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1、4.6 4.6 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1正弦定理：正弦定理：在在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等即即 2余弦定理：余弦定理：三三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍角的余弦的积的两倍即即a2b2c22bccos A；b2a2c22accos B；c2a2b22abcos C.3三角形中的射影定理：三角形中的射影定理：在在ABC中，中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cacos Bbcos A.4三内角与三角函数值
2、的关系三内角与三角函数值的关系在在ABC中中sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sin cos ； 1在在三角形三角形ABC中，中，A120，AB5，BC7，则，则 的值为的值为() A. B. C. D.解析：解析：本本题考查正、余弦定理应用；由余弦定理题考查正、余弦定理应用；由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos A得：得：7252AC225ACcos 120AC3，由正弦定理可知，由正弦定理可知 答案：答案：D2在在ABC中，中，AB3，BC，AC4，则边，则边AC上的高为上的高为()A. B. C. D 解析：解析：由由余弦定理可得：余弦
3、定理可得：cos Asin A ，则，则AC边上的高边上的高hABsin A故选故选B项项答案：答案：B3若若A、B、C是是ABC的三个内角，且的三个内角，且ABC(C )，则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是()Asin Asin C Bcos Acos CCtan Atan C Dcot Acot C解析：解析：解解法一：因为法一：因为AC，在，在ABC中，大角对大边中，大角对大边因此因此ca，即，即2Rsin C2Rsin A所以所以sin Csin A选选A项项解法二：解法二：当当ABC为锐角三角形时，由于余弦和余切在为锐角三角形时，由于余弦和余切在(0， )内单调递减，内单调递减
4、， 故可排除故可排除B、D两项；当两项；当ABC为钝角三角形时可排除为钝角三角形时可排除C项，故选项，故选A项项答案：答案：A4(2009广东卷广东卷)已已知知ABC中，中，A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c.若若ac ，且，且A75，则，则b()A2 B42 C42 D. 解析：解析：ac，A75，B30，b2a2c22accos 30 4. b2.答案：答案：A 1. 已已知三角形中的两角一边，可使用正弦定理解三角形；知三角形中的两角一边，可使用正弦定理解三角形；2已知三角形的两边及其一边对角，可利用正弦定理解三角形已知三角形的两边及其一边对角，可利用正弦定理解三角形(也可考虑使
5、用余弦定理也可考虑使用余弦定理)；3已知三角形的三边或已知三角形的两边及其夹角，已知三角形的三边或已知三角形的两边及其夹角，使用余弦定理解三角形使用余弦定理解三角形【例【例1】在在ABC中，若中，若B30，AB ，AC2，求，求ABC的面积的面积S.解答：如右图，解答：如右图，B=30，AB= ，AC=2，根据正弦定理，根据正弦定理 即即 ，sin C= . 又又0C180，C=60或或C=120.当当C60时，时，ABC为直角三角形，为直角三角形，S 当当C120时，时，A30，S 变式变式1.在在ABC中，若中，若A120，AB5，BC7，则则ABC的面积的面积S_.解析：解析：如如图，设
6、图，设ACx，根据余弦定理，根据余弦定理，BC 2AB2AC22ABACcos A，即即4925x25x，整理得：，整理得： 解得解得x3，或，或x8(舍去舍去)，S ABACsin A 答案：答案：三角形一般由三个条件确定，比如已知三边三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边，或两边a，b及夹角及夹角C，可以将可以将a，b，c或或a，b，C做为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正做为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条
7、件置于同一三角形中虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中【例【例2】在在ABC中，已知中，已知AB ，cos B ，AC边上的中线边上的中线BD 求求sin A的值的值解答：解答：如图如图，取，取AB中点中点E，连结，连结DE，在，在BDE中，中，BE ，BD ，又，又cosDEBcos B设设DEx，根据余弦定理得，根据余弦定理得，BD2BE2DE22DEBEcosDEB，即即5 .整理得：整理得：3x24x70，即，即(3x7)(x1)0，解得，解得x1.在在 DEA中，中，cosDEA ，EA ，DE1，DA2DE2EA22DEEAcosDEA. DA . 又又sinDEA ，根据正弦定
8、理根据正弦定理 ，sin A .变式变式2.在在ABC中，中，tan A ，tan B .(1)求角求角C的大小；的大小；(2)若若ABC最大边的边长为最大边的边长为 ，求最小边的边长，求最小边的边长解答：解答：(1)C(AB)，tan Ctan(AB) 1.又又0C，C .(2)C ，AB边边最大，即最大，即AB 又又tan Atan B，A、B(0， )，角角A最小，最小，BC边为最小边边为最小边由由且且A(0， )，得，得sin A .由由 得得BC . 最小边最小边BC .1. 根根据所给条件确定三角形的形状：可通过正弦定理、余弦定理进行边角转化，据所给条件确定三角形的形状：可通过正弦
9、定理、余弦定理进行边角转化，其具体途径是都转化为角，利用三角函数变换确定三角形形状，也可统一转化其具体途径是都转化为角，利用三角函数变换确定三角形形状，也可统一转化为边，利用代数式的变形，判断三角形的形状为边，利用代数式的变形，判断三角形的形状2三角形中的三角函数恒等变换三角形中的三角函数恒等变换【例【例3】 在在ABC中，角中，角A、B、C所对的边分别为所对的边分别为a、b、c，且，且cos A .(1)求求sin2 cos 2A的值；的值；(2)若若a ，求，求bc的最大值的最大值解答：解答：(1)sin2 cos 2A 1cos(BC)(2cos2A1) (1cos A)(2cos2A1
10、) (2) ， bcb2c2a22bca2， bca2，又又a ，bc .当当且仅当且仅当bc 时，时，bc ，故，故bc的最大值是的最大值是 .变式变式3.在在ABC中，中，a、b、c分别为角分别为角A、B、C的对边，的对边， (1)求求A的度数；的度数；(2)若若a ，bc3，求，求b、c的值的值解答：解答：(1)BCA，即即 ，由，由 得得 ，即，即2(1cos A)(2cos2A1) ，整理得整理得4cos2A4cos A10，即，即(2cos A1)20.cos A ，又，又0A180，A60.(2)由由A60，根据余弦定理，根据余弦定理cos A ，即，即 b2c2bc3，又又bc
11、3，b2c22bc9.整理得：整理得：bc2.解解联立方程组得或联立方程组得或【方法规律方法规律】1正正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式三个命题互为等价命题弦定理、余弦定理和三角形的面积公式三个命题互为等价命题2在解三角形时，其三边可视为确定三角形的基本量，可将有关角的条件转化在解三角形时，其三边可视为确定三角形的基本量，可将有关角的条件转化为边，通过解方程组进行求解；也可考虑将有关边的条件化为角解决三角函为边，通过解方程组进行求解；也可考虑将有关边的条件化为角解决三角函数问题数问题3可利用正弦定理求三角形外接圆的半径；可利用面积求三角形的高线和三角可利用正弦定理求三角形外接圆的半径；可利用
12、面积求三角形的高线和三角形的内切圆半径等形的内切圆半径等4在解三角形时，有可能需要作辅助线，如例在解三角形时，有可能需要作辅助线，如例2等等. (2009海南海南)(本小题满分本小题满分12分分)为为了测量两山顶了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量两点进行测量A，B，M，N在同一个铅垂平面内在同一个铅垂平面内(如示意图如示意图)飞机能够测量的飞机能够测量的数据有俯角和数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据指出需要测量的数据(用用字母表示，并在图中标出字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写
13、出计算用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤间的距离的步骤【答题模板答题模板】解答：解答：解解法一：法一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M，N点的俯角点的俯角1，1，B点到点到M，N的俯角的俯角2，2；A，B间的距离间的距离d(如图所示如图所示)第一步：计算第一步：计算AM.由正弦定理得由正弦定理得AM 第二步：计算第二步：计算AN.由正弦定理得由正弦定理得AN 第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理得由余弦定理得MN . 解法二：解法二：需需要测量的数据有：要测量的数据有：A点到点到M，N点的俯角点的俯角1，1；B点到点到M，N点的俯点的俯角角2，2；A，B间的距离间的距
14、离d(如图所示如图所示)第一步：计算第一步：计算BM.由正弦定理得由正弦定理得BM 第二步：计算第二步：计算BN.由正弦定理得由正弦定理得BN 第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理得由余弦定理得MN .【分析点评分析点评】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册本题考查利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的知识；本题最大的创新是让考生本题考查利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的知识；本题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点同时考生经历了现实生活中从已自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力其中距离只能得到飞机的飞行距离考查考生的能力其中距离只能得到飞机的飞行距离(其他的距离得不到其他的距离得不到)，几个俯，几个俯角容易得到，下面只是选择哪个定理的问题了角容易得到，下面只是选择哪个定理的问题了.