面向量的数量积及运算律及运算律2.4 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律问题情境问题情境:sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生了位移的作用下产生了位移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？| s|F|W cos其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 与与s 的夹角，而功是数量的夹角，而功是数量. 如果把功如果把功W看成是两个向量看成是两个向量F 与与s 的某种的某种运算运算结果结果,那么这个结果那么这个结果是一个数量是一个数量,它不仅与长度有关它不仅与长度有关,还与两个向量的夹角有关还与两个向量的夹角
2、有关.显然显然,这是一种新的运算这是一种新的运算.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b cos|ba cos|baba 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a （2） a b不能写成不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算 点号点号“”不能
3、省略不能省略.2.4 平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律方向上的投影在向量ababBAO cos|bB1 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。的形状试判断时，或当中，已知ABCbababACaABABC00,练习：练习：例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。解：解： a b = |a | |b |cos120cos45 )21(45 .10 例题讲解
4、例题讲解1,23(1) / / ,;(2),4ababa ba b 变式训练：已知求求2.已知已知|a |=2，|b |=3，a与与b的夹角为的夹角为 ，求，求a b135(1)(2) a /b (3)a b （1 1）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b =| a | | b |，当当a 与与b 反向反向时，时， a b = - | a | | b | 特别地特别地aaaaaa |2或或（4） | a b | | a | | b |（2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3）|cosbaba (用于求两个向量的夹角）用于求两个向量的夹角）注意
5、注意2aaa数量积的性质：数量积的性质：性质的主要应用性质的主要应用: (1)求模（求模（2）求夹角（）求夹角（3）解垂直问题）解垂直问题数量积的运算律数量积的运算律)()()(bababa（2）交换律）(abba（1）分配律）()(cabacba（3）想一想：向量的数量积满足结合律吗？想一想：向量的数量积满足结合律吗？)()(cbacba 即：即：成立吗？成立吗？例例2.2.求证：求证：2222)(bbaaba22)()(bababa（一）数量积的有关运算（一）数量积的有关运算例例3（二）模的运算问题（二）模的运算问题0.:13523,2ababa b abab 例4 已知 向量 与 夹角为
6、，求，变式训练变式训练| 3 | 4 ()abab已知，且与不共线 ，？互相垂直互相垂直与与向量向量，为何值时为何值时bkabkak 例例4.互相垂直的条件是与解：bkabka0）（）（bkabka0222bka即164, 932222ba4301692kk互相垂直与时，也就是说，当bkabkak43( (二二) )与垂直有关的问题与垂直有关的问题( (四）四）夹角的运算问题夹角的运算问题.| 12 | 954 22aba bababab 例6 设， （1）求 与 的夹角 ； （ ）求与的夹角的余弦值；变式训练：变式训练：的夹角与求已知bababa,37, 3, 4（1）00 a（3）（4）若）若 ，则对于任一非零，则对于任一非零 有有0ab0 ba00 a（2）|baba（5）若）若 ，则，则 至少有一个为至少有一个为0 baba、 （6）对于任意向量）对于任意向量 都有都有cba 、）（）（cbacba （7） 是两个单位向量，则是两个单位向量，则ba与22ba0 （8）若）若 ，则，则,0acbc c ba 练习：练习：1.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义2.运算律运算律小结与作业小结与作业作业：课本作业：课本P108 习题习题A组组 1,2,10