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1、7.3两条直线的位置关系(二)1.1.交点与位置交点与位置2.2.点到直线的距离点到直线的距离设两条直线的方程是0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl如果两直线相交两直线相交, 由于交点交点同时在两条直线上, 交交点的坐标点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解唯一公共解;反过来如果这两个二元一次方程只有一个公共解一个公共解,那么以这个解为坐标的点坐标的点必是直线l1 和l2 的交点.因此, 两条直线是否有交点, 就要看这两条直线的方程所组成的方程组00222111CyBxACyBxA是否有唯一的解.例8: 求下列两条直线的交点.12:3420,:220.lxylxy解: 解方程组得34
2、20,220.xyxy2,2,xy 所以, l1 与l2 交点是M(-2, 2), 如图y yx x0 0l l1 1l l2 2M M例9: 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程.12:220,:220.lxylxy解: 解方程组 得 220,220 xyxy2,2.xy所以,l1 与l2 的交点是(2, 2).设经过原点的直线方程为kxy 把点(2, 2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以,所求的直线方程为.yx在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为,直线 的方程是,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 的距离呢?),(00yxpl0cByAxl根据定义,点 P
3、 到直线 的距离 d 是点 P 到直线 的垂线段的长(如图)llxROQSyl),(00yxpdROQSyl),(00yxpd设点 P 到直线 的垂线段为 PQ ,垂足为 Q ,由 可知直线 PQ 的斜率为 ,根据点斜式可写出直线 PQ 的方程,并由 与 PQ 的方llPQ )0(AABl程求出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出,得到点 P 到直线 的距离 d.下面介绍另一种求法.lPQx设 , ,这时 与 x轴, y 轴都相交,过 P 作 x 轴的并行线,交于点作 y 轴的并行线,交于点.由 ROQSyl),(00yxpd0A0B10( ,),R x y),(20yxSl10020,0
4、,AxByCAxByC得0012,.ByCAxCxyAB112222212121221212122121000010000010222200( ,),(,),(),.P x yQ xyPQxxyyxxPQyyyyyyPQxxxxByCAxByCPRxxxAAAXCAxByCPSyyyBBABRSPSPRAxByCAB从三角形面积公式可知从三角形面积公式可知0000220000220022,.d RSPRPSAxByCAxByCPSPRBAdRSABAxByCABAxByCABAxByCdAB即即可证,当A=0或B=0时,以上公式仍适用.于是得到点线的距离公式2200BACByAxd当A=0或B=0时,也可以不用上面公式而直接求出距离.例10 求点到下列直线的距离)2 , 1(0P(1)2100;xy32x 解:(1)根据点到直线距离的公式,得222 ( 1)2 10102 5.521d (2) 因为直线平行于y轴,所以25( 1).33d (2)32.x 例 11 求平行线 和 的距离0872 yx0672 yx解:在直线 上任取一点,例如取 P(3,0) , 则点 P(3,0)到直线0672 yx2780.xyPOxy的距离就是两平行线间的距离(如图)因此222 3 7 0 81414 53.53532( 7)d